新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 小题满分练9 （含解析）

小题满分练9一、单项选择题1．已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若eq\f(z1,z2)是实数，则实数b的值为()A．6B．－6C．0D.eq\f(1,6)答案A解析∵eq\f(z1,z2)＝eq\f(3－bi,1－2i)＝eq\f(3－bi1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(3＋2b＋6－bi,5)，若eq\f(z1,z2)是实数，则6－b＝0，解得b＝6.2．(2020·全国Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则∁U(A∪B)等于()A．{－2,3} B．{－2,2,3}C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3}答案A解析∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，∴A∪B＝{－1,0,1,2}．又U＝{－2，－1,0,1,2,3}，∴∁U(A∪B)＝{－2,3}．3．已知向量|a|＝eq\r(5)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，则|b|等于()A.eq\r(5)B．5C.eq\r(10)D．25答案B解析把|a＋b|＝5eq\r(2)两边平方得，a2＋2a·b＋b2＝50，由已知，得5＋2×10＋b2＝50，即b2＝25，∴|b|＝5.4．微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的PK或点赞．加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，人们运动的积极性明显增强，下面是某人2019年1月至2019年11月期间每月跑步的平均里程(单位：十公里)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是()A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在8,9月D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳答案D解析根据折线图得中位数为5月份对应的里程数；从折线图上看，月跑步平均里程不是逐月增加，月跑步平均里程高峰期大致在9月，10月；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳．5．(2020·长春模拟)设tanα＝eq\f(1,2)，cos(π＋β)＝－eq\f(4,5)，β∈(0，π)，则tan(2α－β)的值为()A．－eq\f(7,24)B．－eq\f(5,24)C.eq\f(5,24)D.eq\f(7,24)答案D解析∵tanα＝eq\f(1,2)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(4,3)，∵cos(π＋β)＝－cosβ＝－eq\f(4,5)，β∈(0，π)，∴cosβ＝eq\f(4,5)，sinβ＝eq\f(3,5)，tanβ＝eq\f(3,4)，∴tan(2α－β)＝eq\f(tan2α－tanβ,1＋tan2αtanβ)＝eq\f(7,24).6．设函数f(x)＝x2lneq\f(1＋x,1－x)，则函数f(x)的图象可能为()答案C解析定义域为(－1,1)．因为f(－x)＝x2lneq\f(1－x,1＋x)＝－x2lneq\f(1＋x,1－x)＝－f(x)，所以排除B，D，又f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4)ln3>0.故C正确．7．(2020·郑州质检)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则eq\f(2Sn＋6,an＋3)的最小值为()A．4B．3C．2eq\r(3)－2D．2答案D解析∵a1＝1，a1，a3，a13成等比数列，∴(1＋2d)2＝1＋12d，得d＝2或d＝0(舍去)，∴an＝2n－1，∴Sn＝eq\f(n1＋2n－1,2)＝n2，∴eq\f(2Sn＋6,an＋3)＝eq\f(n2＋3,n＋1)＝eq\f(n＋12－2n＋1＋4,n＋1).令t＝n＋1，则eq\f(2Sn＋6,an＋3)＝t＋eq\f(4,t)－2≥2eq\r(t·\f(4,t))－2＝2，当且仅当t＝2，即n＝1时，eq\f(2Sn＋6,an＋3)的最小值为2.8．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，圆x2＋y2＝b2与双曲线在第一象限内的交点为M，若|MF1|＝3|MF2|，则该双曲线的离心率为()A．2B．3C.eq\r(2)D.eq\r(3)答案D解析由双曲线的定义可得|MF1|－|MF2|＝2a，又|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|＝a，|MF1|＝3a.又|OM|＝b，在△OMF2中，cos∠MF2O＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，在△F1MF2中，cos∠MF2O＝eq\f(a2＋4c2－9a2,2·a·2c)＝eq\f(c2－2a2,ac)，∴eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(c2－2a2,ac)，又c2＝a2＋b2，∴c2＝3a2，∴eq\f(c2,a2)＝3，e＝eq\r(3).二、多项选择题9．(2020·长沙模拟)若a，b，c∈R，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b，则下列不等式中一定成立的是()A．ac>bc B．(a－b)c2≥0C.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) D．a3>b3答案BD解析∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b，∴a>b.对于A，若c≤0，则不等式不成立；对于B，∵c2≥0，∴不等式成立；对于C，若a>0，b<0，则不等式不成立；对于D，不等式成立．10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则下列四种说法正确的是()A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于eq\f(π,4)B．点C到平面ABC1D1的距离为eq\f(\r(2),2)C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为eq\f(π,4)D．三棱柱AA1D1－BB1C1外接球的半径为eq\f(\r(3),2)答案ABD解析正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，对于A，易得直线BC与平面ABC1D1所成的角为∠CBC1＝eq\f(π,4)，故A正确；对于B，易证B1C⊥平面ABC1D1，所以点C到平面ABC1D1的距离为B1C长度的一半，为eq\f(\r(2),2)，故B正确；对于C，因为BC1∥AD1，所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C，而△AD1C为等边三角形，故两条异面直线D1C和BC1所成的角为eq\f(π,3)，故C错误；对于D，因为三棱柱AA1D1－BB1C1的外接球也是正方体ABCD－A1B1C1D1的外接球，所以外接球半径R＝eq\f(\r(12＋12＋12),2)＝eq\f(\r(3),2)，故D正确．11．(2020·济南质检)纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sinx＋eq\f(1,2)sin2x，则下列结论正确的是()A．2π是f(x)的一个周期B．f(x)在[0,2π]上有3个零点C．f(x)的最大值为eq\f(3\r(3),4)D．f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数答案ABC解析对于选项A，因为f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋eq\f(1,2)sin[2(x＋2π)]＝sinx＋eq\f(1,2)sin2x＝f(x)，所以2π是f(x)的一个周期，故A正确；对于选项B，令f(x)＝sinx＋eq\f(1,2)sin2x＝sinx＋sinxcosx＝sinx(1＋cosx)＝0，则sinx＝0或cosx＝－1，因为x∈[0,2π]，所以x＝0，π，2π，所以f(x)在[0,2π]上有3个零点，故B正确；对于选项C，f′(x)＝cosx＋cos2x＝2cos2x＋cosx－1＝(cosx＋1)(2cosx－1)，cosx∈[－1,1]，当cosx∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，即x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋2kπ，\f(π,3)＋2kπ))(k∈Z)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当cosx∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，即x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，\f(5π,3)＋2kπ))(k∈Z)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)时，f(x)max＝eq\f(3\r(3),4)，故C正确；对于选项D，由选项C可知，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上是增函数，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上是减函数，故D错误．12．给定两个不共线的空间向量a与b，定义叉乘运算：a×b.规定：①a×b为同时与a，b垂直的向量；②a，b，a×b三个向量构成右手系(如图①)；③|a×b|＝|a||b|sin〈a，b〉．如图②，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，则下列结论正确的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))×eq\o(AB,\s\up6(→))C．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))×eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))D．长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝(eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(CC1,\s\up6(→))答案ACD解析对于选项A，由图②可知eq\o(AA1,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))三个向量构成右手系，|eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|sin90°＝4＝|eq\o(AA1,\s\up6(→))|，所以eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，故A正确；对于选项B，由选项A知eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，根据向量叉乘运算的定义知eq\o(AD,\s\up6(→))×eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))，故B错误；对于选项C，如图，连接AC，延长DA，AB至Q，P，使AQ＝AP＝8，则AE为正方形AQEP的对角线，则AE⊥AC，易知eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，则(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))×eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))，由AE⊥AC，AA1⊥AE，可知向量eq\o(AC,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))和eq\o(AE,\s\up6(→))共线．由|eq\o(AC,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(AA1,\s\up6(→))|sin90°＝2eq\r(2)×4＝8eq\r(2)＝|eq\o(AE,\s\up6(→))|，可知eq\o(AC,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))，则(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))×eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))，同理可得eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→)).在正方形AQEP中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))，即(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))×eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))，故C正确；对于选项D，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝2×2×4＝16，而(eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＝|eq\o(AA1,\s\up6(→))||eq\o(CC1,\s\up6(→))|cos0°＝4×4＝16，所以V＝(eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(CC1,\s\up6(→))，故D正确．三、填空题13．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))n的展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为________．答案60解析∵各项的二项式系数之和为64，∴2n＝64，即n＝6；∴通项公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(eq\r(x))6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))k＝(－2)kCeq\o\al(k,6)SKIPIF1<0，令3－eq\f(3,2)k＝0，解得k＝2.∴展开式中常数项为(－2)2×Ceq\o\al(2,6)＝60.14．已知以点P为圆心的圆经过A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq\r(10)，则圆P的方程为________________________．答案(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40解析由题意知，直线AB的斜率k＝1，线段AB的中点坐标为(1,2)，则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0，设圆心P(a，b)，则由点P在直线CD上，得a＋b－3＝0.①又∵直径|CD|＝4eq\r(10)，∴|PA|＝2eq\r(10)，∴(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2.))∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.15.如图所示，在东海某岛的雷达观测站A，发现位于其北偏东45°，距离20eq\r(2)海里的B处有一货船正匀速直线行驶．半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cosθ＝eq\f(4,5).已知A，C两点的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/时．答案4eq\r(85)解析∵cosθ＝eq\f(4,5)，∴sinθ＝eq\f(3,5).∵∠BAC＝45°－θ，∴cos∠BAC＝co