计算机数据库实验报告13w13

第四中值定理与导数的第四中值定理与导数的f(b)f(a)f'(中值定洛必达法函数的单调性及其判b函数的极值、最值及其应用2极值的研究是微积分产生主要动力之§4.4函数的极值与最极值的研究是微积分产生主要动力之§4.4函数的极值与最设函数yƒ(x)在(ab)yMy=bxoma2在f(1)比它附近各点的函数值都要小2f(1)f(23一、函数的极1、极值的定定义1y=ƒ(x)0一、函数的极1、极值的定定义1y=ƒ(x)0Ux0,内有定义，xUx0,)恒(1)f(x0)f(f(x0x0称为ƒ(x)的极大值点(2)f(x)f(x0则称fx0)函数ƒ(x)的极小值极大值,中南财经政法大学周月4问题:请指出右图中的极值及极值点2、极值与最y问题:请指出右图中的极值及极值点2、极值与最yMy=（1）由极值定义知是函数的局部性态极即b3ox2a是函数在一个邻域内最大m值和最小的值故它只可能在b)的内点处取得而函数的最大值与最小值则是指整个定义域内区间[a体性态可在[a,b]的内点取得,也可在[a,b]的端点取得）b]的中南财经政法大学周月53、极值的必要条定理(极值的必要条件设函y=ƒ(x)在处可导(即f(x0为极值f3、极值的必要条定理(极值的必要条件设函y=ƒ(x)在处可导(即f(x0为极值fx若x0为函数的极值fx0)为极值(不妨设为极大值证U(x0,则必存的一个邻x)f(x0)xxU(x0,)时有f0f(xx)f(xf(xf)f(x),f(x)00 f(x0)f(x0实根fx00fx0注1、导数为零的点(即方称为函数ƒ(x)的驻点y2x0有x中南财经政法大学周月yx是其驻6注2、对可导函数来说驻点不一定是极值点即曲线上有注2、对可导函数来说驻点不一定是极值点即曲线上有水平切线的地方函数不一定有极值xf(x)x3f(0)但x0不是fx)极值y注3、函数我们已知x0是函数y连续但不可导点.但 0是函数的极小值点ox对于可微函数来讲，极值点一定是驻连续的不可导点也可能是极值点结论因此寻求极值点的方yo中南财经政法大学周月4、判别法（1）判定极值的第一充分条定理1设函数y=ƒ(x)4、判别法（1）判定极值的第一充分条定理1设函数y=ƒ(x)Ux0,或内连续,(0,U(x0,U(0(1)fx0，xx0x0)且fxxx0x0)则x0是极大值点fx0)fx)的极大值)(2)fx0，xx0x0)且fxxx0,则x0是极小值点fx0是fx的极小值（3）若xU(x0,, f(x)保号则x0不为极值点（即：函数的极值在单调区间的分界点处取得证中南财经政法大学周月8此定理可简单叙述为:设x0为连续函数ƒ(x)若f此定理可简单叙述为:设x0为连续函数ƒ(x)若f(xx0x0不是ƒ(x)的极值点x为ƒ(x)0若当xx0左侧变到右侧时,因此求极值的一般步骤为(1)给出定义域并找出定义域内所有驻点及连续不可导点考察这些点两侧导函数的符号，从而确定极值点求出极值点的函数值,即为极值中南财经政法大学周月9（仅适用于驻点yƒ(x)定理（仅适用于驻点yƒ(x)定理fx0)是函数ƒ(x(1)f(x0)0(2)f(x0)0是极小值点，fx0极小值x0是极大值点fx0极大值证明f(x)f(xfx00–0+xxf(00,xU(x0,xxx0f(x)xx0f(x)由定理9fx)取得极小值同理可证中南财经政法大学周月二、函数的最1.二、函数的最1.闭区间上连续函数的最大最小(ii中南财经政法大学周月因而可用如下的方法求ƒ(x)在[ab]上的最大值和最小值因而可用如下的方法求ƒ(x)在[ab]上的最大值和最小值1,(i)求出ƒ(x)的驻点xix1,x2,xm以及连续不可导点(ii)比其中最大的便是ƒ(x),b]上的最大最小的便是,b]上的最小值在中南财经政法大学周月f(a),f(x1),f(x2 ,f(xnf(x1),f(x2 ,f(xm),f求函数fx(x2在例解3ƒ(x)在[0,3]x求函数fx(x2在例解3ƒ(x)在[0,3]xf(x).33ƒ(x)x1x2xƒ(0)=0,ƒ(1)=1,ƒ(2)=f(3) 3比较这些函数值的大小,有maxƒ(xƒ(3minƒ(x)=ƒ(0)=ƒ(2)=39中南财经政法大学周月2、说明f(x在[ab]上单调,则在端点处2、说明f(x在[ab]上单调,则在端点处取得最值若若x0在某区间内只有一个极大（小）值f(x)那么f(x就是最大(小)值0在某区间（开区间或无限区间）内有c.f(x)于一个极大（小）值点那么需要结合函数的单调性和在区间端点的极限，通过比较可得最大小值（可能不存在！）。中南财经政法大学周月例求乘积为常数a0,其和为sx解设两个正数为xyx>0yay则由xaxs(x)xx(x例求乘积为常数a0,其和为sx解设两个正数为xyx>0yay则由xaxs(x)xx(xa由sx)1x0saa(舍去,12a2s(x)2asx)xaa取得极小值sx)xya取得最小值a中南财经政法大学周月0x sinx2例证能用函数的单调或中值定理证明吗0x sinx2例证能用函数的单调或中值定理证明吗22f(xsinxf(x)cosx (0x2fx0xarccos(0x2f(x)sinx)2xarccosff(0)f又2在[0,上有最小值f(0) (0x222中南财经政法大学周月Minf(x)f(x)Maxf 例9.设圆柱形有盖茶缸容积V为常数,求表面积为最小时,底半径r与高h之比.解设表面积为S,s2Vr由Vr2hhs(r)2r2(rr2例9.设圆柱形有盖茶缸容积V为常数,求表面积为最小时,底半径r与高h之比.解设表面积为S,s2Vr由Vr2hhs(r)2r2(rr2s(r4r0得r3r2hr3s(r44VsV32rVs(r)r取得极小值，而取得最小值3 Vr1h2rh2V()2 中南财经政法大学周月三、函数最值在经济中的应1.平均成本最例1xC(x)900040三、函数最值在经济中的应1.平均成本最例1xC(x)900040xC(x)C(x)900040解9000xC(x)C(x)0xCx0x唯一x3000C(x)40C(3000)46(元件C(3000)46(元/件).故，故中南财经政法大学周月C(x)C(xC(xC(x)C(xC(x)xC(x)C(xC(x)C(x)0xC(x)C(x)xC(x)C(x)C(x)C(x即，平均成本达到最小的必要条件是边际成本等于平均成本中南财经政法大学周月2.最大利设总成本函数为总收益函数为R(x)xL(x)2.最大利设总成本函数为总收益函数为R(x)xL(x)=R(x)–必要条件和极值的第二充分条件,L(x)L(R(x0)C(x0)x0L(R(x0)C(x0)x0当产量水平xx0使得边际收益等于边际2013/5/,假定R(x)9x,而C(x)x36x215x,其中x表示千例L(x)R(x)假定R(x)9x,而C(x)x36x215x,其中x表示千例L(x)R(x)C(x)9xx315xx36x2L(x)x36x26x3x212x12 7222令3x212x6得1612 2x26L(x)3x212x66xL(2 2)620,L(2 2)2如图所示中南财经政法大学周月例*.某商家销售某种商品的价格满足关系pC(x例*.某商家销售某种商品的价格满足关系pC(x3x1(1)t(2)t(1)当该商品的销售量为xRpx7x设政府征的总税额为=tLRTC0.2x2(4t)x中南财经政法大学周月L(x)0.4x4xL(x)0.4x4x5(4t令Lx0Lx0.42Lx)x5(4t)取得最大值2(2)由(1)Ttx5(4t)t105(t22t2x5(4t)2t满足限制0t4t2t中南财经政法大学周月第四中值定理与导数的第四中值定理与导数的f(b)f(a)f'(中值定洛必达法函数的单调性及其判b函数的极值、最值及其应用曲线的凸性、拐点与渐近线曲线的凹性与拐如图:曲线弧AB是单曲线的凹性与拐如图:曲线弧AB是单增的曲线C•BA曲线的弯曲方向和弯曲方向的转变点对我们研究函中南财经政法大学周月一、曲线的凸（凹）1、定义（几何，代一、曲线的凸（凹）1、定义（几何，代数的定义1设函yƒ(x)在区间(ab)内可导。若该函数曲线在(a,b)内总是位于其上任意一点的切线上方,则称该曲线在(a,b)内是向下凸（上凹）的;区间yb)为该曲线的下凸（上凹）区间yyooxx若该函数曲线在 b)内总是位于其上任意一的切线下方,则称该曲线在(a,b)内是向上凸（下凹20135/2区间(a,b)为该梅凹）区间定义若曲线y=ƒ(x)在区间(a,b)内连续x1f(x)f(xx定义若曲线y=ƒ(x)在区间(a,b)内连续x1f(x)f(xxx(ab),均1f212122x1[f(x)f(x1或f1222的。如下图y=则称曲线在该区间内是向上凸(或向下凸yyy=•1B1B••[f(x)f(x)] [f(x)f(x)] •AAxx1ox1xoxxx中南财经政法大学周月12122B2、如何判别曲线的凹凸性B时A对B2、如何判别曲线的凹凸性B时A对应的切线斜fx)单调减少的而上凹曲线从点A移到点B时对应的切Bf(A斜定单调增加的设函数y=ƒ(x)在区间(a,b)内具有二阶导数,则曲线y=f(x)在内是下凸的+(2)x(abfx则曲线y=f(x)在内是上凸的注意：如果fx0或fx)不存在的点不构成一区间，在中南财经政法大学周月证明（1）x(ab),fx)存在fx)yfx)在x0,f证明（1）x(ab),fx)存在fx)yfx)在x0,fx0曲切线方程yy=(x,f(x0,f(x0•yf(x0)f(x0)(xx0•(x,设是曲线上的另一任意(x,f(oxabxfxfx0fx0x)x(01xxx0f(x0yf(x0)且x对应的切线上的点的纵坐标值f(x)y[f(x0x)f(x0(0fx0,fx)(ab)x0f(x0x)f(x0)xfx00x0fxyx0f(x0,fx0))与x,fx))的任意性知曲线y=f(x)在(a,b)内是下凸的中南财经政法大学周月二、曲线1、定定义2设函数yƒ(x)在区间(ab)内连续则二、曲线1、定定义2设函数yƒ(x)在区间(ab)内连续则曲线yƒ(x)在该区间内下凸（或上凸y=yBCAAC与上凸（下凸）(从C到B)部分的分界点C(c,ƒ(c))称为曲线的拐点.ocxab拐点是曲线上的点,从而拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同表示,不能仅用横坐标表示.这与驻点及极值点的表示方法不一样yx2,y例 判断曲的凹并求其拐yy(x2)(x2)2解yx2(中南财经政法大学周月x故曲内是下凸(x3)6xx(x3)(x3)6xx(x3)y0,xyxyx3在故曲内是上凸的在(0)内是下凸的(0,0)曲线的拐2、如何寻找曲线的拐yf(计算曲拐点的步（1）求函数的定义域(2求fx0及fx),f不存在的用（3）中的点划分Df，列表讨中南财经政法大学周月的凹性,并求其拐点例5x28D x3f33y104x10x的凹性,并求其拐点例5x28D x3f33y104x10x943xx不存在.列表如下(,0)(1,14内是上凹的结论3/5/ 的413)经政,周月梅4163x(,0(0,1414+_0+y拐点拐点(1,f x0,fx0))不x0,fx0))不一定是拐点fx00的注如：yxy12x2>yfx00是点为(x0,f(x0))中南财经政法大学周月三、曲线的渐近y当函数的定义域和值三、曲线的渐近y当函数的定义域和值域都是限时，其图形仅局限于一定围内，如椭圆xoy然而有些函数的定义域或值却是无限的，其图形则远离原而向无穷远处延伸，如抛物线而且还有些向无穷远处延的曲线，当其上的点无限远离原点时，该曲线却与某直如双曲线xoyxo中南财经政法大学周月y定x图),则称此直线L是曲线yfy定x图),则称此直线L是曲线yfx的渐近线。y•M••Qox中南财经政法大学周月曲线yƒ(x的渐近线按其与x轴的位置关系,yaxd1.水平渐近如果曲线y曲线yƒ(x的渐近线按其与x轴的位置关系,yaxd1.水平渐近如果曲线yƒ(x)1yycyƒ(x)的水xolimarctanx,limarctanx因22y=–所以曲线yarctanxy=π/2y11y yexyexyexx中南财经政法大学周月limfxc或limfx y若(或x例112)y若(或x例112)解lim xy2为水平渐近线12),x1为垂直渐近线中南财经政法大学周月x1x212.垂直(铅垂)渐近yƒ(x)在x0且yx=x0yƒ(x1y2.垂直(铅垂)渐近yƒ(x)在x0且yx=x0yƒ(x1yx11yxxxoxxy ,ylnx问题:曲xlimfx或limfxxx xx 3.斜渐近dyax若lim3.斜渐近dyax若limfx(axb)=01a2x-lim[f(x)(axb)]0其中b和为常数，且a则称直线yaxby=ƒ(x)y••QMαo»x中南财经政法大学周月分析y=ƒ(x)yax+blim[fxaxblim[fx分析y=ƒ(x)yax+blim[fxaxblim[fxaxx-limfxa0limfxax-xxxlimfxaf(x)即xxx-yƒ(x)ax+b的公式2 f( f( 或 blim[f(x) blim[f(x)013/5/27 中南财经政法大学周月(kx若(或xykx(kxf(kx若(或xykx(kxfbxklim]xlimx[f(x)kb]xxlim[f(x)kb]xx中南财经政法大学周月blim[f(x)kx](或xk f (或x例2.2x(1).f(x);x2xlimf(x)解且xx例2.2x(1).f(x);x2xlimf(x)解且xxxf(x) blim[f(x)x]x故垂直渐近线x0斜渐近线yx(2).f(x)xarctanxarctanf(a解xxblim[f(x)x]blim[f(x)x]1222xx=x–故斜渐近线=xπ/2中南财经政法大学周月例3(x3)(xlimyy解,(或x例3(x3)(xlimyy解,(或xx3xf又因kxx22xx2x2blim[f(x)x]xx22xyx2中南财经政法大学周月yx 函数作图的基本步骤与方一般步函数作图的基本步骤与方一般步骤是yƒ(x)(3)f(x0f(xf(x子区间,以确定函数的单调区间、凹性区间、极值和拐点.yƒ(x)中南财经政法大学周月12的图形e作函数fx)例(1)(2)因ƒ(–x)= 则ƒ(x)为偶函数,其图形关于12的图形e作函数fx)例(1)(2)因ƒ(–x)= 则ƒ(x)为偶函数,其图形关于y轴对称x)从而只讨论[0,)1e2y(4)f(x)是曲线的一条水平渐近x令e2x的唯一(x1)(x令0,xf(x)e2中南财经政法大学周月11)(5)描出y0.4oy关于yy••12x中南财经政法大学周月(x1)(11)(5)描出y0.4oy关于yy••12x中南财经政法大学周月(x1)(x1)f(x) ef(x) ex0(0,1(1,f0–––f––0+1拐点 f(x)x 的图形例 作函解(1)定义D(,(2)f(x)x 的图形例 作函解(1)定义D(,(2)x=±1为无穷间断点.而ƒ(–x)=–ƒ(x),则ƒ(x)为奇函数其图形关于原点对称,从而只讨论ƒ(x) (1的情形一条垂直渐近(3)x1yx1alimf(x)lim(12)x而blimfxaxlimxx)yx一条斜渐近2x24x21f(x)4x((4)f(x)1(x2(x2中南财经政法大学周月令fx0,得x252(y令fx)0得x0.列表如下y点(00)4321o令fx0,得x252(y令fx)0得x0.列表如下y点(00)4321o1x2中南财经政法大学周月x0(0,1(1,2(2,f––0+f0–++f(x)x44x2,(x2f(x)4x(x (x2例解12)yx22xy0,y0,y2x例解12)yx22xy0,y0,y2x2,(,0)(2,x012y000432323x23y2中南财经政法大学周月(极小(极大 例7y(x4(x1)解例7y(x4(x1)解2) 2(x3)4y4y4xyyx322(x24y8y4xyy142(xy0x1,3中南财经政法大学周月3)(,(3,13x003)(,(3,13x00y(极大0(极小4)limy,x1中南财经政法大学周月2y(x y(x3)(x1) y 4(x 4(x (xk41y1x4(x14limblim(yx4(x4lim5xk41y1x4(x14limblim(yx4(x4lim5x9x4(x4y1x44x2105)y44中南财经政法大学周月(xy4(xy(x3)(x4(xy (x6）绘(,(3,x13y0(极小(极大x(x4(xy6）绘(,(3,x13y0(极小(极大x(x4(xyy1x404012x2194y4中南财经政法大学周月例8解1y轴2)11(1x2yy例8解1y轴2)11(1x2yyxe,2y0x0;y0得x3)(极大中南财经政法大学周月(拐点x0(0,101 0 2(极大(拐点limyy(极大(拐点limyy0 y x0(0,101 0 2§5.1不定积分的概念和§5.1不定积分的概念和性cosxdx中南财经政法大学周月一般地F(x)一般地F(x)f我们把求导的逆运算称为不定积分中南财经政法大学周月导数f反导数不定积分的概念和性一、原函数（不定积分的概念和性一、原函数（反导数）的定f(x)定义在区间IFxI有定义F(x)dF(xff在该区间I上的一个原函数（反导数）则F(x)sinx,sinx–1则称F例是已知函数f设ƒ(xcos原函数存在的条件原函数的个数不同的原函数之间的关系中南财经政法大学周月问题定理f在区间I上连续,则f(x)在区间I(证明略是函数f定理f在区间I上连续,则f(x)在区间I(证明略是函数f(x在区间I定理设F(x)F(x)何常数C证也是函数(x)的原函数(F(xC)F(xf则定理设F(x)和G(x)都是函数ƒ(x)的原函数F(x)–C(常数(F(x)G(x))F(x)G(x)f(x)f(x)证由拉格朗日中值定理得推论F(x)G(x)C(常数中南财经政法大学周月注:当C为任意常数时F(注:当C为任意常数时F(x)是ƒ(x)的一个原函数则表F(xC可表ƒ(x的任意一个原函数即：ƒ(x的就是函数族体原函数所组成的集合F(x)c中南财经政法大学周月二、不定积分的定“∫”亦由莱布二、不定积分的定“∫”亦由莱布尼兹所创，它是德语“总和”Summe的第一个字母s的伸长定义2函数f(x)的全体原函数称为f(x的不定积分f(记积分号x称为积分变量,结论F(x)f(x)称为被积函数f(x)dx称为被积表达式则f(x)C为任意常数,并称C为积分常数中南财经政法大学周月f(x)dxF(x)例sinxdxcosx2xdxx2例sinxdxcosx2xdxx2sinx解解xdx x1C解1 arctanxC1解1(5)dxlnx解xx中南财经政法大学周月求不定积分就是被积函数的一个原函不定积分是全体原函数的一般表达求不定积分就是被积函数的一个原函不定积分是全体原函数的一般表达式.最后结果中要忘记积分常数（3）求不定积分的方法称为积分法ktan2xf的一个原函数已,例求常数222sinlncos 解 4tan3k43ktan2xf中南财经政法大学周月三、不定积分的几yF(x)函数ƒ(x)三、不定积分的几yF(x)函数ƒ(x)的一个原函数是ƒ(x)的一条积分曲线yF(x的图的原函数一般表达所以它对应其特点是f(x)dxf图形是一族积分曲线称它为积分曲线族(1)积分曲线族中任意一条曲线y由其中某一条(如=F(x))沿y轴平移动|c|个单位而得到(如图)当c>0时向下移动向上移动当c<0时xxo中南财经政法大学周月y(F(x)C)F(x)y(F(x)C)F(x)f每条积分曲线即横坐标相同点处相应点的切线斜率相等都为ƒ(x从而相应点的切线相互平行oxx注:当需要从积分曲线族中求过点(x0,y0)的一条积分曲线时则只须(x0y0)代入yF(xC中解出C即可中南财经政法大学周月例3.设曲线通过点12解y例3.设曲线通过点12解y12oxy中南财经政法大学周月例已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐的倒数例已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐的倒数且过(e3求此曲线方程则所求曲线yƒ(xdyy1dxlnxxx5知C35lnC故所求曲线yln|x|中南财经政法大学周月四、不定积分的性性质即积分与求导二者作用四、不定积分的性性质即积分与求导二者作用抵消f(x)dxF(x)C乘积关f(x)dxF(x)CF(x)fF(x)C注微分运算与积分运算是互逆的中南财经政法大学周月dF(x)F(x)dxF(x)(2)F(x)dxF(x) (1)[f(x)dx]f(x)d[f(x)dx]fkf(x)dxkf(k性质[f(x)kf(x)dxkf(k性质[f(x)g(x)]dxf(x)dx性质证f(x)dx ff(x)是ƒ(x)±g(x)的原