主题一 功和功率的四类典型问题

能量与动量第二板块学前必明·一网在胸|有哪些知识·知识间有怎么样的联系动能定理与动量定理专题四高考对本专题的考查有如下特点：(1)功和功率、动能定理的命题注重与生产、生活、科技相结合，将对相关知识的考查放在一些与实际问题相结合的情境中，多数题目是与牛顿运动定律、平抛运动、圆周运动以及电磁学等知识相结合进行综合性考查。(2)动量和动量的变化量这两个概念常穿插在动量定理的应用中考查；动量定理的应用是本部分的重点和难点，也是高考的热点，特别是以运用动量定理解决生活和生产、科技中的实际应用问题的形式出现。本专题共设计3个教学主题，建议用时2课时01020304目录类型(一)摩擦力做功问题类型(二)变力做功的计算问题类型(三)功和功率与图像的综合问题类型(四)机车启动问题主题一功和功率的四类典型问题类型(一)摩擦力做功问题摩擦力做功与摩擦热分析(1)摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可以对物体不做功。(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零。(3)相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值。滑动摩擦力做功时，既有物体间机械能转移，也有部分机械能转化为内能，内能Q＝f·x相对，x相对为两接触物体间的相对位移。[考法全训]1．(2023·西宁高三模拟)(多选)如图所示，质量m＝1kg的物体(可视为质点)从高为h＝0.2m的光滑轨道上P点由静止开始下滑，滑到水平传送带上的A点，物体和传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.2，传送带A、B之间的距离为L＝5m，传送带一直以v＝4m/s的速度顺时针转动，g取10m/s2，则(

)A．物体从A运动到B的时间是1.5sB．物体从A运动到B的过程中，摩擦力对物体做的功为2JC．物体从A运动到B的过程中，因摩擦产生的热量为2JD．物体从A运动到B的过程中，带动传送带转动的电动机多做的功为10J答案：AC

2．(多选)如图所示，载有物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶。已知小车总质量为50kg，MN＝PQ＝20m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的有(

)A．从M到N，小车牵引力大小为40NB．从M到N，小车克服摩擦力做功800JC．从P到Q，小车重力势能增加1×104JD．从P到Q，小车克服摩擦力做功700J答案：ABD

小车在MN段匀速，则Ff1＝F1＝40N，故小车克服摩擦力做功WFf1＝Ff1·MN＝800J，B正确；从P到Q，小车重力势能增加ΔEp＝mgPQsin30°＝5×103J，故C错误；求解变力做功问题在高考命题中时常出现，根据变力的特点和物体的运动规律，通常采用如下四种方法求解：(1)应用动能定理；(2)微元法；(3)等效转化法；(4)图像法。类型(二)变力做功的计算问题[典例]

2023年6月4日6时33分，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。如图所示，若返回舱在离地面约6km的高空打开主伞(降落伞)，在主伞的作用下返回舱速度从80m/s降至10m/s，此后可视为匀速下降，当返回舱在距离地面1m时启动反推发动机，速度减至2m/s恰好落到地面。设主伞所受的空气阻力为f＝kv，其中k为定值，v为速率，其余阻力不计。已知返回舱(含航天员，后同)总质量为3000kg，主伞的质量忽略不计，忽略返回舱质量变化，g取10m/s2，设全过程为竖直方向的运动。(1)在主伞打开后的瞬间，求返回舱的加速度大小。(2)若在反推发动机工作时主伞与返回舱之间的绳索处于松弛状态，求反推发动机在该过程中对返回舱做的功。[解析]

(1)设主伞打开后瞬间返回舱所受阻力为f1，返回舱匀速下降时所受阻力为f2，返回舱匀速下降时，对返回舱进行受力分析，根据平衡条件可得f2＝kv2＝mg，主伞打开后瞬间，对返回舱由牛顿第二定律可知mg－f1＝ma由题意知f1＝kv1联立可得a＝－70m/s2所以主伞打开后的瞬间，返回舱的加速度大小为70m/s2。[答案]

(1)70m/s2

(2)－1.74×105J方法1微元法求变力做功1．(2023·咸阳高三模拟)在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把谷物磨成面，如图所示，假设驴对磨的平均拉力为600N，拉力沿磨盘圆周切线方向，磨盘的半径r为0.5m，磨盘转动一周的时间为5s，则(

)[考法全训]A．驴拉磨一周拉力所做的功为0B．驴拉磨一周拉力所做的功为650πJC．驴拉磨一周拉力的平均功率为120πWD．磨盘边缘的线速度大小为0.1πm/s答案：C

解析：驴对磨的拉力沿磨盘圆周切线方向，拉力作用点的速度方向也在该切线方向，可认为拉磨过程中拉力方向始终与速度方向相同，故根据微元法可知，2．(多选)如图甲所示，质量为m＝1kg的木块(可视为质点)被水平向左的力F压在竖直墙壁上，木块初始位置离水平地面高度H＝4m，木块与墙面之间的动摩擦因数μ＝0.2，力F与木块到地面的距离h间的关系如图乙所示，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小g取10m/s2。下列说法正确的是(

)方法2图像法求变力做功A．木块从初始位置开始下滑至地面瞬间的过程中，克服摩擦力做的功为8JB．木块从初始位置开始下滑至地面瞬间的过程中，因摩擦而产生的热量为40JC．木块从初始位置开始下滑至地面瞬间的过程中动能的变化量为32JD．木块下滑到地面前的瞬间的速度大小为8m/s答案：ACD

解析：木块受到的最大摩擦力fmax＝μF＝0.2×20N＝4N，由题图乙运用“图像转化法”将“h-F图像”转化为“f-h图像”，如图所示。由f-h图线与坐标轴围成的面积表示木块克服滑动摩擦力做的功，可知木块从初始位置开始下滑至地面瞬间的过程中，3．如图所示，某人利用100N的恒力F作用于不可伸长的轻绳的一端，轻绳通过定滑轮将放在水平面上的物体从A点缓慢移到B点。开始时，与物体相连的轻绳和水平面的夹角为α1，当物体移到B点时，轻绳和水平面的夹角为α2。已知α1＝30°，α2＝45°，h＝2m，不计滑轮质量及轻绳与滑轮间的摩擦。则轻绳对物体的拉力所做的功约为(

)A．68J

B．117JC．200J D．220J方法3等效转化法求变力做功答案：B

1．功和功率与图像的综合问题一般有三类：(1)由F-t、a-t图像等分析运动过程，计算功和功率；(2)由v-t图像结合动能定理求功或瞬时功率、平均功率；(3)由F-x、P-t图像与坐标轴围成的面积求解功。2．求解图像类问题时，首先要明确图像的物理意义，将图像与相关的物理情境、物理规律联系起来，并从图像中获取有用信息进行求解。类型(三)功和功率与图像的综合问题[典例]

(多选)某起重机从t＝0时刻由静止开始提

升质量为m的物体，其a-t图像如图所示，t1～t2时间内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度为g，则以下说法正确的是(

)A．该起重机的额定功率为ma02t1B．该起重机的额定功率为(mg＋ma0)a0t1C．0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为t1∶2(t2－t1)D．0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为t1∶2t2[答案]

BC[解析]

0～t1时间内，物体做匀加速直线运动，牵引力不变，功率增大，当t＝t1时，根据牛顿第二定律可得F－mg＝ma0，此时功率达到额定功率，且P额＝Fv1，又v1＝a0t1，联立解得起重机的额定功率为P额＝(mg＋ma0)a0t1，故A错误，B正确；[思维建模]解决非常规图像问题的两种方法(1)排除法：定性地分析每一个过程中物理量的变化(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是物理量的正负，排除错误的选项。(2)函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后结合图像进行分析和判断。1．(多选)在某一粗糙的水平面上，一质量为2kg的物体在水平恒定拉力的作用下做匀速直线运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出了拉力随位移变化的关系图像，已知重力加速度g取10m/s2。根据以上信息能精确得出或估算得出的物理量有(

)[考法全训]A．物体与水平面间的动摩擦因数B．合外力对物体所做的功C．物体做匀速运动时的速度D．物体运动的时间答案：ABC

因为物体做非匀变速运动，所以运动时间无法求出，D错误。2．(2023·新课标卷)(多选)一质量为1kg的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿x轴运动，出发点为x轴零点，拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10m/s2。下列说法正确的是(

)A．在x＝1m时，拉力的功率为6WB．在x＝4m时，物体的动能为2JC．从x＝0运动到x＝2m，物体克服摩擦力做的功为8JD．从x＝0运动到x＝4m的过程中，物体的动量最大为2kg·m/s答案：BC

0～4m的过程，由动能定理有W′－μmgx4＝Ek4－0，解得Ek4＝2J，B正确；从x＝0运动到x＝2m，物体克服摩擦力做的功为Wf＝μmgΔx＝8J，C正确；3．(2023·延安高三调研)一起重机用钢绳提起静止在地面上的重物，开始在竖直方向上做匀加速运动，然后做匀速运动。重物上升高度为h，运动时间为t，加速度为a，动能为Ek，起重机功率为P，下列图像能描述上述过程的是(

)答案：C

重物开始在竖直方向上做匀加速运动，然后做匀速运动，a-t图像先是与时间轴平行且不为零的直线，然后加速度为零，故B错误；类型(四)机车启动问题2．恒定加速度启动(1)v-t图像如图乙所示，机车先做匀加速直线运动，当功率达到额定功率后获得匀加速的最大速度v1。若再加速，应保持额定功率不变做变加速运动，直至达到最大速度vm后做匀速运动。(2)常用关系：F－F阻＝ma，P＝Fv1，P＝F阻vm，v1＝at1，其中t1为匀加速运动的时间。[典例]

(2023·汉中高三调研)已知某品牌纯电动汽车整车质量(含驾驶员)约1200kg，驱动电机最大功率为120kW，峰值扭矩为290N·m，驱动形式为前轮驱动，综合续航里程430km。若该电动汽车在平直公路上行驶受到的阻力大小恒为4×103N，则下列说法正确的是(

)A．汽车的最大速度为20m/sB．汽车上坡时低速行驶，是为了使汽车获得较大的牵引力C．汽车以2m/s2的加速度匀加速启动，启动后第2s末时发动机的实际功率是32kWD．若汽车以最大功率启动到速度达到最大的过程中，平均速度等于15m/s[答案]

B根据瞬时功率P＝Fv，可知汽车上坡时，司机一般都将变速挡换到低速挡位上，使汽车获得较大的牵引力，B正确；汽车以2m/s2的加速度匀加速启动，启动后第2s末的速度为v＝at＝4m/s，此时汽车牵引力大小为F＝ma＋Ff＝1.2×103×2N＋4×103N＝6.4×103N，此时功率为P＝Fv＝25.6kW，C错误；若汽车以最大功率启动到速度达到最大(30m/s)的过程中，根据恒定功率启动的v-t图像可知，平均速度大于15m/s，D错误。[微点拨]解决机车启动问题的两点注意(1)分清是匀加速启动还是恒定功率启动①匀加速启动过程中，机车功率是不断增大的，当功率达到额定功率时匀加速运动速度达到最大，但不是机车能达到的最大速度。②以额定功率启动的过程中，牵引力是不断减小的，机车做加速度减小的加速运动，牵引力的最小值等于阻力。(2)无论哪种启动方式，最后达到最大速度时，均满足P＝Ffvm，P为机车的额定功率。

[考法全训]1．(2023·银川高三检测)复兴号动车已实现速度350km/h自动驾