北京市2022-2023学年高一数学上学期期中检试题含解析

Page13北京市2022-2023学年高一数学上学期期中试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合A中元素范围，再根据交集的概念求解即可.【详解】，又，则.故选：C.2.如果，那么下列不等式中正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合不等式的性质，对选项逐个分析可得出答案.【详解】对于选项A，因为，所以，，则，故A错误；对于选项B，因为，所以，则，故B错误；对于选项C，因为，所以，则，故C错误；对于选项D，由选项C知，则，故D正确【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了学生的推理能力，属于基础题.3.下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断函数奇偶性并排除两个选项，再探讨单调性即可作答.【详解】函数是非奇非偶函数，A不是；函数是奇函数，B不是；函数是偶函数，在上单调递增，C是；函数是偶函数，在在上单调递减，D不是.故选：C4.已知，则的值是（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出值，再代入计算作答.【详解】函数，由得：，所以.故选：A5.下列各组函数中f（x）和表示相同函数的是（）A， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据函数相等：对应关系相同，定义域相同，逐项分析判断.【详解】对A：的定义域为R，的定义域为，则两个函数的对应关系相同，定义域不相同，A错误；对B：∵，解得或，则的定义域为，又∵，解得，则的定义域为，则两个函数的对应关系相同，定义域不相同，B错误；对C：的定义域为R，的定义域为R，则两个函数的对应关系不相同，定义域相同，C错误；对D：的定义域为R，的定义域为R，则两个函数的对应关系相同，定义域相同，D正确；故选：D6.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数零点存在性定理，满足，即零点在区间.【详解】,所以在单调递增，因为所以由零点存在性质定理知，的零点在.故选：B7.已知函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：因函数的定义域是,故“是奇函数”是“”的充分条件；

反之,若,则函数不一定是奇函数,“f(x)为奇函数”不是必要条件.应选A.考点：充分必要条件.8.若函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用奇偶性、单调性比较大小，即可判断作答.【详解】因R上的偶函数在上是增函数，则函数在上单调递减，而，有，所以，C正确.故选：C9.函数，若对任意实数x，都有成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分类讨论，结合一元二次不等式恒成立，列式求解作答.【详解】函数，因对任意实数x，都有成立，则当时，恒成立，有，当时，必有，且，解得，则，所以实数a的取值范围是.故选：B10.某景区的收益额（即一天中门票收入与固定成本之差）y与当日游客人数x的函数关系如图（1）所示．由于该景区的收益额未达预期，相关人员提出两种调整方案如图（2）、（3）所示，图中的实线分别为调整后y与x的函数图象．现给出以下说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【答案】B【解析】【分析】利用函数图象的几何意义求解.【详解】由图知：点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，故②正确；故图（3）成本不变，但提高票价，故③正确；故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.函数f（x）=的定义域为________.【答案】【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解．【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得且，所以函数的定义域为．故答案为：12.若方程的两实数根分别是和．则______，______．【答案】①.②.【解析】【分析】本题考查韦达定理，将所求的，转化为两根之和与两根之积表示的关系式，代入即可求得.【详解】由韦达定理知,，所以

，故答案为：13.“定义在R上的函数满足，且在区间上存在零点”请写出一个符合要求的函数是______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意结合零点定义分析求解.【详解】的零点为，且满足，故符合题意.故答案为：（答案不唯一）.14.若，函数的最小值是______，此时______．【答案】①.9②.5【解析】【分析】根据给定的条件，利用均值不等式直接求解作答.【详解】，则，当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9，此时.故答案为：9；515.已知函数，则______，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是______．【答案】①.②.【解析】【分析】分段代入计算得，分析函数的性质，结合函数图象求解作答.【详解】函数，则，所以；当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，当时，在上递减，函数值集合为，函数的图象如图，关于x的方程有三个不同的实数根，即直线与函数的图象有三个公共点，观察图象得：，所以实数k的取值范围是.故答案为：；16.已知定义在R上偶函数在上单调，且，，给出下列四个结论：①在上单调递减；②存在，使得；③有且仅有两个零点；④不等式的解集为．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①③④【解析】【分析】根据给定条件，求出偶函数在上单调性，再逐一判断各个命题作答.【详解】R上偶函数，，而，有，又在上单调，因此函数在上单调递增，必有在上单调递减，①正确；因偶函数在上单调递增，，则，②不正确；因，，函数在上单调递增，则函数在上有唯一零点，又是偶函数，则在上有唯一零点，因此有且仅有两个零点，③正确；不等式，解得或，因此不等式的解集为，④正确，所以所有正确结论的序号是①③④.故答案为：①③④【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)=f(|x|).三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.已知集合，，．（1）求和；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）或，；（2）.【解析】【分析】（1）解分式不等式、一元二次不等式化简集合A，B，再利用补集、交集的定义求解作答.（2）由（1）求出，再借助集合的包含关系求解作答.【小问1详解】解不等式得：，解得，则，解不等式得：，则，所以或，.【小问2详解】由（1）知，，因，，则，所以实数a的取值范围是.18.求下列关于x的不等式的解集．（1）；（2）（其中a为实数）；【答案】（1）或；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）平方去绝对值符号，转化为一元二次不等式求解作答.（2）分类讨论解含参的一元二次不等式作答.【小问1详解】不等式化为：，即，解得或，所以不等式的解集为或.【小问2详解】不等式化为：，当时，；当时，无解；当时，，所以当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.19.已知函数．（1）判断函数的奇偶性并说明理由；（2）用函数的单调性定义证明在上为增函数；（3）求函数，值域．【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，再结合函数奇偶性定义判断作答.（2）利用函数单调性定义证明在的单调性作答.（3）利用函数奇偶性、单调性求出函数在上的最值作答.【小问1详解】函数是奇函数，函数定义域为，，所以函数是奇函数.【小问2详解】，，因，则，即，有，所以在上为增函数.【小问3详解】由（1）知，函数是奇函数，由（2）知，在上为增函数，即有在上单调递增，，，所以函数在上的值域为.20.已知函数（a为实数），．（1）若，求函数的最大值和最小值；（2）求函数在区间上的最小值．【答案】（1）函数的最大值为17，最小值为1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）运用二次函数的性质即可求解；（2）分，和三种情况进行讨论的单调性，即可求解【小问1详解】时，，在上的最大值为，最小值为；【小问2详解】，故的对称轴为，当时，在单调递减，此时的最小值为；当时，在单调递减，在单调递增，此时的最小值为；当时，在单调递增，此时的最小值为；综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为；21.为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年旳太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为，（m为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为（单位：1万元），记为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和（1）写出的解析式；（2）当x为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？【答案】（1）；（2）40平方米，最小值40万元.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，求出m值及的解析式，进而求出的解析式作答.（2）结合均值不等式，分段求出的最小值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，当时，，即有，解得，则，于是得，所以的解析式是.【小问2详解】由（1）知，当时，在上递减，，当时，，当且仅当，即时取等号，显然，所以当x为40平方米时，取得最小值40万元.【点睛】方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．22.已知函数（a，b为实数）.（1）若，且函数的值域为，求的解析式；（2）在（1）的条件下，当时，是单调函数，求实数k的取值范围；（3）若为偶函数，且，设，，，判断是否大于零，请说明理由.【答案】（1）;（2）;（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题得①，②，