2022年山东省淄博市周村区中考数学二模试题（附答案）(一)

2022年山东省淄博市周村区中考数学二模试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题所给出的四个选项中，只有

一个是正确的.错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分.

1.若（―2022卜口=1,则“□”内应填的实数是（）

1

A.-2022B.2022C.———D.-------

20222022

【答案】C

【解析】

【分析】根据互为倒数的两数的乘积等于1,即可求解.

【详解】解：,・・（—2022）x（一击）=1.

故选：C

【点睛】本题主要考查了倒数的性质，熟练掌握互为倒数的两数的乘积等于1是解题的关键.

2.,2）3可以表示成（）

A.3个/相加B.5个。相乘C.2个/相加D.3个/相乘

【答案】D

【解析】

【分析】根据幕的乘法的定义来判断即可.

【详解】（a2）3=a2xa2xtz2,

故选：D.

【点睛】本题考查了累的乘方的定义，熟记幕的乘方的定义是解答本题的关键.

3.下列多边形中，内角和与外角和相等的是（

【答案】B

【解析】

【分析】根据多边形的内角和公式（止2）780。与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解.

【详解】解：设所求多边形的边数为〃，根据题意得：

(n-2)780°=360°,

解得〃=4.

故选:B.

【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键.

4.要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是()

A.测量两组对边是否相等

B.测量对角线是否相等

C.测量对角线是否互相平分

D.测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等

【答案】D

【解析】

【分析】根据矩形的判定定理判定即可.

【详解】A.测量两组对边是否相等，能判定平行四边形，故A错误；

B.对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定四边形的形状，故B错误；

C.测量对角线否互相平分，能判定平行四边形，故C错误；

D.根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可

判断是否是矩形.故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定定理，矩形的判定定理有：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;

(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形.

5.一次函数丁=日-2&的图象经过点A,且y随*的增大而增大，则点A的坐标可以是()

A.(1,1)B.(-1,3)C.(0,-1)D.(3,-1)

【答案】C

【解析】

【分析】先根据一次函数的解析式可以判断其必过点(2,0),再根据一次函数是递增函数，将点(2,0)与选项各

点逐一比较即可得解.

【详解】；y=履一2左=Z(x—2),

•••可知一次函数必经过点(2,0),

A.1<2,1>0,此时不满足y随x的增大而增大，故A项错误，不符合题意；

B.-K2,3>0,此时不满足y随x的增大而增大，故B项错误，不符合题意;

C.0<2,-KO,此时满足y随x的增大而增大，故C项正确，符合题意；

D.3>2,-KO,此时不满足y随x的增大而增大，故D项错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数的增减性，找到一次函数经过定点(2,0)是解答本题关键.

6.下列图形中，不是正方体表面展开图的是()

【答案】D

【解析】

【分析】正方体的展开图的11种情况可分为“1-4-1型”6种，“2-3-1型”的3种,“2-2-2型”的1种,

“3-3型”的1种，综合判断即可.

【详解】解：根据正方体的展开图的11种情况可得，D选项中的图形不是正方体的展开图.

故选：D.

【点睛】本题考查/正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一

线不过四、出凹应弃之”(即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况)

判断也可.

7.如图，在AABC中，AB=AC，ZR4c=120。，线段AC的垂直平分线交BC于点尸，交AC于点E,

则8F的长是()

c.373D.6

【答案】A

【解析】

【分析】连接A凡利用等腰三角形的性质得到NB=NC=30。，再根据线段垂直平分线的性质可得出正FC,

从而可求出N41C=NC=3O。，ZBAF=90°,进而可求出/D4E=60。.然后在Rt^AEQ中可求出

AE=—ED=^^从而在Rt^AEF中可求出Ab=^后AE=2，最后在RSA8尸中可求出BF=2AF=4,

33

即得出答案.

AZB=ZC=3O0,

;红)垂直平分AC,

：.FA=FCf

AZMC=ZC=30°,

AZAFD=60°,ZD=30°,

/./BA尸=90。.

・••在RSAE。中，AE=EDtanZD=3-tan30°=>/3，

.,.在RIAAEF中，AF=———=——=2，

cosNE4ccos30°

，在Rt/kAB尸中，BF^2AF=4.

故选：A.

【点睛】此题考查含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形的应用，线段垂直平分线的性质和等腰三

角形的性质.正确的连接辅助线是解题关键.

8.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,AABC的面积为1()，8。平分NABC,若〃、N分别是80、

8c上的动点，则CW+MN的最小值为()

A

A.4B.5C.4.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】作N关于BD的对称点，根据轴对称性质、两点之间线段最短和垂线段最短的定理可以得到CM+MN

的最小值即为C点到AB的垂线段，因此根据面积公式可以得解.

【详解】解：如图，作N关于BD的对称点N',连结NN',与BD交于点0,过C作CELAB于E,则

：BD平分ZABC,

，N'在AB上，且MN=MN',

；.CM+MN=a/+W,

根据两点之间线段最短可得CM+MN的最小值为CN',即C点到线段AB某点的连线，

根据垂线段最短，CM+MN的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度，

「△ABC的面积为10,

—x4xCE=10,

2

；.CE=5,

故选B.

【点睛】本题考查轴反射的综合运用，熟练掌握轴反射的特征、两点之间线段最短及垂线段最短等性质是

解题关键.

9.如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长

与宽的比是()

B.3：1C.3：2D.72:1

【答案】D

【解析】

Y

【分析】设原来矩形的长为X,宽为％则对折后的矩形的长为.宽为根据得到的两个矩形都和原矩

x

形相似，有x:y=y：i,计算求解即可.

【详解】解：设原来矩形的长为x,宽为y,如图,

x

，对折后的矩形的长为y,宽为万,

•.•得到的两个矩形都和原矩形相似,

x

：.x\y=y\-9

7

・

••V2=

2

解得尤：y=行：1.

故选D.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似多边形对应边成比例的性质.解题的关键在于表示出对折前后

的长与宽.

10.已知a、b、m、n为互不相等的实数，且(a+m)(a+n)=2,(b+m)(b+n)=2,则ab-mn的值为

()

A.4B.1C.-2D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】先把已知条件变形得到a?+(m+n)a+mn_2=0,b2+(m+n)b+mn-2=0,则可把a、b看作方程x?+

(m+n)x+mn-2=0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab=mn-2,从而得到ab~mn的值.

【详解】解：：(a+m)(a+n)=2,(b+m)(b+n)=2,

a2+(m+n)a+mn-2=0,b2+(m+n)b+mn-2=0,

而a、b、m、n为互不相等的实数，

；・a、b看作方程x?+(m+n)x+mn-2=0的两实数根，

ab=mn-2,

ab-mn=-2.

故选：C.

b

【点睛】本题考查了根与系数的关系：若xi,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a#))的两根时，xi+x?=--,

a

c

X1X2=—.

a

42

11.如图，已知点M是线段A8的中点，点A在反比例函数y=一上，点8在反比例函数y=-一上，则ziAOB

XX

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】设A(a,t),B(b,由中点坐标公式可求M(竺--y),由图象可知M在)，轴上,

ab2ab

则可求a=-b,最后根据S“《)B=Sx+S即求解即可.

【详解】解：设A(a,-),B(b,

ab

・・・M是AB的中点,

坐标为（丝a+心b，-a----b-）,即M坐标为（竺a+2b,±2-1l）,

22ab

•.•点M在y轴上，

q=o,

2

b=-cif

23

・・.5坐标为（-〃，—）,M坐标为（0,—）,

aa

•c—qaq

,,乙人08—丁04BMO

1313

=—x—xa+—x—xa

2a2a

=3.

故选：A.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式等知识，正确的识别图形是解题的关

键.

12.将抛物线y=-（x+l）2的图象位于直线y=T以下的部分向上翻折，得到如图所示的图象，若直线

A.-\<m<\B.\<m<—C.D.-\<m<—

444

【答案】C

【解析】

【分析】如图，由题意知，直线丁=%+根在4，/2之间平移变化时，交点个数为4个，分别求出4,4与图象

只有3个交点时的加值；当4有3个交点时，将（一3,一4）代入求解即可；当4有3个交点时，根据4与

y=-（x+l）~有1个交点，列一元二次方程x+〃?=-（x+1）,根据△=（）求解即可；进而可得力的取值范

围.

【详解】解：如图,

解得％=-3,x2=1

・・・/2过点(-3,一1)时，直线y=与图象有3个交点，

将(一3,—4)代入y=x+加得，—3+m=—4

解得机二一1；

当4与y=—(X+l)2有1个交点时，4与翻折后的图象有3个交点，

x+m=—(x+l)2,

整理得冗2+3x+〃2+1=0,

令△=32—4x(m+l)=0,

解得m=—

4f

由图象可知，当一1(根＜*时，直线y=x+m与图象有4个交点

4

故选C.

【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，一次函数图象的平移，一元二次方程的根等知识.解题的关

键在于数形结合找出交点为4个时一次函数的位置.

二、填空题：本题共5小题，满分20分.只要求填写最后结果，每小题填对得4分.

13.计算之一当的结果是______.

a-ba—b

【答案】3

【解析】

【分析】根据分式的减法法则计算即可.

…g3a3b3a-3b3(a-h)

(详向星1------------------=-----------=------------=3.

a—ba-ha—ba-h

故答案为：3.

【点睛】本题考查分式的减法运算.掌握分式的减法运算法则是解题关键.

14.小丽计算数据方差时，使用公式52=([(5—刃2+(8—幻2+(]3一制2+(14—元)2+(15一刃2],则公

式中7=—•

【答案】11

【解析】

【详解】分析：根据题目中的式子，可以得到工的值，从而可以解答本题.

详解：：群=q](5-5)2+(8-元)2+(13-元)2+(14—5)2+(15-工)2],

,5+8+13+14+15

X=---------------=11.

5

故答案为11.

点睛：本题考查了方差、平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的平均数.

15.借助如图所示的“三等分角仪”等三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA,0B

组成，两根棒在。点相连并可绕。转动,C点固定，OC=CD=，点£>,E可在槽中滑动.若NBDE=75°,

则NC£)£=°.

【答案】80

【解析】

【分析】由OC=C0=O£,可得NO=NO£>C,NDCE=NDEC,设NO=NQDC=x,则

ZDCE=ZDEC=ZO+ZODC=2x,ZBDE=ZO+ZDEC=x+2x=75°,求出x的值，然后根据

Z.CDE=180°-ADCE-ADEC,求解NCOS的值即可.

【详解】解：；oc=cr)=o£,

：.NO=NODC,ZDCE=ZDEC,

设NO=ZODC=x,则ZDCE=ZDEC=NO+NODC=2x,

•••ABDE=ZO+ZDEC=x+2x=75°,

解得x=25°,

ZDCE=ZDEC=2x=50°,

NCDE=180°-ZDCE-ZDEC=180°-4x=80°,

故答案为：80.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和.明确角的数量关系是解题的

关键.

16.如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=8C=4,将AABC折叠，使点A落在BC边上的点。处，EF为折

痕，若AE=3,则sin/B和的值为.

【解析】

【详解】•..在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,

.*.ZA=ZB,

由折叠的性质得到：△AEF@Z\DEF,

；./EDF=/A,

.,.ZEDF=ZB,

ZCDE+ZBDF+ZEDF=ZBFD+ZBDF+ZB=180°,

ZCDE=ZBFD.

又：AE=DE=3,

CE1

在直角AECD中，sinZCDE=——=一；

ED3

故答案是：—.

3

17.如图，在中，A3=2,NACB=60°,CD±BC,QC=BC,则AO的长的最大值为

【答案】V2+V6##V6+V2

【解析】

[分析】方法1：以AB为直角边在AB的上方作等腰直角△E4B,且EA=AB,连接DE,则易得

则可得点。的运动轨迹是以BE为弦且圆周角为60°的弧，当垂直平分线段BE时，AD最长，则易于

求得A。的最大值；

方法2：过点力作。EJ_AC的延长线于点E,得出NOCE=30。，CD=CB=x,4C=y,则。后="，CE=^-

22

x,则AE=y+且x,由勾股定理，得A£>2=A£2+EZ)2,进而求最值.

-2

【详解】方法1：以AB为直角边在AB的上方作等腰直角且E4=A8,连接。E,如图，

则ZABE=45°,由勾股定理得BE=0AB.

VCDLBC,DC=BC,

/.N(780=45。=/ABE,BD=42BC，

NBED+/EBC=NEBC+NABE,

^ZEBD=ZABC.

,:也=里=叵,

BCAB

:ABEDsABAC,

，ZEDB=ZACB=60°.

,­,BE=y[2AB=2y/2，

...点。的运动轨迹是以BE为弦且圆周角为60°的弧，当4。垂直平分线段8E时，最长，设此时A。与

8E交于点。；

当A。最长时，△BDE是等边三角形，边长为26，

则OD=2BD=汩又26=逐，

22

\'ADA_BE,NABE=45。，

Z./AB£=/OAB=45。，

?.OA=OB.

由勾股定理得：Q4=»AB=X—*2=J5，

22

AD=OA+OD=y/2+y/6.

故答案为：0+".

方法2：如图，作DELAC的延长线于点E,

ZDCE=30°,

设。=C8=x,AC=y,则CE=—x.AE=AC+CEy+—x

22-2

在RfAAOE中，由勾股定理得4。2=。62+4£2,

AD2x2+y2+y/3xy,

I」J

V(x-y)2>0,

x2+y2-2xy>0,

22

：.xy<X+y，且当时，等号成立，

2

222

.••A》=/+/+回，<x+r+V3x=R+”+y）,

当x=y时，A。有最大值，且4。2=（2+'）（厂+厂）,

2

VAB=2,ZACB=60。,

4ABC为等边三角形，

.•.当x=y=2时，心=&+3)(厂+)'-)=8+

2

又AD〉O,

:•AD=瓜+也.

故答案：瓜+>/2.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，30。的直角三角形的性质,

不等式的性质，垂径定理，圆周角定理等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

三、解答题：本大题共7小题，共70分.要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

3x-2<x+6

18.解不等式组,5x-1，并把解集在数轴上表示出来.

------+2>x

I2

【答案】一1<%44,画图见解析

【解析】

【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据口诀即可确定不等式组的解集.

3x-2<x+6①

解不等式①得xW4,

解不等式②得x>-l,

；•不等式组的解集为-l<x<4.

将不等式的解集表示在数轴上如下:

-5-4-3-2-1012345)

【点睛】本题主要考查解不等式和不等式组的基本技能，熟练掌握解不等式和不等式组的基本步骤是解题

的关键.

19.如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，ZBCE=ZACD,ZBAC=ZD,BC=CE.

D

E

BC

（1）求证：AC=CD；

（2）若AC=AE,NACD=80。，求/DEC的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）115。

【解析】

【分析】（1）根据同角的余角相等可得到/3=/5,结合条件可得到/1=/D,再加上BC=CE,可证得结论；

（2）根据/ACD=80。，AC=CD,得到N2=ND=50。，根据等腰三角形的性质得到N4=N6=75。，由平角的

定义得到/DEC=180°-Z6=105°.

【详解】解：（1）；NBCE=NACD=90。，

.\Z3+Z4=Z4+Z5,

N3=N5,

Z1=ZD

在AABC和ADEC中<N3=N5,

BC=CE

.".△ABC^ADEC(AAS),

AC=CD；

(2)VZACD=80°,AC=CD,

N2=ND=50°,

VAE=AC,

Z4=Z6=65°,

.,.ZDEC=180°-Z6=115°.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，等边对等角，（1）中掌握全等三角形的判定方法是解题的关键,

（2）中注意等腰三角形等边对等角.

20.为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“垃圾分类，从我做起”的活动，志愿者随机抽取了社区

内50名居民，对其3月份垃圾分类投放次数进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不

完整的统计图表：

信息1：垃圾分类投放次数分布表信息

组别投放次数频数

A(X<5a

B5<x<1010

C10<x<15c

D15<x<2014

EQ20e

合计50

信息2：垃圾分类投放次数占比统力卜图

信息3：C组包含的数据：12,12,10,12,13,10,11,13,12,11,13.

请结合以上信息完成下列问题：

(1)统计表中的“=,e=；

(2)统计图中8组对应扇形的圆心角为度；

(3)C组数据的众数是，抽取的50名居民3月份垃圾分类投放次数的中位数是；

(4)根据调查结果，请你估计该社区2000名居民中3月份垃圾分类投放次数不少于15次的人数.

【答案】(1)5,10

(2)72(3)12,13

(4)960人.

【解析】

【分析】(1)利用总人数乘以A组百分比可求解”,再利用总人数减去A,B,C,。组人数求解e即可;

(2)利用360。XB组所占的比例即可得8组对应扇形的圆心角度数；

（3）根据众数，中位数的定义求解即可；

（4）2000X3月份垃圾分类投放次数不少于15次的人数所占比例即可求解.

【小问1详解】

解：a=50?10%=5（人），

Qc=ll,

\e=50-5-10-11-14=10,

故答案为：5,10；

【小问2详解】

360按竺=72?,

50

故答案为：72；

【小问3详解】

把C组数据按从小到大的顺序排列为10,10,11,11,12,12,12,12,13,13,13.

可得C组数据的众数是12,

又A组频数为5,B组的频数是10,C组的频数为11,。组的频数为14,E组频数为10,

.•.第25,26个数均为13,

.••抽取的50名居民3月份垃圾分类投放次数的中位数是3.

2

故答案为：12,13；

【小问4详解】

2000'^^=960（人），

50

答：估计该社区2000名居民中3月份垃圾分类投放次数不少于15次的人数为960人.

【点睛】本题考查统计表、众数与中位数的含义，用样本估计总体以及扇形统计图，应结合统计表和扇形

统计图，利用部分与总体之间的关系进行求解.

21.某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完；商场

又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，售

价每台也上调了200元.

（1）商场第一次购入的空调每台进价是多少元？

（2）商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%,打算将第

二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？

【答案】（1）2400元；（2）8台

【解析】

【分析】(1)设商场第一次购入的空调每台进价是X元，根据题目条件列出分式方程解答即可；

(2)设最多将y台空调打折出售，根据题目条件列出不等式并解答即可.

【详解】(1)设第一次购入的空调每台进价是x元，依题意，得

52000C24000

—2x,

x+200_______x

解得x=2400,

经检验，x=2400是原方程的根，

答：第一次购入的空调每台进价是2400元；

⑵由⑴知第一次购入空调的台数为24000+2400=10(台)，

第二次购入空调的台数为10x2=20(台)，

设第二次将y台空调打折出售，

第一次空调销售中的销售额为：

3000x10=30000元，

，第二次空调销售中的销售额为：

(3000+200)x0.95-y+(3000+200)-(20-.y)=64000-16O.y,

30000+64000-160y>(1+22%)x(24000+52000),

-160y>-1280,

解得好8,

答：最多可将8台空调打折出售.

【点睛】本题考查了分式方程应用和一元一次不等式的应用，属于基础题，注意解答分式方程时，一定

要验根，解本题的关键是利用条件列出等式以及不等式.

22."BC中,AB=AC=10,2c=12,是AABC的外接圆.

(1)如图①，过A作MN〃BC,求证：MN与。。相切：

(2)如图②，NABC的平分线交半径OA于点E,交。。于点O.求。。的半径和AE的长.

MANA

【答案】(1)详见解析；(2)5

【解析】

【分析】（1）作直径AD,连接DC,证明ND=/NAC,根据/D+NDAC=90。，可证NOAN=90。；

（2）作直径AF,EG1AB,连接OB、0C,由角平分线的性质可得EG=EH,BG=BH=6,求出AH,在

RtAOBH中由勾股定理列出方程求出半径，再根据AAGEs/\AHB可求出AE.

【详解】解：（1）作直径AD,连接DC,

①

；AB=AC且MN〃BC,

r.ZB=ZACB=ZNAC,

VZD=ZB,；.ND=NNAC,

•.•AD是直径，.\ZD+ZDAC=9O0,

.•.ZNAC+ZDAC=90°,

AZOAN=90°,

又•.,点A在（DO上，.\MN与。O相切；

（2）作直径AF,EG1AB,连接OB、OC,

VOB=OC,AB=AC

.•.0、A在BC的垂直平分线上，即AF垂直平分BC,

：BD平分/ABC,EG±AB,FH±BC,

AEG=EH,BG=BH=6,

在Rt/kABH中，VAB=10,BH=6,由勾股定理得AH=8,

设00半径为x,在RtAOBH中，

2525

由勾股定理得：（8—x）2+6z=x2,；.x=——，即。O的半径为一,

44

VAB=10,BG=6,AAG=4,

AGAE

由Z^AGEsaAHB得：----=,

AHAB

代入解得：AE=5.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、切线的判定和性质、垂径定理、

勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识点，涉及知识点较多，有一定难度，根据题意作出常用辅助

线是解题关键.

23.（1）问题发现

如图1,在aOAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:

①空AC•的值为

BD

②NAMB的度数为.

（2）类比探究

如图2,在AOAB和AOCD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,连接AC交BD的延长线于点

Ar

M.请判断2上的值及NAMB的度数，并说明理由;

BD

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将AOCD绕点O在平面内旋转，AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=J7,请

直接写出当点C与点M重合时AC的长.

【答案】⑴①1;②40。；⑵6，90°；（3）AC的长为3/或2G.

【解析】

【分析】（1）①证明ACOA岭△口€«（SAS）,得AC=BD,比值为1；

②由△COAgADOB,得NCAO=NDBO,根据三角形的内角和定理得：ZAMB=180°-

(ZDBO+ZOAB+ZABD)=180°-140D°；

（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOCSABOD,则由全等三角形的性质得

BDOD

ZAMB的度数；

（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况:如图3和4,同理可得:AAOC^ABOD,贝i]NAMB=90°,

F-

—=V3,可得AC的长.

BD

【详解】（1）问题发现：

①如图1,

VZAOB=ZCOD=40°,

AZCOA=ZDOB,

VOC=OD,OA=OB,

AACOA^ADOB(SAS),

AAC=BD,

・•.*

BD

②;△COA四△DOB,

ZCAO=ZDBO,

ZAOB=40°,

.,.ZOAB+ZABO=140°,

在AAMB中，ZAMB=180°-(ZCAO+ZOAB+ZABD)=180°-(ZDBO+ZOAB+ZABD)=180o-140°=40°,

(2)类比探究：

如图2,——=，3,ZAMB=90°,理由是：

BD

RtACOD中，ZDCO=30°,ZDOC=90°,

.OP

=tan30°=

"~ocT

同理得：空=柩〃30。=正，

0A3

•OD_0B

''~OC~~OA'

VZAOB=ZCOD=90°,

.".ZAOC=ZBOD,

/.△AOC^ABOD,

ACOCr~

：.——=——=J3,ZCAO=ZDBO,

BDOD

在AAMB中，ZAMB=180°-(ZMAB+ZABM)=180°-(ZOAB+ZABM+ZDBO)=90°；

（3）拓展延伸:

①点C与点M重合时，如图3,

同理得：AAOC^ABOD,

AC

，NAMB=90°,——=V3,

BD

设BD=x,则AC=&x,

为△COD中，ZOCD=30°,OD=1,

；.CD=2,BC=x-2,

RSAOB中，ZOAB=30°,OB=近，

/.AB=2OB=2V7,

在Rt^AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(Gx)2+(x-2)2=(2j7)2,

x2-x-6=0,

(x-3)(x+2)=0,

xi=3,X2=-2,

.•.AC=35

②点C与点M重合时，如图4,

在RSAMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(Gx)2+(x+2)2=(2近F

x2+x-6=0,

(x+3)(x-2)=0,

xi=-3,X2=2,

.•.AC=26：.

综上所述，AC的长为3G或2G.

【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关

键是能得出：△AOCs^BOD,根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好

的题目.

24.抛物线丁=依2+加+3过点A(-l,0),B(3,0),与〉轴交于点C.对称轴与x轴交于点D

(1)求抛物线的解析式及点。的坐标：

(2)如图，连接C。、CB,在直线2c上方的抛物线上找点P,使得NPCB=NDCB,求出尸点的坐标:

（3）点M为直线8c上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N,使得以C,D,

M,N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点例的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=-x2+2x+3,D（1,0）

720

（2）点尸坐标为（一，—）

39

57

（3）存在，M坐标为（6，3-75）或（—石，6+3）或（-4,1）或（一，一）

44

【解析】

【分析】（1）用待定系数法求解即可；

（2）过点8作BEL08交CP于点E,可证△8CZ）gABCE（AS4）,则可求点E坐标，然后求直线CE的解

y=-x2+2x+3

析式，联立方程组彳1,解方程组即可求点尸的坐标；

y=——x+3

I3

（3）分CD为边和对角线讨论即可解答.

【小问1详解】

解：：抛物线丁=。^+云+3过点4一1,0）,8（3,0）,

a-h+3-O

■<9a+3/?+3=0,

a=-l

解得《

b=2

抛物线的解析式为y^-x2+2x+3,

b2

对称轴为直线A-五二1,

2?(1)

...对称轴与x轴的交点。坐标为（1,0）；

【小问2详解】

解：过点3作BEJ_OB交CP于E,

y

鼠E

B»

OD[X

当x=0时，y=3,

：.C(0,3)

又B(3,0),

・・・BO=CO=3f

又N3OC=90。,

・・・ZCBO=45°,

・•・ZCBE=45°,

：.ZCBO=ZCBEf

又/DCB=/ECB,CB=CBf

:•△BCDQABCE,

：.BD;BE,

又B(3,0),D(1,0),

:・BE=BD=2,

.••点E坐标为（3,2）,

设直线CE解析式为y=/wcHtf

3m+〃=2

则《

〃=3

1

m=——

解得《3,

n=3

直线CE解析式为y=——x+2,

y=-x2+2x4-3

联立方程组〈

y=」x+3

3

7

x=—

3

解得一20，

y~~9

720

点P坐标为(一，—)；

39

【小问3详解】

解：①以C。为边时，则CM=CZ)

•：B(3,0),C(0,3),

直线BC解析式为y=—x+3,

设M(%,-%+3)

(xfl—0)~+(—x()+3—3)~=(0—1)-+(3—0)~,

解得x()=±A/5,

:.M(亚，3-有)或(-石，75+3);

②以CD为边时，则MD=C£>

设M(%,-%+3)

(%-+(-x0+3)2=(0-+(3-0)2,

解得%=4或%=0(舍)

：.M(4,-1)；

③以C。为对角线时，则

•k.k——1

・・"MNKCD~1'

VC(0,3),D(1,0)

...直线CO解析式为y=-3x+3,C£>中点坐标为(；，

22

•,"MN='

又直线MN经过CO中点，

14

・・・直线MN解析式为y=]X+],

y=-x+3

联立方程组《14

y=-x+-

33

5

x=—

4

解得《:

综上所述，当M坐标为（近，3-亚）或（—石，75+3）或（4,-1）或（一5，一7）时，以C,力，M,

44

N为顶点的四边形是菱形.

【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象上的点的坐标的特征，二次函数图象上

点的坐标的特征，两点之间距离公式，中点坐标公式，菱形的性质等.根据题意灵活运用所需知识点是解

题的关键.

2022年市南一模数学试题

一、选择题(本题满分24分，共有8道小题，每小题3分)

1.—*的倒数是()

3

3355

A.--B.-C.一一D.-

5533

【答案】A

【解析】

【分析】根据倒数的定义求解即可.

【详解】解：一己5的倒数是-3

35

故答案选：A.

【点睛】本题考查了倒数的定义.解题的关键是掌握倒数的定义，1除以这个数的商就是这

个数的倒数.

2.下列四个图案中是轴对称图形的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】这4个图形各自沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，都是轴对称图

形.

【详解】第二个，第四个是轴对称图形.

故选B.

【点睛】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义，是解决此类问题的关键.

3.由一些相同小立方块组成的几何体的三种视图如图所示，则组成这个几何体的小立方

块的个数是()

主视图左视图俯视图

A.4个B.5个C.6个D.7个

【答案】D

【解析】

【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列两层，由

此结合图形即可得.

【详解】解：由题意可得该几何体共有两行三列，底层应该有3x2=6个小正方体，第二层

第一列第二行有1个小正方体，共有6+1=7个小正方体，

故选D.

【点睛】本题考查由三视图还原立体图形，掌握三视图所看的位置和定义.准确把握观察角

度是解题关键.

4.为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随

机抽取的42名学生收集废旧电池数量的统计表：

废旧电池数/节4567

人数/人912129

请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是()

A.样本为42名学生B.众数是9节和12节C.中位数是6节D.平均数

是5.5节

【答案】D

【解析】

【分析】根据样本定义可判定A,利用众数定义可判定B,利用中位数定义可判定C,利用

求平均数的公式计算可判定D.

【详解】解：随机抽取42名学生收集废旧电池的数量是样本，故选项A错误；

根据众数定义重复出现次数最多的数据是5节或6节，故选项B错误；

根据中位数定义，由样本容量为42,则中位数为按顺序排列的第21和第22两个位置数据

的平均数，第21位、第22位两个数据为5节与6节，故中位数为*=5.5节，故选项C

2

错误；

样本平均数［=(4x9+5x12+6x12+7x9)=5$节,故选项D正确.

42

故选D.

【点睛】本题考查样本，众数，中位数，平均数.熟练掌握样本、众数、中位数的定义，求

平均数的公式是解题关键.

5.北京冬奥会于2022年2月4日在中华人民共和国国家体育场举行.在此期间，国家体育

总局委托国家统计局开展的“带动三亿人参与冰雪运动”统计调查数据显示，全国居民参与

过冰雪运动的人数为346000000人，将346000000用科学记数法表示为()

A.3.46x107B.3.46x108C.34.6x108D.

3.46x10'°

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中1<|«|<10,"为整数.确定〃的值时，

要看把原数变成“时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数

绝对值多0时，〃是正整数；当原数的绝对值<1时，〃是负整数.

【详解】解：将34600(X)00用科学记数法表示为346000000=3.46x108.

故选择为：B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中l<|a|

<10,〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及"的值.

6.如图，以某网格线所在直线建立平面直角坐标系，将AABC绕点尸旋转180。得到AOEF,

已知点A(2,-1),点尸的坐标为()

A.(-2,2)B.(2,-2)C.(1,-3