2022年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理同步测评试卷（详解版）

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理同步测评

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（）

2、下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（）

A.4,8,7B.2,2,2C.2,2,4D.13,12,5

3、如图，△以6的顶点0（0,0）,顶点46分别在第一、四象限，且轴，若4?=6,

OA=OB=5,则点A的坐标是（）

A.(5,4)B.(3,4)C.(5,3)D.(4,3)

4、已知点尸是ZAO8平分线上的一点，且0尸=5,作于点点N是射线上的一个动

点，若。0=4,则PN的最小值为()

A.2B.3C.4D.5

5、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三

个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下

去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是

()

A.1B.2021C.2020D.2019

6、如图，正方形A38的边长为10,AG=S=8,BG=DH=6连接GH,则线段G”的长为

()

B.2拉CD.10-50

-5

7、如图，在欣△力切和放中，AC=BC=2,CD=CE,NCBD=15°,连接力其如交于点人则

孙■的长为（)

A.2&B.5/2C.2乖＞D.73

8、如图，正方形4成力中，48=12,将△4应1沿46对折至牙；延长即交a'于点G,G刚好是6c

边的中点，则口的长是（）

C.4D.5

9、如图，点A,B在直线MN的同侧，A到MN的距离4C=8,B到MN的距离BD=5,已知

8=4,P是直线MN上的一个动点，记PA+PB的最小值为。，|%-尸目的最大值为b,则a?一廿的

值为（）

A.160B.150C.140D.130

10、我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送

行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解

为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离丛的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即

9c=10尺，秋千踏板离地的距离P8和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索

有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为（）

A.(X-1-5)2+102=X2B.(X-5)2+102=X2

C.(X+1-5)2+102=X2D.(x+l)2+102=x2

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，ABLCD于B,劭和为都是等腰直角三角形，如果。17,止5,那么4C的长为

2、无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外

面的部分至少有cm.

3、公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的

直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49,直角三角形中较小锐

角6的正切为《，那么大正方形的面积是.

4、《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在勾股章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今

有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折着高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在AABC中，

ZACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长，若设AC=x,则可列方程为.

A

5、如图，在中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,将边然沿龙翻折，使点力落在上的点

。处；再将边比'沿⑦翻折，使点6落在切的延长线上的点9处，两条折痕与斜边16分别交于点

E、F,则小的长为.

B'

D

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，某海岸线网，的方向为北偏东75°,甲，乙两船分别向海岛C运送物资，甲船从港口力处

沿北偏东45°方向航行，乙船从港口6处沿北偏东30°方向航行，已知港口6到海岛C的距离为30

海里，求港口4到海岛。的距离.

2、如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿

一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一

个半小时后分别位于点0，"处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海

天”号沿哪个方向航行吗？

3、如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度QE=0.6m,将他往前推送2.4m（水平距

离BC=2.4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度8F=1.2m,秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AZ）的

长度.

4、如图，一艘船由4港沿北偏东60°方向航行10而至8港，然后再沿北偏西30°方向航行10加至

。港.

(1)求4。两港之间的距离(结果保留到0.1品，参考数据：72^1.414,6比1.732)；

(2)确定，港在/港的什么方向.

5、我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.由此，我们可以引入如下新定义:

到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.

(1)如图1,点P在线段比'上，/ABP=NAPD=/PCD=90：BP=CD.求证：点。是△力如的准外

心;

(2)如图2,在RtZUbC中，/胡-90°,BC=5,48=3,△力比,的准外心0在的直角边

上，试求/尸的长.

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

把各图中每一部分的面积和整体的面积分别列式表示，根据每一部分的面积之和等于整体的面积，分

别化简，再根据化简结果即可解答.

【详解】

解：/、,/—ab+—cf+—ab=—(a+6)(a+6),

2222

.•.整理得：即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;

B、V4X—ab+(6-a)~—c~,

2

.•.整理得：小修c?,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

a根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；

D、\'4X-ab+c2=(a+6)2,

2

.•.整理得：即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

故选C.

【考点】

本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用构图法来证明勾股定理.

2、D

【解析】

【分析】

根据勾股定理的逆定理，看较小的两边的平方和是否等于最大的边的平方即可进行判断.

【详解】

A、42+7V82,故不能构成直角三角形；

B、22+2V22,故不能构成直角三角形；

C、2+2=4,故不能构成三角形，不能构成直角三角形；

D、52+122=132,故能构成直角三角形，

故选D.

【考点】

本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即若三角形的三边符合az+b'c：则此三角形

是直角三角形.

3、D

【解析】

【分析】

利用HL证明屋△以为，利用勾股定理得到比即可求解.

【详解】

解：轴，

:.NAC0=/BC0=9Q°,

•：OA=OB,00=^0a

:•△ACgXBCO'HD,

：.A（=BC=-AB=3,

2

Vfl4=5,

.•.0852—32=4,

.•.点4的坐标是（4,3）,

故选:D.

【考点】

本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题.

4、B

【解析】

【分析】

根据垂线段最短可得用比》时.，月V最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得

PM=PN,再结合勾股定理求解即可.

【详解】

解：当a0_小时，/W的值最小，

,：0C平分乙AOB,PMVOB,

：.PM=PN,

：0P=5,OM=4,PMLOB,

...由勾股定理可知：月沪3,

•••/W的最小值为3.

故选B.

【考点】

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质及勾股定理，熟记性质

是解题的关键.

5、B

【解析】

【分析】

根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据

规律解答即可.

【详解】

解：由题意得，正方形力的面积为1,

由勾股定理得，正方形6的面积+正方形C的面积=1,

“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,

同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,

“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,

•••“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021,

故选：B.

c

【考点】

本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么#+"=/

6、B

【解析】

【分析】

延长DH交AG于点E,利用SSS证出△AGBZZ\CHD,然后利用ASA证出4ADE之Z\DCH,根据全等三角

形的性质求出EG、HE和NHEG,最后利用勾股定理即可求出HG.

【详解】

解：延长DH交AG于点E

四边形ABCD为正方形

・・・AD二DC二BA二10,NADC=/BAD=90°

在AAGB和△0］口中

AG=CH

<BA=DC

BG=DH

AAAGB^ACHD

・・・ZBAG=ZDCH

VZBAG+ZDAE=90°

.\ZDCH+ZDAE=90°

.\CH2+DHM2+62=100=DC2

•••△CHD为直角三角形，ZCHD=90°

.\ZDCH+ZCDH=90°

AZDAE=ZCDH,

VZCDH+ZADE=90°

・・・ZADE=ZDCH

在aADE和△口：中

ZADE=ZDCH

<AD=DC

/DAE=NCDH

/.△ADE^ADCH

JAE=DH=6,DE=CH=8,ZAED=ZDHC=90°

・・・EG=AG—AE=2,HE=DE-DH=2,ZGEH=180°—NAED=90°

在RMGEMGH=y/EG?+HE?=2五

故选B.

【考点】

此题考查是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的

判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.

7、B

【解析】

【分析】

由已知证得AACEWABCD,进而确定AABF三个内角的大小，求得8尸=(48,进而可得到答案.

【详解】

解：,.・ZACB=90°,ZDCF=90°

・•・ZACB+ZBCE=ZDCE+ZBCE

：.ZACE=ZBCD

又＜AC=BC,CD=CE

:.AACE^BCD

...ZCAE=Z.CBD=\50

;在等腰直角三角形中NABC=N84C=45。

...ZABF=ZABC+Z.CBD=60°,ZaAF=ZBAC-ZCAE=3(T

/.Z4ra=180°-ZABF-ZH4F=90°

BF=-AB

2

AB=VAC2+BC2=272

，BF=6

故选：B.

【考点】

本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关知识是解题的关键.

8、C

【解析】

【分析】

连接/G,证明侬得到AG=6G,△/应沿力£对折至△/斯，贝IJ斯=〃底，

'设DE=x,则如=%比'=12—x,则Rt△况。中根据勾股定理列方程可求出应的值.

【详解】

如图，连接/G,

BGC

♦.•四边形0是正方形，

.../[=/8=NC=NZ?=90°,AB=BC=CD=AD=\2.

,：LADE沿四对折至△/旗，

：.EF=DE,AF=AD,

"：AF=AD,AB=AD,

：.AF^AB,

又/G是公共边，

：./\ABG^/\AFG（从）,

•••G刚好是a'边的中点，

：.BG=FG=-BC=6,

2

设DE=x,贝！］母'=x,EC=12—x,

在RtaAGC中，根据勾股定理列方程：

2

6+(12-%)Z=(X+6)2

解得：x=4.

所以切的长是4,答案选C.

【考点】

本题考查了正方形和全等三角形的综合知识，根据勾股定理列方程是本题的解题关键.

9、A

【解析】

【分析】

作点A关于直线以，的对称点A,连接A3交直线WV于点P,则点〃即为所求点，过点⑷作直线

AEA.BD,在根据勾股定理求出线段的长，即为阳+处的最小值，延长”交腑于点P，，此时

PA-PB=AB,由三角形三边关系可知AB>|尸A-陶，故当点。运动到一时|%-因最大，过点6作

施，AC由勾股定理求出AB的长就是|PA-依|的最大值，代入计算即可得.

【详解】

解:如图所示，作点/关于直线必V'的对称点A,连接48交直线必V于点尸，则点P即为所求点，过

点4作直线AE_L8£>,

VAC=8,BD=5,CD=4,

：.A'C=8,BE=8+5=13,A'E=CD=4,

在心/EB中，根据勾股定理得，

A'B^BE+A'E=V132+42=V185，

即为+期的最小值是a=闹；

如图所示，延长AB交助V于点P',

VPA-PB=AB,AB>\PA-PB\,

当点夕运动到P点时，|以-阳最大,

过点6作庞，AC,则8E=C£>=4,

AE=AC-BD=8-5=3,

在即.AEB中，根据勾股定理得，

AB=y/AE2+BE2=>/32+42=5，

：.\PA-PB\=5,

即〃=5,

a2-b2=(V185)2-52=160,

故选A.

【考点】

本题考查了最短线路问题和勾股定理，解题的关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系.

10、C

【解析】

【分析】

根据勾股定理列方程即可得出结论.

【详解】

解：由题意知：

0(=^(5-1),P010,OP=x,

在北△口*中，由勾股定理得：

0(5-1)]2+102=ZEP(X+1-5)2+1O2=X2.

故选：C.

【考点】

本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意是解题的关键.

二、填空题

1、13

【解析】

【分析】

先根据△腔1等腰直角三角形得出回的长，进而可得出劭的长，根据△力劭是等腰直角三角形可知

AB=BD.在Rta相。中利用勾股定理即可求出然的长.

【详解】

♦.•△及方等腰直角三角形，贻5,:.BO5.

■：CD-n,：.DB=CD-BE=17-5=12.

劭是等腰直角三角形，.•./企盼12.

在Rt△四7中，：四=12,除5,心J6+叱=J12?+5〉=13.

故答案为13.

【考点】

本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟知等腰三角形两腰相等的性质是解答此题的关键.

2、5

【解析】

【分析】

根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案.

【详解】

解：由题意可得：

杯子内的筷子长度为：而二万=15,

则木筷露在杯子外面的部分至少有：20-15=5(cm).

故答案为5.

【考点】

此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键.

3、169.

【解析】

【分析】

由题意知小正方形的边长为7.设直角三角形中较小边长为a,较长的边为6,运用正切函数定义求

解.

【详解】

解：由题意知，小正方形的边长为7,

设直角三角形中较小边长为a,较长的边为6,则

tan0=短边：长边=a：b=5：12.

12

所以6=①

又以为b—s+7,②

联立①②，得a=5,6=12.

所以大正方形的面积是：a?+Z/=25+144=169.

故答案是：169.

【考点】

本题主要考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，掌握解直角三角形、勾股定理的证

明和正方形的面积是解题的关键.

4、X2+32=(10-X)2

【解析】

【分析】

设AC=x,则AB=10-x,再由AC2+BC?=A82即可列出方程.

【详解】

解：VAC=x,且AC+A3=1(),

?.AB=10—x,

在RtaABC中，由勾股定理有：AC2+BC2=AB2,

即：X2+32=(10-X)2,

故可列出的方程为：X2+32=(10-X)2,

故答案为：X2+32=(1O-X)2.

【考点】

本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键.

5、I

【解析】

【分析】

根据折叠的性质可得AACEGADCE,dBCFRB,CF,从而得出相应角相等，再根据角之间的关系得

出/ECF=45。，从而得出△£■(7为等腰直角三角形，再根据勾股定理求出A3的长度，利用三角形的

面积公式求出EF的长度，再求出4E、OE的长度，最后求出。尸的长度.

【详解】

解：•••边〃'沿四翻折，使点力落在上的点，处，

^ACE^DCE,

:.ZAEC=NDEC=90°,ZACE=ZDCE,AE=DE,

二边以沿CF翻折，使点6落在徵的延长线上的点9处,

：・ABCF'B'CF,

・•・NB，CF=NBCF,

*/ZACB=90°,

・•・ZACE+4BCF=ZDCE+ZffCF=45°,

•••△£CF为等腰直角三角形，

：.CE=EF,

VZACB=90°,AC=3,BC=4,

・•・AB7AC?+BC2="+42=5,

'：-AB^CE=-AC^BC

22f

12

：.CE=EF=-f

：.AE=DE=^AC'-CE2=|,

1293

:.DF=EF-DE=CE-ED=——-=

555

,3

故答案为：

【考点】

本题主要考查了图形的翻折变化，勾股定理的运用，等腰直角三角形的判定，根据折叠的性质求得相

应的角是解答本题的关键.

三、解答题

1、30近

【解析】

【分析】

过点C作044"垂足为〃设。X,根据直角三角形的性质求可得/02x、BD=BC=x,再利用勾股定

理可求得x,进而求得4c的长.

【详解】

解：过点C作缪，4"垂足为。，

：.ZCAD=75°-45°=30°,ZCBZ>75°-30°=30°,

设CD=x

•.•在欣△?!必中，/。岳75°-45°=30°

：.AC=2x

:在应△颇中，/物=45。，除30

：.BD=BOx

£+/=3()2,解得产150

.,.心2产30&•

答：港口力到海岛C的距离是30近海里.

【考点】

本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前

提，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键.

2、北偏西4西(或西北)

【解析】

【分析】

直接得出仍18海里，阳=24海里，。庐30海里，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到

“海天”号航行方向.

【详解】

解：由题意可得：上18海里，@24海里，岭30海里，

V182+242=302,

...△必”是直角三角形，

，/必090°,

•••“远航”号沿东北方向航行，即沿北偏东45°方向航行，

：.ZRPS=^°,

二“海天”号沿北偏西45°(或西北)方向航行.

【考点】

本题考查了勾股定理的应用，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是

从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大.

3、5.1m

【解析】

【分析】

设秋千的绳索长为xm,则A3=4£)=xm,AC=(x-0.6)m,利用勾股定理得(x-O.6)2+2.4?=Y,再

解方程即可得出答案.

【详解】

解：设秋千的绳索长为xm,则AB=")=xm,

AC=AD+DE-CE=x+0.6-1.2=(x-0.6)m,

在RMACB中,

AC2+BC2=AB2,即(x-0.6尸+2.42=/,

解得x=5.1,

答:绳索AD的长度是5.1m.

【考点】

此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出力C、46的长，掌握直角三角形中两

直角边的平方和等于斜边的平方.

4、(1)AC两地之间的距离为14.1•；(2)。港在/港北偏东15°的方向上.

【解析】

【分析】

(1)根据方位角的定义可得出//除90°,再根据勾股定理可求得的长为14.1.

(2)由(1)可知△4比为等腰直角三角形，从而得出N劭年45°,求出215°,所而确定。港

在4港的什么方向.

【详解】

(1)由题意可得，N