2021年人教A版必修2数学第4章-圆与方程单元测试卷含答案

2021年人教A版必修2数学第4章圆与方程单元测试卷含答案

学校：班级：姓名：考号：

一、选择题(本题共计12小题，每题5分，共计60分，)

1.已知两点4(6,5)为圆心，屈为半径的圆的标准方程为()

A.(x-6)2+(y-5)2=10B.(x+6)2+(y+5)2=10

C.(x—5)2+(y—6)2=V10D.(x+5)2+(y+6)2=VlO

2.过三点4(1,3),B(4,2),。(1,一7)的圆交、轴于“，N两点，则|MN|=()

A.2V6B.8C.4V6D.10

3.已知圆G：/+y2+2%一均+i=o,圆C2：(x—3)2+(y+1)2=1,则这两圆的

位置关系是()

A.相交B.相离C.外切D.内含

4.已知圆C：/+y2-2%-2y=0,则点P(3,l)在()

A.圆内B.圆上C.圆外D.无法确定

5.一条光线从点(一2,-3)射出，经y轴反射后与圆(尤+3)2+(y-2)z=1相切，则反

射光线所在直线的斜率为()

A.-|或一|B「|或一|C.-3或一(D.-g或-1

6.已知直线-8y+6=0与圆+y2=12交于力，B两点，过4,B分别作［的垂

线与％轴交于C,D两点.则|CD|=()

7

A.2B.3C-D.4

2

7.直线=kx+1与圆0:/+y2;=4交于A,B两点,当△AOB的面积最大时，弦

AB所对的劣弧长为()

A.-B.—C.2DS

3336

8.在空间直角坐标系。一xyz中，点B是点4(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影，则|0B|

等于()

A.V14B.V13C.V10D.V5

9.若圆i+y2-6x-8y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为弓，贝Ija的值为(

A.-2或2B.g或弓C.2或0D.-2或0

10.已知圆(x—7)2+(y+4产=9与圆(x+5)2+(y—6>=9关于直线2对称，则直线1

的方程是()

A.5x+6y-11=0B.6x—5y—1—0C.6x+5y-11=0D.5x-6y+1=0

11.设P(l,-2,5)是空间直角坐标系中的一点，则点P关于坐标平面yOz的对称点的坐标

为()

A.(l,2,-5)B.(—1,—2,5)C.(-1,—2,—5)D.(l,-2,—5)

12.若圆(x+a)2+(y+b)2=产的圆心位于第一象限，则直线y=ax-b不经过第

()象限.

A—B二C.三D.四

二、填空题(本题共计4小题，每题5分，共计20分，)

13.写出一个与x,y轴都相切的圆的标准方程：.

14.(理)在空间直角坐标系。一xyz中，满足条件因2+[y]2+[Z]2<1的点(x,y,z)

构成的空间区域。2的体积为收(田，国，团分别表示不大于％,y,z的最大整数)，

则眩=.

15.已知圆G：M+y2-4=0与圆C2：/+y2-4x+4y-12=0相交于4,B两点,则

直线4B的方程为.

16.x2-xy-2y2+%+y=0表示的图形是.

三、解答题(本题共计6小题，每题11分，共计66分，)

22

17.己知圆G：/+y2-2巾》+4y+Tn?-1=o与圆G：x+y+2x+2y-2=0

相交于4,B两点，且这两点平分圆。2的圆周长，求圆Q的圆心坐标.

18.已知圆C的圆心在直线x-2y-3=0上，并且经过4(2,-3)和B(-2,-5),求圆C

的标准方程.

试卷第2页，总16页

19.圆Oi的方程为好+(y+1)2=4,圆。2的圆心。2(2,1).

(1)若圆。2与圆。1外切，求圆。2的方程；

(2)若圆。2与圆01交于4,B两点,S.\AB\=2V2.求圆。2的方程.

20.设△4BC的顶点坐标4(0,a),B(-V3a,0),C(V3a,0),其中a>0,圆M为△ABC

的外接圆.

(1)求圆M的方程；

(2)当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由.

21.已知以点以(一1,2)为圆心的圆与直线k：x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的动直

线/与圆A相交于M,N两点，Q是MN的中点.

(1)求圆A的方程；

(2)当附N|=2g时，求直线］的方程.

22.已知圆G：/+y2+2x+2y—8=0与圆C2:/4-y2—2x+lOy-24=0相交于A、

B两点.

(1)求公共弦4B的长；

(2)求圆心在直线y=-x上，且过4、B两点的圆的方程；

(3)求经过4、B两点且面积最小的圆的方程.

参考答案与试题解析

2021年人教A版必修2数学第4章圆与方程单元测试卷含答案

一、选择题(本题共计12小题，每题5分，共计60分)

1.

【答案】

A

【考点】

圆的标准方程

【解析】

利用圆的标准方程即可求得答案.

【解答】

解：以(6,5)为圆心，VI5为半径的圆的标准方程为：

(x-6/+(y-5)2=10.

故选4.

2.

【答案】

C

【考点】

圆的一般方程

两点间的距离公式

斜率的计算公式

【解析】

本题考查圆的方程.

【解答】

解：；心B%=衿

三角形ABC为直角三角形且ZB=90。，

三角形外接圆的圆心为斜边AC的中点(1,一2),圆的半径为，4C|=5,

圆的方程为(x-+(y+2)2=25.

令％=O得y2+4y-20=0,记M,N的坐标为(0,%),(0,%)，

则|MN|=M-yzl=+%)2-4yly2

=7(-4)2-4x(-20)=4V6.

故选C.

3.

【答案】

B

【考点】

圆与圆的位置关系及其判定

【解析】

把圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r,利用两点间的距离

公式求出两圆心的距离d,由d>R+r得到两圆的位置关系为相离.

【解答】

解：由圆G：/+y2+2x-4y+I=0,化为(x+iy+(y-2)2=4,圆心。式一1,2),

试卷第4页，总16页

R=2

圆C2：3)2+(y+I/=1,圆心C2(3,-1),r=1,

两圆心间的距离d=，(3+1尸+(—1-2>=5>2+1,

圆6和圆C2的位置关系是相离.

故选：B.

4.

【答案】

C

【考点】

点与圆的位置关系

【解析】

把圆的一般式化为标准式，求出圆心和半径，再求出点P(3,l)到圆心的距离，然后和

半径比较即可得答案.

【解答】

解：：圆C：/+y2-2%-2丫=0,

即(X-1)2+(y-1)2=2,

圆C的圆心为(1,1),半径为近，

则点P(3,l)到圆心的距离为“3-1)2+0=2>V2,

点P(3,l)在圆外.

故选C.

5.

【答案】

D

【考点】

圆的切线方程

中点坐标公式

直线的点斜式方程

直线的斜率

【解析】

本题考查直线与圆的方程及位置关系.

【解答】

解：由于反射光线经过点(-2,-3)关于y轴的对称点(2,-3),

故设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),

由直线与圆相切的条件可得塔粤=1,

解得k=-g或一*

故选C.

6.

【答案】

D

【考点】

直线与圆相交的性质

直线和圆的方程的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：设4(xi，yj,B(x2,y2)-C(x3)0),D(x4.0),

由x-V3y+6=0得x=>/3y-6,

代入圆的方程并整理，得y2-3V3y+6=0,

解得y1=2V3.”=近,

—

所以工1—0.%2—3.

所以直线4C的方程为y-2痘=-V3x,

令y=0得*3=2；

直线BD的方程为y-V3=-V3(x+3),

令y-。得办=—2.

则|CD|=|x3-x4|=4.

故选D.

7.

【答案】

C

【考点】

弧长公式

直线和圆的方程的应用

点到直线的距离公式

【解析】

解：直线/与圆。联立，得

(y—kx+1,=(]+卜2)/+2kx—3=0,

[x2+y2=4

—2k—3

X1i+Xoz=----1-+-k72T，X1i,X?n=-1-+-TH7，

=Jl+k2d(%]+%2)2—4%1%2

=+Hk，：2、2+1之

、J(l+/c2)21+k2

_-16^2+12

―Vl+k2・

点。到直线/的距离为d=悬5=春,

vl+kzy/1+k2

74k2+3

l+H

41

=1+k2-(1+fc2)2

.♦・当k=0时，S“OB最大.

当々=0时,弧AB所对的弧的圆心角为120。

试卷第6页，总16页

其弧长为鬻X2X兀=(7T.

故选C.

【解答】

解：直线2与圆0联立，得

1,：k"(1'=(1+k2)x2+2kx-3=0,

(x2+y2=4

—2k—3

Xi+X7=7TfXi'X7=T_7，

1/1+k21/1+k2

\AB\=Jl+k2d(%]+《2)2—4%1%2

I------I_4fc212-

=yjl+k2------r-rry+-------ry

X1(14-k2)21+fc2

V16fc2+12

Vl+k2'

点。到直线1的距离为&=悬=高，

11

=*B|d=—x-----,

2Vl+fc2Vi+fc2

74k2+3

1+fc2

41

1+fc2-(1+k2)2

\k—0时，SAHOB取大.

当k=0时，弧AB所对的弧的圆心角为120。,

其弧长为理x2XTT=±兀

1803

故选C.

8.

【答案】

B

【考点】

空间两点间的距离公式

空间中的点的坐标

【解析】

根据点B是点2(1,2,3)在坐标平面yOz内的正射影，得到8在坐标平面yOz上，竖标和

纵标与4相同，而横标为0,写出B的坐标是(0,2,3),利用两点之间的距离公式得到结

果.

【解答】

解：1,点B是点4(1,2,3)在坐标平面yOz内的正射影，

B在坐标平面yOz上，竖标和纵标与4相同，而横标为0,

B的坐标是(0,2,3),

|。8|=及2+32=屈,

故选：B.

9.

【答案】

C

【考点】

圆的标准方程与一般方程的转化

点到直线的距离公式

【解析】

先将圆化为标准方程得到圆心的坐标，再利用点到直线的距离公式建立等式，求出a的

值。

【解答】

解：把圆工2+y2-6%-8y=0化为标准方程为：(x-3)2+(y-4)2=25,

圆心坐标为(3,4).

圆心(3,4)到直线一丫+&=0的距离为当，

巴罗=孝，即|a-l|=l,

可化为a—1=1或a—1=-1,

解得a=2或0.

故选C.

10.

【答案】

B

【考点】

关于点、直线对称的圆的方程

【解析】

根据题意，设圆(％—7)2+(7+4)2=9的圆心为闻，圆(x+5)2+(y-6/=9的圆心

为N,求出M、N的坐标，分析可得直线I为MN的垂直平分线，结合MN的坐标分析可

得答案.

【解答】

根据题意，设圆(X—7)2+(7+4)2=9的圆心为“，圆。+5产+(y-67=9的圆心

为N,

圆(X-77+(y+4/=9,圆心M为(7,—4),圆(x+57+(y—6产=9,其圆心N为

(-5,6),

若圆(x-7)2+(y+4)2=9与圆(x+5产+(y-6产=9关于直线/对称，则直线/为MN

的垂直平分线，

6-(-4)5,6,

又由“(7,—4),N(-5,6),则k“N=-5-7=-6,则砥=5,

MN的中点坐标为(1,1),

_6

则直线，的方程为y-1=5(%-1),变形可得6x-5y-1=0,

11.

【答案】

试卷第8页，总16页

B

【考点】

空间直角坐标系

【解析】

根据空间点的对称性分别进行判断即可.

【解答】

解：因为点P(a,b,c)与点P关于坐标平面yOz对称，则y,z不变，x相反，

所以对称点P'(—a,瓦c),

所以「(1,-2,5)关于坐标平面/。2的对称点的坐标为(-1,-2,5).

故选B.

12.

【答案】

C

【考点】

直线与圆的位置关系

圆的标准方程

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由圆的方程可得圆心坐标为(-a,-b),

又因为圆心位于第一象限，

所以—a>0,—b>0»

所以直线y=ax-b不经过第三象限.

故选C.

二、填空题(本题共计4小题，每题5分，共计20分)

13.

【答案】

(x-I)2+(y-I)2=1(答案不唯一)

【考点】

圆的标准方程

直线与圆的位置关系

【解析】

无

【解答】

解：设圆心的坐标为(a,b),半径为r,

只要满足r=|a|=|b|，即可，

所以与x,y轴都相切的圆的方程为(x-I)2+(y-I)2=1.

故答案为：(%-1尸+Q-1尸=1(答案不唯一).

14.

【答案】

7

【考点】

空间直角坐标系

【解析】

根据方程，对于x,yNO时，求出x,y的整数解，分别对=0时确定x的范围,

对应的y,z的范围，求出体积，再求其和.

建立空间直角坐标系。一尤yz,是以(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),

(1,1,1),(1,0,1),(0,1,0)为顶点体积为1的立方体向x轴正负方向、y轴正负方向、

z轴正负方向各延伸一个体积为1的立方体，即由这7个立方体组成的图形，体积为7.

【解答】

解：满足条件[x]2+[y]2+闭2w1的点(x,y,z)x,y,z20时，[x],[y],[z]的整解

有(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)(0,-1,0),(0,0,-1),(-1,0,0)

显然[尤]的最大值是1

|[制|=1时，l<x<2,或者-1Wx<0,|[y]|=0,0<y<1,\[z]\=0,0<z<

1,所围成的区域是棱长为1的正方体

同理可求|[制|=0时，0Wx<1,|[y]l=1或10|=1的体积

匕=7x1=7

故答案为：7

15.

【答案】

%-y+2=0

【考点】

相交弦所在直线的方程

【解析】

根据题意，联立两个圆的方程，化简变形可得答案.

【解答】

根据题意，圆C1：/+y2-4=0与圆。2：%2+y2-4x+4y-12=0相交于A,B两点，

\2+y2-4=0

22

联立(x+y-4x+4y-12=0,可得4%—4y+8=0,

即％-y+2=0,

16.

【答案】

两条直线

【考点】

二元二次方程表示圆的条件

【解析】

利用因式分解化简方程左侧为乘积形式，然后推出结果.

【解答】

解：x2-xy-2y2+%+y=0可化为：(x+y)(x-2y)+(%+y)=0,

即：(%—2y+1)(%+y)=0,

x—2y4-1=0或％+y=0.两条直线.

故答案为：两条直线.

三、解答题(本题共计6小题，每题11分，共计66分)

17.

【答案】

解：v圆Ci：x2+y2-2mx+4y4-m2—1=0,

・•・(x-m)2+(y+2)2=5,

•••Q的圆心坐标为Ci(m,-2),半径q=遍.

,・•圆。2：%2+y24-2%+2y-2=0,

・•・(x+l)2+(y+=4,

试卷第10页，总16页

圆。2的圆心坐标为。2(-1,一1),半径Q=2.

由题意可知AB过。2的圆心，

22

在Rt△?!(?£中，MCil=\AC2\+

5=4+(m+l)2+l,

m=-1,

圆G的圆心坐标为(一1,-2).

【考点】

圆与圆的位置关系及其判定

两点间的距离公式

【解析】

【解答】

解：圆G：x2+y2-2mx+4y+m2-1=0,

(x-m)2+⑶+2)2=5,

G的圆心坐标为Ci(zn,-2),半径G=V5.

v圆C2：x2+y2+2x+2y-2=0,

•••(x++(y+1)2=4,

：•圆C2的圆心坐标为。2(-1,一1)，半径万=2.

由题意可知AB过。2的圆心，

22

在RtzMGG中，=MC2I+KIC2|,

5=4+0+1)2+1,

m=-1,

圆G的圆心坐标为(一1,一2).

18.

【答案】

解：由己知，线段4B的中垂线所在直线与直线x-2y-3=0的交点即为圆C的圆心.

线段AB的斜率为：KAB==i,线段4B的中垂线所在直线的斜率为--=

2-(-2)2KAB

一2,

又二线段4B的中点为(0,-4),线段48的中垂线所在直线方程为：y+4=-2%,

即2x+y+4=0.

由求得圆C的圆心坐标为(―1,_2)

圆C的半径r满足：r2=(2+I)2+(-3+2)2=10,

圆C的标准方程为(x++⑶+2)2=10.

【考点】

圆的标准方程

【解析】

线段4B的中垂线所在直线与直线％-2y-3=0的交点即为圆C的圆心，再求出半径CA

的值，即可求得圆的标准方程.

【解答】

解：由己知，线段的中垂线所在直线与直线x-2y-3=0的交点即为圆C的圆心.

线段4B的斜率为：KAB==i,线段4B的中垂线所在直线的斜率为-六=

2-(-2)2KAB

一2,

又二线段4B的中点为(0,-4),二•线段48的中垂线所在直线方程为：y+4=-2%,

即2x+y+4=0.

由求得：;二;，二圆C的圆心坐标为(-1，-2)

圆C的半径r•满足：r2=(2+I)2+(-3+2)2=10,

圆C的标准方程为(x+l)2+(y+2)2=10.

19.

【答案】

解：(1)圆01的方程为%2+(y+1)2=4,圆心坐标(0,-1),半径为2,

圆。2的圆心:02(2,1).

圆心距为：J(2_0)2+(1+1)2=2a,圆。2与圆01外切，

所求圆的半径为：2a-2,

圆。2的方程：。-2)2+6；—1)2=12-8立，

(2)圆。2与圆。1交于A,B两点，且|AB|=2&.

所以圆01交到AB的距离为：心一(&)2=

当圆。2到4B的距离为：V2,

圆。2的半径为：J(V2)2+(V2)2=2.

圆。2的方程:(%—2产+(y-l)2=4.

当圆。2到48的距离为：3VL

圆。2的半径为：J(3V2)2+(V2)2=V20.

圆。2的方程：(x-2产+(y-l)2=20.

综上：圆。2的方程：(x-2产+(y-I>=4或(X-2)2+(y—l)2=20.

【考点】

圆与圆的位置关系及其判定

圆的一般方程

【解析】

(1)通过圆心距对于半径和，求出圆的半径，即可求出圆的方程.

(2)利用圆心距与写出的故选求出，圆到直线的距离，然后求出所求圆的半径，即可

求出圆的方程.

【解答】

解：(1)圆。1的方程为+(y+1)2=4,圆心坐标(0,-1),半径为2,

圆。2的圆心:。2(2,1).

圆心距为：J(2—0)2+(1+1)2=2企,圆。2与圆01外切，

所求圆的半径为：2a-2,

圆。2的方程：(x-2)2+(y-1)2=12-8鱼，

(2)圆。2与圆。1交于4B两点，S.\AB\=2V2.

所以圆心01到4B的距离为：收-(a)2=V2,

当圆心。2到4B的距离为：V2,

圆。2的半径为：J(V2)2+(V2)2=2.

圆。2的方程:(x-2产+(y-l)2=4.

当圆心。2到4B的距离为：3夜，

圆。2的半径为：J(3V2)2+(V2)2=V20.

试卷第12页，总16页

圆。2的方程:(x-2)2+(y-l)2=20.

综上：圆。2的方程：(X-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-l)2=20.

20.

【答案】

解：(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=o,

圆M过4(0,a),B(-V3a,0),C(质,0)三点，

代入圆的方程，可得：

a2+aE+F=0,

3a—y/3aD+F=0,

{3a+>/3aD+F=0,

(0=0,

解得《E=3—a,

=-3a,

圆M的方程为％2+y2+(3-a)y-3a=o.

(2)圆M的方程可化为(y+3)a-(x2+y2+3y)=0,

,(y+3=0，

lx2+y2+3y=0,

圆M过定点(0,-3).

【考点】

点与圆的位置关系

【解析】

(1)设圆的方程为x2+y2+Cx+Ey+/7=o,将4,B,C三点代入方程中求出D,E,

F即可求出方程圆的方程

(2)若圆过定点，则该点与Q的取值无关，从而判断圆是否过定点.

【解答】

解：(1)设圆M的方程为/+y2+D%+Ey+F=0,

圆M过4(0,a),B(-V3a,0),C(痴,0)三点，

代入圆的方程，可得：

a2+aE+F=0,

3a—V3a£>+F=0,

3a+y/3aD+F=0,

(0=0,

解得《E=3-a,

=-3a,

圆M的方程为/+y2+(3-a)y-3a=o

(2)圆M的方程可化为(y+3)a-(x2+y2+3y)=0,

y+3=0,

炉+丫2+3y=0,

x=0,

得

,y=-3,

圆M过定点(0,-3).

【答案】

解：(1)已知4(一1,2)到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r,

...「=曰评1=2后

圆4的方程为(％+1)2+0-2)2=20;

(2)根据题意画图如下：

垂径定理可知NMQ4=90。，且MQ=g,

在RtziAMQ中由勾股定理易知L4Q=ylAM2-MQ2=1,

设动直线I方程为：y=k(x+2)或％=-2,

显然x——2合题意.

由4(-1,2)到，距离为1,

知霁等=1,得左=

vl+fcz4

3%—4y+6=0或％=—2为所求Z方程.

【考点】

圆的综合应用

直线与圆相交的性质

点到直线的距离公式

【解析】

(1)利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；

(2)根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的

距离公式确定直线方程.

【解答】

解：(1)已知4(-1,2)到直线x+2y+7=0的距离为圆4半径r,

...「=匕浮1=2后

圆4的方程为(％+1)2+0-2)2=20;

(2)根据题意画图如下：

试卷第14页，总16页

垂径定理可知NMQA=90°,且MQ=V19,

在Rt△AMQ中由勾股定理易知AQ=JAM?_MQ2=1,

设动直线/方程为：了=/£。+