2021届高中数学综合、交汇习题集15

《2021届高中数学综合、交汇习题集30篇》

在这套习题中，我们仅仅关注高中数学知识之间的跨界组合、综合交汇的

考查。它们也许是数列与函数的交汇、也许是函数与几何的交汇、也许统计与

圆锥曲线的交汇、也可能是基本不等式与解三角形的交汇……

第15篇

1.（皖，2021皖南八校高三联考）已知集合M={x|x2一x-2W0},N={y|y=兀'},则McN=（）

A.（0,2]B.（0;1]C.[-2,+oo）D.[-l,+oo）

2.（皖，2021届怀宁二中高三月考）内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为（）

43

A.RB.2RC._RD._R

34

3.（2021届新高考地区期中考）等差数列{a,J的前〃项和为5“，若公差d=—2,5,-21,则当5“取得

最大值时，〃的值为（）

A.10B.9C.6D.5

4.（皖，2020届合肥市高三质检）在矩形A8CD中，AB=4,8c=46,点G,H分别为直线BC,CD上

——1——

的动点，AH交DG于点P.若DH=XDC，CG=产8（0<A<l）,矩形A8CD的对称中心M关于直

线AD的对称点是点N,则口巴川的周长为（）

DH

AB

A.12B.16C.24AD.32A

5.（皖，2021届六校教育研究会高三月考）已知直线/：丫=丘+1与抛物线C：V=4y交于A、B两点,

直线m:y=2kx+2与抛物线。：V=8y交于M、N两点，若对于任意ZeR时，彳人用一切|为定值,

则实数那J值为（）.A.12B.8C.4D.2

6.（皖，2021届定远育才学校高三月考）已知y=/（X）是偶函数，而y=/（x+1）是奇函数，且对任意

0W1,都有广。"0,则。=/（空）,。=/（吧）,。=/（106）的大小关系是（）

191715

A.c<b<aB.c<a<bC.a<c<bD.a<b<c

7.（皖，2020届四校高三联考）一个等腰三角形的周长为10,四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，

如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积

的最大值为（）

A.迎区B.500£&5GD.15也

8127

2

8.（皖2020届合肥市高三质检）已知数列｛a,J中外=〃，数列抄“｝的前n项和S,,=2"-l.若数列

的前〃项和对于V〃eN*都成立，则实数M的最小值等于.

2r-1

9.（皖，2020届安徽高三四校联考）过点尸（3,1）的直线/与函数/'（*）=的图象交于A，B两点，O

2x-6

为坐标原点，则（0A+03>0P=（）

A.710B.2而C.10D.20

.（皖，届蚌埠市高三第一次质检）设〃x）=',若=则/（'）=（）

10202117

[x/elnx,x>la

A.1B.72C.7eD.e

11.（皖，2020届合肥市高三质检）已知三棱锥A-6CD的三条侧棱AB,AC,两两垂直，其长度分别

为a,b,c.点A在底面BCD内的射影为O,点A,民C,。所对面的面积分别为a，SB,Sc,SD.在下列所给

的命题中，正确的有.（请写出所有正确命题的编号）

①三棱锥A-BCD外接球的表面积为（/+b2+c2）不；

②5,S&BCO=Sj；

3

③SA<Sl+S^S\

④若三条侧棱与底面所成的角分别为a07，则5由2£+5也2万+$足27=1；

11111I

⑤若点M是面内一个动点，且40与三条侧棱所成的角分别为a，川,名，则

cos2a^-cos2B-hcos27=J.

12.（皖，2020届合肥市高三质检）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题："十人分十斗玉

米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人

分得玉米（）

10x8'°10x89

A.------------斗B.------------

glO__yiOg）0_yl（）

10x8870x89

C.------------斗D.----------斗

8,0-7'°8IO-1

3

Xy

13•(皖，2021届六校教育研究会高三月考)已知双曲线--至=l(a>0,/2>0)的一条渐近线方程为

P为双曲线上一个动点，F],尸2为其左，右焦点，PFPF的最小值为-3,则此双曲线的

T'2

焦距为().

A.2B.4C.2辨D.2币

14.(皖，2021届怀宁二中高三月考)给出下列四个命题：

①函数/(x)=Inx-2+尤在区间(l,e)上存在零点；

②若/'(九0)=0,则函数y=f(x)在无=/处取得极值；

③若"xe[2,5]或xe{x|x<1或x>4}"是假命题，则xG[1,2)；

④函数>=/(l+x)的图象与函数y=/(l—x)的图象关于y轴对称；

其中正确命题的是.

15.已知在矩形A3C。中，AB=4,AO=1,AR，平面ABC。，且AF=3,E为线段。。上一点，

沿直线AE将\DAE翻折成△D'AE,M为BD'的中点，则三棱锥M-BCF体积的最小值是.

4

《2021届高中数学综合、交汇习题集》第15篇参考答案

1.答案A

2.【答案】C

【解析】设圆锥的高为h,底面半径为r,

则RJ(h-R)2+r；所以r2=2Rh-h2,

1兀

所以V—nr-h=_h(2Rh-h2)

33

2兀4

=一nRh2-_h3,V,=_nRh-nh：

333

4

令W=0,得h=_R.

3

44R

当0<h<-R时,V'>0;当一<h<2R时,V'<0.

33

4

因此当h3R时，圆锥体积最大.

3.【答案】D

4.【答案】A

【解析】分别以MN和AD所在的直线为％>轴建立平面直角坐标系，利用点斜式可写出直线AH的方程

和直线OG的方程，然后将其联立成方程组求出点P的坐标，进一步得到点P的坐标满足上+£=1，

1612

最后结合椭圆的定义，求得口PMN的周长.

【详解】

解：分别以MN和AO所在的直线为左丁轴建立如图所示的平面直角坐标系，

贝IA(0,-狙D(0,24),M(2,0),N(-2,0),

——1——

因为OH=2QC，CG=/B(0<A<l),

所以H(8Z%)，G(4,我1—4)),

所以直线AH的方程为y=M九—26=史》一26，

8222

直线DG的方程为丫=一驴々+2后=-，x+26，

4'2

P(里2用-盾

联立这两条件直线方程可得点)

1+11+干

所以

5

((2向1丁)"6412(1—4)24%+1—d+兑(1+/?)2即点P的

1+2~+:1+4—__________|_____________________________________1

--161216(1+疔12(1+^)2(1+1)2-(1+，)2

坐标满足匕丫1,

1612

所以点P的轨迹是以。为对称中心，N,M分别为左右焦点的椭圆，其中a=4,b也3,c=2,则椭圆

的定义可知，PM+PN=2a=8

所以口PMN的周长为PM+PN+MN=8+4=12

故选：A

5.【答案】B

【解析】利用弦长公式分别求出|AB|=J1+：2.J（4Z）2+16，|MN|=J1+46♦J256T+64，再代入

目标式子，即可得答案；

【详解】

设4（%,%）,8卜2，%），

将y=奴+1彳队炉=4y得d一4Ax-4=0，

|AB|=Jl+Y.J（4k了+16，

将y=2履+2代入f=8y得x2-\6kx-16=0>

•••|MN|=J1+4T•,2561+64，

2\AB\-^1NI=%A/1+12.4.Ji+力—8（1+4人）=（4几—32）公+4/k8,

2=8,

故选：B.

6.【答案】B

6

【解析】根据对任意OMxWl,都有了'(X)>0,得到y=/(x)在［0,1］单调递增，再由y=/(x)是偶函

数，y=/(x+1)是奇函数，推出/(x)是周期函数，然后转化a,b,c再比较大小.

【详解】

因为对任意OWxMl，都有了'(x)NO,

所以y=“X)在［0』］单调递增，

因为y=/(x)是偶函数，而y=/(x+1)是奇函数，

所以/(%)=/(-%),/(x+l)=-/(-x+l),

/(x+l)=-/(x-l),故"x+2)=—,

则/(x+4)=_/(x+2)="x),

故的周期为4.

C寸悭”陶7国,

因为/1)<乂16)/14)

——J——<J——，

所以c<.a<b.

故选：B

7.【答案】A

【解析】由题意作出草图，设底面正方形边长的一半为X,由勾股定理，求出棱锥的高，利用棱锥体积公

式得到体积关于X的函数，再利用导数求最值，即可得到结果.

【详解】

设四棱锥为P-ABCD,如下图所示:

7

设四棱锥高为P0，取BC中点M，

设四棱锥底面正方形边长的一半为x,则侧面等腰三角形的腰长45=1°-2V=5—x,

2

所以PM2=(5-X)2-X2,

在直角△PMO中，OM=x,

所以四棱锥的高P0=yJPM2-OM2=^5-X)2-X2-X2=V-X2-10X+25,

所以Vp-A8CD=]X)'V-X2-10X+25=--V-/-10x5+25/,

设/(x)=-f-10/+25X4,(X>0),

则广（X）=-6x5-50x4+100x3=2/（-3x2-25x+50）=2x3（x+10）（-3x+5）,

令/'（x）=0,可得x=—10（舍去）或x=[，

当时，/（x）〉0,当时，尸（x）<0；

所以函数/（x）在‘0,5、上单调递增，在「5,+«?上单调递减，

I3।।3।

所以当x时，取到最大值，即£\=：看，V取到最大值

CoP-ABCD

故选：A.

8【答案】4

【解析】由数列步｝的前n项和S=2"-1得，b=2'i，则3=,利用错位相减法得到

nnnj

b„n

题+2

T=4-____<4,即可得出结论.

〃2"T

【详解】

由数列｛0｝的前〃项和S=2"—l得，

nn

当“22时，有b=S-S=（2"—1）—（2"T_I）=2"T,

当〃=1时，有S]=2-1=1=4也适合上式,

故〃=2"，

8

1

bnH

.•Z„+2仅+3x（"+...+“啰⑴，

iOYnV门丫门丫

/3|8+2乂|同+3x|J厂.+必产

+…+门、"-〃/1丫kUCV

由⑴一（2）得：＞7=1+门丫+口丫+门丫

©切7旧

2"⑷⑴⑷

1-2

r1Y

=2一（〃+2）/，

.n+2

即片4一可＜4.

又7；,＜M对于V〃eN*都成立，

所以MN4,故实数M的最小值等于4.

故答案为：4.

9.【答案】D

【解析】判断函数/（X）的图象关于点P对称，得出过点尸（3,1）的直线/与函数/（X）的图象交于A,8两

点时，得出A,B两点关于点P对称，则有OA+OB=20P，再计算（。4+。810。的值.

【详解】

5

」3=21=1+4,

2x—6x—3

，函数J（x）=的图象关于点尸（3,1）对称，

2尢一6

2x-1

过点P（3,l）的直线/与函数/（x）=的图象交于A,8两点，

2x-6

且A,B两点关于点P（3』）对称，

OA+OB-20P,则（。4+0B）OP=2OP=2x（3：52）=20.

故选D.

9

10•【解析】当0<a<l时，由/(a)=/(e"),求得a=l，得到/(5=&，当”>1时，由〃。)=/(e"),

ea

得至Ulna=a,设g(x)=lnx—x,(x>1),结合导数，得到方程Ina=a无解，即可求解.

【详解】

由题意，函数

[A/C-Inx,x>1

当0<。<1时，可得L>1,ea>\,所以/(。)=而/(ea)=G,lne"=a&,

可得«=a&，解得。=2，所以/(5==

ea

当〃>1时,可得。<—<1,e">l,所以/(。)=&Ina,/(e")=&,lne"=a,

可得y[eIna=ay/e»即Ina=。，

设g(x)=lnx—x,(龙〉1),则g'(x)三1_]<0,g(x)单调递减，且g(l)=_]<0,

X

方程g(x)=0无实根，即方程lna=a无解，

综上可得，心=&.

a

故选：c.

【答案】①②④⑤

【解析】由三棱锥A-3CO的三条侧棱A3,AC,AO两两垂直，则将三棱锥A-BCO补成长方体

ABFC-DGHE,可判断①，由RWOA与RWAD相似，可判断②，取特殊值，当a=Z?=c=l时，

可判断③，分别以A3，4。,4。为乂％2轴，建立空间直角坐标系，利用向量法可判断⑤，当M与。重合

时，AOL面BCD,由各侧棱与底面所成角与侧棱与所A。成角互为余角，可判断④.

【详解】

由三棱锥A-BCD的三条侧棱AB,AC,AD两两垂直，则将三棱锥A-BCD补成长方体

ABFC-DGHE,连接£>。并延长交于0',则AOLBC

对①：三棱锥A-BCD外接球和长方体ABFC-DGHE的外接球相同.

则长方体ABFC—DGHE的对角线AH=y/a2+b2+c2

则长方体—OG"E的外接球的直径为AH

所以三棱锥A-BCD外接球的表面积为：4求2=⑷+/+,2%,故①正确.

10

对②：由HtDO'OA与HtDO'A。相似，则0%?=o，。乂07)

r

1f12(1\212

BC0，A=BC0，a

^SA=~BCOD,SBCO=~BCOO,SO^']4

所以SA•S△8C”=S^^故②正确.

S3=S3=s3=1则S3+3+S3=)

对③：当〃=/?=c=l时,s

BCDgflCDg

3

而S：此时S：＞S””那③不正确.

对⑤：分别以AB，AC,AD为x,%z轴，建立空间直角坐标系.设M(x,y,z)

则N=(x,y,z),|必=Jd+y+/,AB=(a,0,0),AC=(0,b,0),AD=(0,0,c)

(---Y(---Y(----'Y

所以cos?a+cos?/?+cos?/_AM,ABAAf•ACAM,A£)

222—|j4叫.网JI•固)LI，。：

=x+y2z2

iiT\T'j3~],所以⑤正确.

\AM\\AM\\AM\

对④：当M与。重合时，A。_L面BC。，由⑤有cos29+cos2以+cos272=l，

由各侧棱与底面所成角与侧棱与所A。成角互为余角，可得④正确.

故答案为：①②④⑤

12.【答案】B

【解析】直接根据等比数列的求和公式求解即可.

【详解】

7

由题意可知，每人所得玉米数构成公比为一的等比数列；且数列的前10项和为10；

8

设首项为a；

11

(⑺吟

则叩10；

8

10x19

•。=夏_10x8

♦•s—IQ----------------------

1010

1-4r8-7

810

故选：B.

13.【答案】D

【解析】由渐近线方程得'=/,设P(x,y),求出Pb-PF=x2+y2—c2,利用此式的几何意义得

a~T001200

出最小值为CT-C1,然后可求出C,得焦距.

【详解】

设P(x。，%)，K(—c,0)，K(c，0)，则

PF-PF=(-c-x,-y)・(c-x,-y)=(-c-x)(c-x)-by2=x2^-y2-c2>

12000000000

f+y2表示尸到原点距离的平方，当P为双曲线顶点时取得最小值，所以(声•而)="_c2,即

°。'2min

。2-。2=-3，y=3，b=

双曲线的一条渐近线为y=/x，则上=史，所以。=2，焦距为2g.

2a2

故选：D.

14答案】①③④

【解析】①利用零点存在性定理即可判断；②利用函数的极值和导数之间的关系进行判断，③根据符合命题

的真假性即可判断；④利用函数的对称性进行判断.

【详解】

对于①：函数/(x)=lnx—2+x在区间(l,e)上单调递增，且/(1)=1—2=-1<0,

/(e)=lne—2+e=e-1>0,所以根据零点存在性定理可知在区间(l,e