2022年高考数学模拟自测题（根据以往高频出现知识点编辑）(六)

2022年高考数学模拟自测题(根据以往高频出现知

识点编辑)_010

单选题(共8个，分值共：)

1、设函数f(x)的定义域为D,若存在出6£),使得/(g)=勺成立，则称与是函数/(x)的一个不动点，下列函

数存在不动点的是()

A./(x)—2X+xB./(%)=x2—%+3

C./(x)=-|x-2|D./(x)=Igx+3x-6

答案：D

解析：

把选项中不同的f(x)代入/(x)=x,去判断方程是否有解，来验证函数f(x)是否存在不动点即可.

【本题详解】

选项A：若/(x)=x,则2，+x=x,即2、=0,方程无解.故函数f(x)不存在不动点；

选项B：若/(x)=x,则％2-X+3=X,即/-2X+3=0,方程无解.故函数/(x)不存在不动点；

选项C：若/(x)=x,则—|久-2|=x,即或两种情况均无解.故函数/(x)不存在不动

点；

选项D：若/'(%)=%,则/gx+3x-6=%,即Zgx+2x-6=0

设g(x)=如+2x-6,则g(l)=Zgl+2-6=-4<0,g(3)=心3+2x3-6=1g3>0

则函数g(x)在(1,3)上存在零点.即方程/'(%)=x有解.函数/(%)存在不动点.

所以正确答案为：D

2、已知。>0*>0,&+2匕=1,则下列选项错误的是()

A.0<b<-B.2a+4b>2>/2C.ab的最大值是三D.a?十^的最小值是三

2816

答案：D

解析：

根据题意求出b的范围可以判断A,然后结合基本不等式判断B,C,最后消元通过二次函数的角度判断D.

【本题详解】

对A，｛?>以、八=0<人<3正确；

la=1-2b>02

对B,2a+4b>2V2a-4fc=2V2a+2b=2^2,当且仅当2a="=a=二b=三时取正确；

24

2

对C,a&=jxax2Z?<|=｝当且仅当a=2b0a=b=［时取正确；

对Dr由题意，Q?+万2=(1—2b/+/?2=5b2—4b+1=5(b—j+g,由A可知0VbV所以a?+

b2G.[1,1）,错误.

所以正确答案为：D.

3、中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，有一种茶用85℃的水泡制，再

等到茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔lmin测一次茶水温度，得

到数据如下：

放置时间/min012345

茶水温度rc85.0079.0073.6068.7464.3760.43

为了描述茶水温度UC与放置时间点”的关系，现有以下两种函数模型供选择：

①y=kax+25（ke/?,0<a<l,x>0）,（2）y=kx+b（k,b6R,x>0）.

选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（）

（参考数据：加220.301,国3a0.477）

A.6minB.6.5minC.7minD.7.5min

答案：B

解析：

根据每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，可判定应当选择模型①为更符合实际的模型.利用前

两组数据可以求得k和a的值，进而将最佳口感温度代入所求得解析式，利用对数的运算性质求得x的值，即可

做出判断.

【本题详解】

由表格中数据可得，每分钟茶水温度的减少值依次为6,5.4,4.86,4.37,3.94,

呈现越来越小的变化趋势，

所以正确答案为用模型①为更符合实际的模型.

由x=0时，y=85.00,代入y=kax+25,得85=k+25,解得k=60.

y=60ax+25.

由x=1时y=79.00,可得79=60a+25,解得a=*

,”=60信）'+25,

由55=60g）"+25阁=（4『J婷=S（罪=xlg^,

lg三-lg2lg20.301/_

X=-g-=-------=—；—~------------«6.5,

lg^2lg3-ll-2lg31-2x0.477

刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为6.5min,

所以正确答案为B

4、已知函数/（%）=acos2x+bas讥2x-2a+b在％€]上的图象如图所示，则a,b的值分别为（）

2

A.Q=2,b=IB.Q=2,b=3

3

C

-a=-2,〃~5D.a=--,b=-2

答案：C

解析：

根据函数最小值与特殊值列方程讨论即可求解.

【本题详解】

由/(x)=acos2x+V3asin2x-2a+b=2asin(2x+匀—2a+b

fC)=acosrt+y/3asinn-2a+b=—3a+b=1,/(O)=acosO+>/3asin0-2a+b=—a+b<0

又因为/(x)的最小值为-5

当a<0时有2a—2a+b=—5,得a=-2,*=-s；

当a>0时有一2a-2a+b=-5,得a=6,b=19,与一a+b<0不符，

所以正确答案为：C

5、已知定义在R上的奇函数/(%)满足f(2-x)=/(x).当0W1时，/(%)=3x+aWiJ/(2021)+/(2022)=

()

A.-4B.-2C.2D.4

答案：C

解析：

由题可得函数f(%)的周期为4,结合条件可得a=—1,进而可求f(2021)+f(2022)=/(l)+/(2),即得.

【本题详解】

定义在R上的奇函数满足f(2-x)=/(x),

/(2+x)=/(-x)=-/(x).

/(4+x)=-f(x+2)=/(%),即函数f(x)的周期为4,

又当OWxSl时，/(x)=3x+a,f(0)=0,

/(0)=3°+a=0,即a=—1,

当0<xW1时，/(x)=3Z-1,

/⑴=2,〃2)=f(0)=0,

3

/(2021)+/(2022)=/(I)+/(2)=2.

所以正确答案为：C.

6、甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10,5,3.竞赛全部结

束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是()

A.第二名、第三名的总分之和为29分或31分

B.第二名的总分可能超过18分

C.第三名的总分共有3种情形

D.第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名

答案：C

解析：

根据给定条件按甲的得分情况分类，再求出第二名、第三名的得分即可判断作答.

【本题详解】

依题意，甲的得分情况有两种：10,10,5和10,10,3,

显然3人的总得分为54分，甲得分为10,10,5时，第二名、第三名的总分之和为29分，

甲得分为10,10,3时，第二名、第三名的总分之和为31分，A正确；

甲得分为10，10，5时，第二名得分有三种情况：5,5,10；5,3,10；3,3,10,总分分别为20分，18

分，16分，

第三名得分对应有三种情况：3,3,3；3,5,3；5,5,3,总分分别为9分，11分，13分，

甲得分为10，10，3时，第二名得分有三种情况：5,5,10；5,3,10；3,3,10,总分分别为20分，18

分，16分，

第三名得分对应有三种情况：3,3,5；3,5,5；5,5,5,总分分别为11分，13分，15分，

选项B,D正确，第三名总分有4种情况，C不正确.

所以正确答案为：C

7、若二项式(五一套K的展开式中常数项为160,则a的值为()

A.2B.-2C.4D.-4

答案：B

解析：

求出二项式展开式的常数项，再列式计算作答.

【本题详解】

二项式(五一套)6的展开式的常数项为c寅伪3.(_扣3=-20a3,

依题意，一20。3=160,解得a=-2,

所以a的值为一2.

所以正确答案为：B

4

8、已知数列｛ajSn为｛即｝的前n项和，其中的=-1010,an+1=+3g则$2021=（）

l（1n—\,n为偶数

A.2019B.2020C.2021D.2022

答案：B

解析：

先求出£12，由条件可得即+2=即+2,即｛即｝的奇数项，偶数项分别是以公差为2的等差数列，从而分奇数

项，偶数项分别求和即可.

【本题详解】

由题意=%+3=-1007

设n为奇数，贝加+1是偶数，n+2是奇数，

则即+1=即+3，①

an+2—an+l-1>②

①+②得：«n+2=即+2

所以｛。工的奇数项是首项为%=-1010,公差为2的等差数列，

同理｛an｝的偶数项是首项为&2=-1007,公差为2的等差数列.所以S2021=Q+a3+a5+-+a2021）+

（«2++a6H--------F02020）

（。。）（。）

=1+22N02W1X1011+02+22020x1010=2020

所以正确答案为：B

多选题（共4个，分值共：）

9、有下列4个关于不等式的结论，其中正确的是（）

A.若％<0,P!lJx+-<-2B.若则聋=22

XVX2+1

C.若xWR,则卜+?|32口.若a>l,则（l+a）（l+，）之4

答案：ABC

解析：

根据基本不等式〃一正二定三相等〃原则对选项逐一判断.

【本题详解】

对A,若x<0,则％+1=-（r+上）W_2Jr」=-2,当且仅当％=-1时取等号，A正确；对B,若

X\-X/7-X

XG/?,则=7x2+1+.之2=2,当且仅当％=0时取等号，B正确；对C,

收+1Vx2+1Vx2+1y]Vx2+1

当%>0时，%+->2lx--=2,当且仅当x=1时取等号，结合选项A,%6R时，则332,C正确；

xy]xIXI

对D,若Q>0,贝ij（l+a）（1+'）=2+Q+322+=4,当且仅当a=1时取等号，D错误.

所以正确答案为：ABC

5

10>已知集合4={-1,1},集合B—1=0},若4nB=8,则。的取值可能是（）

A.2B.-IC.1D.0

答案：BCD

解析：

根据AnF=B可知A,然后对参数进行分类讨论求解.

【本题详解】

解：•・,集合A={-1,1},集合B={x\ax-1=0},ACB=B

­.BQA

当a=0时，B=。,成立；

当a#0时，B=（-],故工=-1或2=1,解得a=-l或a=l

lajaa

综上。的取值可能是一1,0,1.

所以正确答案为：BCD

11、△ABC中，BC=V13,4=60",AC=4,则边AC上的高是（）

A.苧B.|D.3V3

答案：AB

解析：

先用余弦定理求出4B的长，再求出边AC上的高.

【本题详解】

由余弦定理得：cosA="告空=丝*兰=；,解得：AB=1或3,经检验均符合，设边AC上的高是八,

2ABACSAB2

当48=1时,h=ABsin600=y；当AB=3时,h=ABsin600=

所以正确答案为：AB

12、下列命题正确的是（）

A.若a。。，则a2+Wz4B.若a>0,则a+上的最小值为0

aza+2

C.若a>0,h>0,则a+bN2V^D.若aV0,b<0,贝卢+2N2

ba

答案：ACD

解析：

根据已知条件，利用基本不等式逐一判断，判断过程注意等号成立的条件，从而即可求解.

【本题详解】

对于A,彦+.之2Jq2x*=4,小=2时等号成立，A正确：

—

对于B,因为a>0,所以QH—--=Q+2H—2>2（a+2）,———2=0,

a+2a+2ya+2

当且仅当。+2=1=。=一3或。=一1时取〃=〃，即等号不成立，所以B错误；

6

对于C,因为a>0,b>0,所以a+b22倔，C正确；

对于D,因为a<0,b<0,所以£>0,2>0,则£+2点=2,

babay]ba

当且仅当？=2=a=b时取所以D正确.

ba

所以正确答案为：ACD.

填空题（共3个，分值共：）

13、如图，平面a〃/"，直线l,zn分别与a、夕、y相交于点人B、C和点。、E、F,若黄=最DF=20,则

解析：

分两种情况：（1）直线1和M在同一平面内（2）直线屏Orn不在同一平面内，即，和血异面然后利用面面平行的

性质定理得到线线平行，进一步利用平行线分线段成比例定理得到结果.

【本题详解】

分两种情况：

（1）直线]和机在同一平面内，设该平面为T,连结4D,BE,CF

7

因为平面a〃夕〃y,aC\T=AD,pf\T=BE，YC\T=CF,所以4D〃8E〃CF,

所以翌=器=；,又CF=20,所以EF=15；

BCEF3

(2)直线I和m不在同一平面内,即I和m异面,过。作Z)H〃4C,

平面a〃3〃y,，4B=DG,BC=GH,

设直线DH与4c所确定的平面为f,

又fn/?=GE,fny=HF,又夕〃y,所以GE〃/YF,

利用平行线分线段成比例，可得黑=多=需又DF=20,所以EF=15.

BCGHEF3

综上，EF=15.

故答案为：15.

14、设抛物线C:y2=4x的焦点为「，准线/与X轴的交点为/W,P是C上一点，若|PF|=5,则|PM|=一

答案：V4T

解析：

根据抛物线的性质及抛物线方程可求P坐标，进而得解.

【本题详解】

由抛物线C:y2=4x的方程可得焦点F(1,O),准线=1,

由题意可得M(—1,0),

设尸(X"),有抛物线的性质可得：\PF\=5=x+l,解得x=4,

代入抛物线的方程可得y2=4x4=16,

所以|PM|=7(4+I)2+16=V41,

故答案为：V41.

15、已知某直线满足以下两个条件，则该直线的方程为_.(用一般式方程表示).①倾斜角为30。；②坐标

8

原点到该直线的距离为1.

答案：x—V3y+2=0或x—V3y—2=0

解析：

先求出直线的斜率，然后设出斜截式方程，进而根据原点到直线的距离求得答案.

【本题详解】

由于直线的倾斜角为30。，故它的斜率k=tan30。=强，设该直线的方程为y=专％+b=x-+遍b=0,

坐标原点到该直线的距离d=苧=1=力=±专，所以所求的直线方程为x-by+2=0或x-Ky-2=

0.

故答案为：%-V3y+2=0或x-V3y-2=0.

解答题（共6个，分值共：）

16、已知函数1+x.

（1）怎样将函数y=:的图象平移得到函数y=/"）的图象？

（2）判断并证明函数y=/（x）在［0,1）上的单调性，并求函数y=在卜表,上的值域.

答案：

（1）函数y=：的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到f（x）的图象.

（2）函数y=/（x）在［0,1）上为减函数，证明见解析；值域为：［—1,1］

解析：

/（x）=-----1

（1）首先根据题意得到''1+X,再根据平移变换的性质即可得到答案.

（2）根据单调性的定义证明即可得到y=/（久）在［0,1）上的单调性，再利用复合函数的单调性即可得到函数

y=在上的值域.

（1）

公）=上=-（皿）+2=3_1

函数y=:的图象向左平移一个单位得到y=告，

f（x］=——1

再向下平移一个单位得到1+X的图象.

(2)

设任意》1，%2W［0,1），且%1<x2,

2_[]_2_]_2(马一百)

〃%)-/优)=

1+斗)+々)(1+5)(1+9)

因为14-%!>0,1+%2>0，X2—%1>0,

9

所以f("l)一人不)>0.即f(Xi)>/(X2).

所以/(x)在［0,1)上为减函数.

设任意工1.26［-5*卜且X1<X2>

iVf---1］=

U+再J(1+9)(l+2。xJ『O+x)?),

因为1+%1>0,1+x2>0,X2-Xy>0,

所以JCq)-f(*2)>0,即f(X】)>/(X2).

所以f(x)在［0,1)上为减函数.

所以函数y=的3/(%)在［后弓］上为减函数，

x=一2时，ymax=log3f(-J)=iog33=i,

x=3时,加讥=log3f(-I)=log3-1,

故值域为：［—1,1］

17、已知—兀<a<0,且满足.从①sina=g；②cosa+sina=一?；③tana=—2.三个条件

中选择合适的一个，补充在上面的问题中，然后作答补充完整的题目.

(1)求cosa-sina的值:

(2)若角6的终边与角a的终边关于y轴对称，求器器的值.

答案：

(1)详见解析；

(2)—3.

解析：

(1)由题可得选①不合题意，若选②利用同角关系式可得2si?iacosQ=-^<0，进而可求cosa-sina,若

选③，利用同角关系式可求sina,cosa的值，即得；

(2)由题可得cos£=-cosa=一卷sinS=sina=—等，即求.

(1)

若选择①，,「一兀<a<0,

sina<0,与sina=等矛盾；

若选择②，cosa+sina=-?，贝!J(cosa+sina)2=

2sinacosa=—1<0,又一兀<a<0,cosa>0,

<a<0,cosa—sina>0,

2

.R——5-----：—L,43病

..cosa—sina=y/1—Icosasina=1+-=——：

V55

10

若选择③，tana=—2<0,又一兀<a<0,

「.一1<a<0,sina=-2cosa<0,sin2a+cos2a=1,

..2V5V5

•♦SlTLCt=------,COSCC="»

.3V5

•.cosa—sina=—；

(2)

由题可得cos/?=—cosa=-qsin0=sina=—当

VS2^

cosp+sinp

=—3.

cos^-sinp-8

18、已知正方体4BCD-48传1。1.

(1)证明：&C，平面GBD；

(2)求异面直线。14与BD所成的角.

答案：

(1)证明见解析

(2)-

3

解析：

(1)证明B。，平面A&C,可得&C_LBD,同理可证为C1BC1，然后由线面垂直的判断定理即可证明

&CJ■平面GBD；

(2)由D14IIC/,可得4C1BD即为异面直线。遇与BD所成的角，易知△为等边三角形，从而可得异面

直线劣4与BD所成的角.

(1)

证明：连接AC,交BD于点。，在正方体ABCD-48停1。1中，底面ABCD是正方形，

ACA.BD,X'.-BD1AAT,u平面4通。，AtACtAC=A,

：.BO_L平面4&C,又r&Cu平面4&C,

/.ArC1BD；同理可证4C_LBG，

又BG、BDu平面BDG，BC1cBD=B,

ArC_L平面CiBD.

11

G

解：「DXA||C隹,：.4CIB。即为异面直线。遇与BD所成的角，

设正方体4BCD-4/165的边长为a,则易得QB=BD=CrD=V2a,

,AGB。为等边三角形，二NGBD=g,

故异面直线。解与BD所成的角为泉

19、已知等差数列｛%3满足。2=4,%+。5=14.

(1)求｛册｝的通项公式；

(2)若等比数列｛bn｝的前“项和为治，且瓦=0,bl=ab,bn+1>bn,求满足5<2022的n的最大值.

答案：

(1)an=3n-2

(2)10

解析：

⑴设等差数列公差为d,根据已知条件列关于由和d的方程组即可求解；

⑵设等比数列公比为q,根据已知条件求出瓦和q,根据等比数列求和公式即可求出土,再解关于"的不等式

即可.

(1)

由题意“黑+£；4I"解得口=3

91+%+4d=14Id=3

Q-=1+3(n—1)=3n—2.

(2)

■「瓦==1,Z)3=a6=16,

n

又bn+i>「•么=%公比q=2,：,Sn=2—1,

令2n-IV2022,得2nV2023,

令21°V2023V21i,所以〃的最大值为10・

20、如图，在三棱锥P-71BC中，AB=2,AC=2A/3,BC=4,P力J_平面ABC,Q是PB的中点，M是BC的中

点.

12

(1)求证：QM1AB-,

(2)过点M作BC的垂线，交4c于点N,若四棱锥Q-4BMN的体积为2,求P4的长.

答案：

(1)证明见解析.

(2)P4的长为3百.

解析：

(1)通过线面垂直证得力BJ.PC,再由QM〃PC即可得证；

(2)求出底面四边形4BMN的面积，求出四棱锥Q-4BMN的高，结合PA=2Q。即可求出24的长.

(1)

证明：因为AB=2,AC=2V3,BC=4,

所以8c2=AB2+AC2,所以

因为PA1平面SBC,ABu平面ABC,所以P41AB,

因为P4ACu平面PAC,PA^AC=A,

所以4B1平面「AC,

又因为PCu平面PAC,

所以4B1PC,

因为在APBC中，Q是PB的中点，M是BC的中点，

所以QM〃PC,所以QM1AB.

(2)

解：在ACMN和△C4B中，

乙MCN=/.ACB,乙CMN=/.CAB=90°,

所以ACMNs^cAB,

因为也=j=更，

z2V33

2

所以衿生=(多=1,

^>hCAB'"3

所以四边形4BMN的面积S=|S^CAB=|xgx2巡x2)=殍

13

取48的中点。，连接QD,

在APAB中，Q,D分别为PB,4B的中点，

所以QD〃PA,

因为P41平面ABC,AB,ACu平面ABC,'P^PA1AB.PA1AC,

所以QD_LZB,QD_L4C,又因为28,ACu平面ABC,A8cAC=4,

所以QD1平面ABC,

所以QD为四棱锥Q—ABMN的高，

所以为TBMN=xQD=：x竽xQC=竽QC=2,所以QD=当,

所以PA=2QD=3百，所以AM的长为3/1

21>已知函数/'(x)=2V5sinxcosx—2cos2刀+2,xER.

(1)求函数f(x)的最小值；

(2)把丫=/(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，求不

等式gQ)>2的解集.

答案：

(1)-1

(2)(2/CTT+2/OT+兀)，kEZ

解析：

(1)用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式转换为正弦型函数，进一步求出函数的最值.

(2)利用函数伸缩变换后的表达式解三角不等式.

(1)

/(%)=2y/3sinxcosx—2cos2x+2=y/3sin2x—cos2x+1=2sin卜x-，)+1,

所以当sin(2x-‘)=一1时，f(x)取得最小值-1.

(2)

由已知可得g(x)=2sin(%-£)+1>2,二sin(x-，)>

2/OT+—<x——<2/CTT+,

666

14

g（x）>2的解集为（2/CTT+p2/c/r+兀），k&Z.

双空题（共1个，分值共：）

22、如图，在棱长都为1的平行六面体4BCD-&B1C也中，