3.3代数式的值（七大题型）（原卷版）

（苏科版）七年级上册数学《第3章代数式》3.3代数式的值知识点一知识点一代数式的值◆1、代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（1）一般地，代数式的值不是固定不变的，是随着代数式中字母取值的变化而变化的．（2）代数式与代数式的值是两个不同的概念，代数式表述的是问题的一般规律，而代数式的值是这个规律下的特殊情形，（3）当代数式表示实际问题的数量关系时，字母的取值除了需满足使代数式本身有意义外，还要保证具有实际意义，如a表示学生的人数，则a只能取正整数．◆2、代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．知识点二知识点二代数式求值的方法与步骤第一步：代入：用数值代替代数式里的字母，简称为“代入”．第二步：计算：按照代数式指明的运算，计算出结果，简称为“计算”．（1）代入时，按已给定的数值，将相应的字母换成数字，其它的运算符号、原来的数字都不能改变．（2）代数式中原来省略的乘号，代入数字后出现数字与数字相乘时，要添上乘号．（3）代数式中的同一个字母只能用同一个数值去代替，若多个字母，代入值时要注意对应关系，不要混淆．题型一直接代入求代数式的值题型一直接代入求代数式的值【例题1】（2023•美兰区校级模拟）若x＝﹣1，y＝4，则代数式2（x+y）的值为（）A．﹣6 B．﹣10 C．6 D．2解题技巧提炼用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果即所求.【变式1-1】当x＝2，y＝﹣3时，求2x2-12xy-1【变式1-2】当a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3时，求代数式b2﹣4ac的值．【变式1-3】当a＝﹣1，b=12，c＝0.3时，求代数式2a﹣（b+c）【变式1-4】当a，b分别取下列值时，求代数式a2﹣2ab﹣2b2的值：（1）a＝3，b＝﹣1；（2）a=-11【变式1-5】（2022秋•宁强县期末）已知a与b互为相反数，x与y互为倒数，c的绝对值等于2，求a+b2+xy-题型二整体代入求代数式的值题型二整体代入求代数式的值【例题2】（2022秋•乐亭县期末）当x＝1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x＝﹣1时，代数式ax3+bx+7的值为（）A．4 B．﹣4 C．10 D．11解题技巧提炼“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化,把所给的条件当做整体代入所求的式子即可，有时要对式子进行变形．【变式2-1】（2022秋•朝阳区校级期末）如果a﹣3b＝4，那么2a﹣6b﹣1的值是（）A．﹣7 B．5 C．7 D．﹣5【变式2-2】（2022秋•迁安市期末）已知当x＝1时，代数式ax3+3bx+4值为8，那么当x＝﹣1时，代数式ax3+3bx+4值为（）A．0 B．﹣5 C．﹣1 D．3【变式2-3】（2022秋•射洪市期末）已知：当x＝3时，代数式ax2021+bx2019﹣1的值是8，则当x＝﹣3时，这个代数式的值是（）A．﹣10 B．8 C．9 D．﹣8【变式2-4】已知：2x﹣y＝5，求﹣2（y﹣2x）2﹣6x+3y的值．【变式2-5】数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知：a2+2a＝1，则代数式2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4＝2×1+4＝6．请你根据以上材料解答以下问题：（1）若x2﹣3x＝2，求1+3x﹣x2的值；（2）当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是5，求当x＝﹣1时，代数式px3+qx+1的值；（3）当x＝2019时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，求当x＝﹣2019时，求代数式ax5+bx3+cx﹣5的值是多少？题型三题型三根据程序图求代数式的值【例题3】（2023春•萧县校级期中）小明设计了一个如下的数值转换程序，当输入x＝6时，y的值为（）A．6 B．7 C．12 D．13解题技巧提炼计算程序图的转换步骤，实质上是指明了运算的顺序，根据程序图中的运算顺序，代入求值即可，要注意对结果的准确性．【变式3-1】（2022秋•高邑县期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为﹣2，则输出的结果是（）A．﹣8 B．﹣10 C．﹣12 D．﹣14【变式3-2】（2022秋•天心区期末）按如图所示的运算程序，输入的值为1时，（）A．y＝﹣1 B．y＝﹣4 C．y＝9 D．y＝11【变式3-3】（2022秋•右玉县期末）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2022次输出的结果是（）A．8 B．4 C．2 D．1【变式3-4】（2022秋•垫江县期末）按如图所示的运算程序，能使输出结果的值为11的是（）A．x＝3，y＝1 B．x＝2，y＝2 C．x＝2，y＝3 D．x＝0，y＝1.5【变式3-5】（2023春•东阳市期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为26的是（）A．x＝﹣2，y＝﹣2 B．x＝4，y＝﹣5 C．x＝﹣2，y＝5 D．x＝4，y＝﹣2题型四题型四根据表格求代数式的值【例题4】（1）填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况．n123456786nn2+n（2）随着n的逐渐变大，两个代数式的值如何变化？（3）估计一下，哪个代数式的值先超过100．解题技巧提炼本题考查了求代数式的值，解答本题首先要对表格中的数据准确计算，其次要根据所给的代数式的特点，采取适当的方法，解答问题.【变式4-1】填写下表，并观察下列代数式的值的变化情况．n12345678……﹣8n+5……﹣n2……（1）随着n的值逐渐变大两个代数式的值如何变化？（2）估计一下，哪个代数式的值先小于﹣100？【变式4-2】观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题：x…﹣2﹣1012…﹣2x+5…9753a…2x﹣7…﹣11﹣9﹣7﹣5b…【初步感知】（1）根据表中信息可知：a＝；b＝；【归纳规律】（2）表中﹣2x+5的值的变化规律是：x的值每增加1，﹣2x+5的值就都减少2．类似地，2x﹣7的值的变化规律是：；【问题解决】（3）请从A，B两题中任选一题作答．我选择题．A．根据表格反应的变化规律，当x时，﹣2x+5的值大于2x﹣7的值．B．请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就都减小5，且当x＝0时，代数式的值为﹣7．【变式4-3】观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答下列问题：x…﹣2﹣1012…﹣2x+4…8642a…3x﹣5…﹣11﹣8﹣5﹣2b…【初步感知】（1）根据表中信息可知a＝；b＝；【总结规律】（2）表中﹣2x+4的值的变化规律：x的值每增加1，﹣2x+4的值就减少2，类似地，3x﹣5的值的变化规律：；【问题解决】（2）请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小5，且当x＝0时，代数式的值为6．题型五题型五列代数式求图形面积的值【例题5】（2022秋•澄海区期末）如图，正方形ABCD和正方形ECGF的边长分别为a和4，点D在边CE上，点B在边GC的延长线上，连接BD、BF．图中阴影部分的面积记为S阴影．（1）请用含a的式子表示S阴影；（2）求当a＝2时，S阴影的值．解题技巧提炼先根据几何图形的面积计算公式用代数式表示出来，然后再根据给出字母的数值代入求值即可，有时要用到割补法求图形的面积.【变式5-1】（2022秋•平昌县期末）如图，已知长方形ABCD的宽AB＝6，以B为圆心，AB长为半径画弧与边BC交于点E，连接DE．若CE＝x．（计算结果保留π）（1）用含x的代数式表示图中阴影部分的面积；（2）当x＝4时，求图中阴影部分的面积．【变式5-2】（2022秋•赣县区期末）为改善居民居住条件，让人民群众生活更方便更美好，国家出台了改造提升城镇老旧小区政策．在我县“老城换新颜”小区改造中，某小区规划修建一个广场（平面图形如图所示）：（1）用含m，n的代数式表示广场（阴影部分）的面积S；（2）若m＝60米，n＝50米，求出该广场的面积．【变式5-3】（2022秋•东阳市期中）为了提高业主的宜居环境，在某居民区的建设中，因地制宜规划修建一个草坪（图中阴影部分）．（1）用字母表示图中阴影部分的面积（写出化简后的结果）；（2）若a＝2，b＝4，计算阴影部分的面积（π取3）【变式5-4】如图所示，在一块长为a，宽为2b的长方形铁皮中剪掉两个扇形，（1）求剩下铁皮的面积（结果保留π）；（2）如果a，b满足关系式|a﹣6|+（2﹣b）2＝0，求剩下铁皮的面积是多少？（π取3）【变式5-5】（2023春•九龙坡区校级月考）某公园准备修建一块长方形草坪，长为30米，宽为20米，并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽1米，请回答下列问题：（1）草坪（阴影部分）的面积是多少平方米？（2）修建十字路的面积是多少平方米？（3）如果十字路宽x米，那么草坪（阴影部分）的面积是多少平方米？题型六代数式在规律探索中的运用题型六代数式在规律探索中的运用【例题6】（2023•耿马县模拟）按一定规律排列的数：12，-35，510，是（）A．(-1)n+2+2n+1nC．(-1)n2n-1n解题技巧提炼用代数式表示规律时用到特殊到一般的思想，先探究出规律再利用规律解决问题．【变式6-1】（2023•江川区一模）观察下列一组数：23，45，67，89，A．n-1n B．2n2n-1 C．2n2n+1 【变式6-2】观察下列一组数：13，-45，97，-16A．n22n+1 B．（﹣1）nC．（﹣1）nn22n-1 D．（﹣1）n﹣【变式6-3】（2022秋•广州期末）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：25，47，811，1619，3235，…，小亮猜测出第六个数是6467，根据此规律，第n（n【变式6-4】（2023•乡宁县二模）在数学社团课探索数字规律的游戏中，晓晓写出这样一组数：12，43，94【变式6-5】把正整数1，2，3，4，…排成如图的一个数表．（1）2020在第行，第列；（2）第n行第3列的数是（用含“n”的代数式表示）；【变式6-6】（2023春•湖北期末）观察下列等式；第1个等式：42﹣22＝3×4；第2个等式：62﹣42＝5×4；第3个等式：82﹣62＝7×4；第4个等式：102﹣82＝9×4；…根据以上规律，解决以下问题：（1）写出第5个等式；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）．题型七列代数式解决实际问题题型七列代数式解决实际问题【例题7】某超市出售某种商品，标价为每件a元，有如下三种销售方案：方案A：先打九五折，再打九五折；方案B：先提价50%，再打六折；方案C：先提价30%，再降价30%．求售价最低的方案．解题技巧提炼代数式在生活中的应用主要是根据实际问题列出用字母表示数量关系的式子，然后根据题中所给的数据求出所列式子的值，从而解决这个实际问题.【变式7-1】运动时的心跳速率通常与人的年龄有关，如果用a表示一个人的年龄,用b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么b=0.8(220﹣a).（1）正常情况下，在运动时，一个15岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少?（2）一个45岁的人运动时,10秒钟心跳的次数为22，他有危险吗?【变式7-2】（2023•顺平县模拟）一种商品每件成本为a元，商场在成本的基础上增加20%作为售价出售，现搞活动促销，按原售价的八折出售．设售出m件该商品时，总利润为w元．（1）用含a、m的式子表示该商品的总利润w；（2）若a＝100，m＝3，则该商品的总利润w是多少元？【变式7-3】商店要出售一种商品，出售时要在进价的基础上加上一定的利润，其销售量x（千克）与售价y（元）之间的关系如表．销量x/千克1234…售价y/元1+0.3+0.052+0.6+0.053+0.9+0.054+1.2+0.05…（1）写出用含x的式子表示售价y的计算公式．（2）此商品的销售量为10千克时，售价为多少？（3）当售价为26.05元时，商品的销售量为多少千克？【变式7-4】小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺