人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第14讲 2.1.1倾斜角与斜率（原卷版）

第01讲2.1.1倾斜角与斜率课程标准学习目标①理解直线的倾斜角与斜率的概念。②掌握直线的倾斜角的范围与斜率存在的意义.。③了解直线的方向向量与直线、直线的斜率的关系。④会用两点坐标求直线的斜率。⑤在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。通过本节课的学习，理解直线的倾斜角与斜率的概念，了解直线的方向向量与直线的斜率的关系，会求直线的斜率与倾斜角，掌握确定直线的条件及直线倾斜角与斜率的取值范围.知识点01：直线倾斜角的定义以SKIPIF1<0轴为基准，SKIPIF1<0轴正向与直线SKIPIF1<0向上的方向之间所成的角SKIPIF1<0叫做直线SKIPIF1<0的倾斜角.（1）当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为SKIPIF1<0；所以倾斜角的取值范围为：SKIPIF1<0；特别地，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直时，直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0.（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.知识点02：直线的斜率我们把一条直线的倾斜角SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用字母SKIPIF1<0表示，即SKIPIF1<0（1）倾斜角SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；（2）倾斜角SKIPIF1<0时，直线的斜率不存在。【即学即练1】（2023秋·湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是SKIPIF1<0，则此直线的斜率是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为直线的倾斜角是SKIPIF1<0，所以此直线的斜率是SKIPIF1<0.故选:C.知识点03：斜率与倾斜角的联系倾斜角SKIPIF1<0（范围）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0（范围）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0不存在SKIPIF1<0【即学即练2】（2023秋·天津南开·高二天津市第九中学校考期末）图中的直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，则有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由图象可得，SKIPIF1<0，故选：C知识点04：直线斜率的坐标公式如果直线经过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），那么可得到如下斜率公式：SKIPIF1<0（1）当SKIPIF1<0时，直线与SKIPIF1<0轴垂直，直线的倾斜角SKIPIF1<0，斜率不存在；（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；（3）当SKIPIF1<0时，斜率SKIPIF1<0，直线的倾斜角SKIPIF1<0，直线与SKIPIF1<0轴重合或者平行。【即学即练3】（2023·江苏·高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．【答案】(1)存在，1(2)存在，SKIPIF1<0(3)不存在【详解】（1）由题意，存在，直线AB的斜率SKIPIF1<0．（2）由题意得，存在，直线CD的斜率SKIPIF1<0．（3）∵SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的斜率不存在．题型01求直线的倾斜角【典例1】（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）已知SKIPIF1<0是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】（2023秋·福建福州·高二统考期末）若直线SKIPIF1<0的方向向量是SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为__________.题型02直线斜率的定义【典例1】（2023秋·天津滨海新·高二校考期末）已知直线的倾斜角是SKIPIF1<0，则该直线的斜率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·四川遂宁·高二校考期末）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】（2023秋·贵州黔西·高二统考期末）已知直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型03斜率与倾斜角变化关系【典例1】（2023秋·高二课时练习）若如图中的直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．【变式1】（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水中学校考期末）已知直线SKIPIF1<0经过第二、四象限，则直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0的取值范围是（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）（多选）如图，在平面直角坐标系中有三条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其对应的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列选项中错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型04已知两点求斜率【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0．【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）若经过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的直线的倾斜角是钝角，则实数SKIPIF1<0的取值范围是________．【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）已知SKIPIF1<0．(1)求直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的斜率；(2)若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（包括端点）上移动时，求直线SKIPIF1<0的斜率的变化范围．

题型05已知斜率求参数【典例1】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）若直线经过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且其倾斜角为135°，则SKIPIF1<0的值为（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线的斜率为1，那么SKIPIF1<0的值为（

）A．1或4 B．4 C．1或3 D．1【变式1】（2023春·河南安阳·高二安阳一中校联考开学考试）已知点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023秋·高二课时练习）过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．题型06利用直线斜率处理共线问题【典例1】（2023秋·甘肃兰州·高二兰州西北中学校考期末）三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在同一条直线上，则SKIPIF1<0值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．2或SKIPIF1<0【典例2】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不能构成三角形，则SKIPIF1<0的值是________.【变式1】（2023秋·山西临汾·高二统考期末）若三点SKIPIF1<0在同一直线上，则实数SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．6 D．12【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在同一条直线上，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5题型07求斜率或倾斜角的取值范围【典例1】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0相交，则直线SKIPIF1<0的斜率取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·高二课时练习）直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角的取值范围是__________．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且与以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为端点的线段相交，则直线SKIPIF1<0的斜率的取值范围是__________．【典例4】（2023秋·湖北武汉·高二统考期末）经过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0与连接点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的线段总有公共点，则直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0的取值范围是__________．【变式1】（2023春·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考开学考试）已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0,且与线段SKIPIF1<0相交,则直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【变式2】（2023秋·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上一动点，则直线SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0的变化范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式4】（2023春·浙江温州·高二校考阶段练习）已知直线斜率为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么倾斜角SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型08斜率公式的几何意义的应用【典例1】（2023·全国·高二专题练习）若实数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则代数式SKIPIF1<0的取值范围为______【典例2】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图象上，当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为______.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图象上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·江苏·高二假期作业）若直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为（）A．0° B．30°C．60° D．90°2．（2023秋·高二课时练习）对于下列命题：①若SKIPIF1<0是直线l的倾斜角，则SKIPIF1<0；②若直线倾斜角为SKIPIF1<0，则它斜率SKIPIF1<0；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023秋·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）若直线经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2023·全国·高三专题练习）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是阆中市盘龙山嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个针的间距SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，…，9）均为SKIPIF1<0，拉索下端相邻两个针的间距SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，…，9）均为SKIPIF1<0．最短拉索的针SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则最长拉索所在直线的斜率约为（

）（结果保留两位有效数字）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023·江苏·高二假期作业）已知一直线经过两SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．－6 B．－4C．0 D．66．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）已知直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，斜率为SKIPIF1<0，那么“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023·全国·高三专题练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（

）A．0° B．1° C．2° D．3°二、多选题9．（2023秋·湖北黄石·高二校联考期末）在下列四个命题中，错误的有（

）A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B．直线的倾斜角的取值范围是SKIPIF1<0C．若一条直线的斜率为SKIPIF1<0，则此直线的倾斜角为SKIPIF1<0D．若一条直线的倾斜角为SKIPIF1<0，则此直线的斜率为SKIPIF1<010．（2022春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知经过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的直线的倾斜角SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的可能取值有（

）A．11 B．12 C．13 D．14三、填空题11．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0向上的方向所成的角为SKIPIF1<0，如图，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为________．

12．（2023·全国·高三专题练习）过原点的直线l与曲线SKIPIF1<0交于不同的两点A，B，过A，B作x轴的垂线，与曲线SKIPIF1<0交于C，D两点，则直线CD的斜率为__________．四、解答题13．（2023·全国·高二专题练习）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.（1）A(0，-1)，B(2，0)；（2）P(5，-4)，Q(2，3)；（3）M(3，-4)，N(3，-2).14．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0有公共点．(1)求直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范围；(2)求直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0的取值范围．B能力提升1．（2023·江苏·高二假期作业）坐标平面内有相异两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在线段AB上，则SKIPIF1<0