2022年广东省湛江二中学港城中学中考数学四模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案,每小题3分，满分30分）

1.如图，等腰直角三角形纸片ABC中,NC=90。，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，点CE=L

AC=4,则下列结论一定正确的个数是（）

①NCDE=NDFB；®BD>CE；®BC=V2CD；④ZkDCE与△BDF的周长相等.

C.3个D.4个

2.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：与旋钮的旋转角度X（单位：度）（0'<x<90）近

似满足函数关系y=ax2+bx+c（aW0）.如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度X与燃气量y的三组数据，根

据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）

0.150..........................................

A.180B.36。C.41°D.58°

2AP垂直NB的平分线BP于P,贝必PBC的面积为（）

A.2cm2C.4cm2D.5cm2

4.抛物线y=（k2）2+3的顶点坐标是（）

A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)

5.从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（）

6.如图，以NAOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D.再分别以点C、D为圆心,

大于'CD的长为半径画弧，两弧在NAOB内部交于点E

,过点E作射线OE,连接CD.则下列说法错误的是

2

0DlB

A.射线OE是NAOB的平分线

B.△COD是等腰三角形

C.C、D两点关于OE所在直线对称

D.O、E两点关于CD所在直线对称

7.如图，在正方形ABC。中，AB=9,点E在CO边上，DE=2CE,点P是对角线4c上的一个动点，贝”E+P。

的最小值是（）

A.3V10B.106C.9D.9夜

8.已知△ABC,。是AC上一点,尺规在48上确定一点E,使△AOEsaAHC,则符合要求的作图痕迹是（）

A

B-

B1CBC

A

二BC

B\C

9,图为小明和小红两人的解题过程.下列叙述正确的是（）

3九一3

计算:

X—l1—X?

小明的解决

小红的髀汰

ar-一_■一1“一

***-（X*邢P你*川■*-3(xz2i”"L"◎

M•硒E；*(皿2

u.心工1.1.®

U-3(WX-3.......Q

第Nx叫）

_"一一"Qx・“-3m3..........。

SQW»g）N,........®

A.只有小明的正确B.只有小红的正确

C.小明、小红都正确D.小明、小红都不正确

10.如图，已知线段AB,分别以A,B为圆心，大于‘AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线1,在直线1上取一点

2

C,使得NCAB=25。，延长AC至点M,则NBCM的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球.每次摇匀后随机摸出一个球，记下

颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4,由此可估计袋中约有红球个.

12.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1,百），则点C的坐标为.

13.点P的坐标是（a,b）,从-2,4,0,1,2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b

的值，则点P（a,b）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是.

14.二次函数+汝的图象如图，若一元二次方程以2+区+机=0有实数根，则加的最大值为一

15.计算（-a）3.2的结果等于.

16.对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测量，其平均数、方差计算结果如下：机床甲：%=10,筮=0.02；机床

乙：=10,S；=0.06,由此可知：（填甲或乙）机床性能好.

4

17.如图，点A是反比例函数y=--（x<0）图象上的点，分别过点A向横轴、纵轴作垂线段，与坐标轴恰好围

x

成一个正方形，再以正方形的一组对边为直径作两个半圆，其余部分涂上阴影，则阴影部分的面积为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CD到E,使DE=CD,连接AE.

（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；

（2）连接OE,若NABC=60。，且AD=DE=4,求OE的长.

19.（5分）某养鸡场有2500只鸡准备对外出售.从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：kg）,绘制出如

下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题:

只数

(I)图①中团的值为;

(D)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；

(m)根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0侬的约有多少只？

20.(8分)某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现

这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.

(1)若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？

(2)设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元.求出y与x之间的函数关系式，并求当x取何值时，商场获

利润最大？

21.(10分)如图，A/AABC中，ZACB=90°,以BC为直径的。O交AB于点D,过点D作。O的切线交CB的延

长线于点E,交AC于点F.

(1)求证：点F是AC的中点；

(2)若NA=30。，AF=Ji,求图中阴影部分的面积.

22.(10分)在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，

这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元.求每张门票原定的票价；根据实际情况，活

动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.

23.(12分)中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广.为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000

名学生参加的“汉字听写”大赛.为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计,

制成如下不完整的统计图表：

频数频率分布表

成绩X(分)频数(人)频率

50<x<60100.05

60<x<70300.15

70<x<8040n

80<x<90m0.35

90<x<100500.25

根据所给信息，解答下列问题：

(1)m=,n=；

(2)补全频数分布直方图,；

(3)这200名学生成绩的中位数会落在分数段；

(4)若成绩在90分以上(包括90分)为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有

多少人？

24.(14分)在QABCD中，过点D作DE_LAB于点E,点F在边CD上，DF=BE,连接AF,BF.

(1)求证：四边形DEBF是矩形；

(2)若AF平分NDAB,AE=3,BF=4,求。ABCD的面积.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、D

【解析】

等腰直角三角形纸片ABC中，NC=90。，

:.NA=NB=45。，

由折叠可得，ZEDF=ZA=45°,

，NCDE+NBDF=135。，NDFB+NB=135。，

.,.ZCDE=ZDFB,故①正确；

由折叠可得，DE=AE=3,

：,CD=s]DE2-CE2=2V2，

.*.BD=BC-DC=4-272>1，

/.BD>CE,故②正确；

VBC=4,y[2CD=4,

.,.BC=V2CD,故③正确；

VAC=BC=4,ZC=90°,

••.AB=40,

VADCE的周长=1+3+20=4+2后，

由折叠可得，DF=AF,

/.△BDF的周长=DF+BF+BD=AF+BF+BD=AB+BD=4夜+(4-272)=4+2近,

...△DCE与ABDF的周长相等，故④正确；

故选D.

点睛：本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化,

对应边和对应角相等.

2、C

【解析】

根据已知三点和近似满足函数关系产d+bx+c(WO)可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在36和54之间即可选

择答案.

【详解】

解：由图表数据描点连线，补全图像可得如图,

...旋钮的旋转角度x在36。和54。之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气.

故选：C,

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数图像对称性质，判断对称轴位置是解题关键.

综合性较强，需要有较高的思维能力，用图象法解题是本题考查的重点.

3、C

【解析】

延长AP交于E,根据A尸垂直的平分线BP于尸，即可求出A43尸g2X3£尸，又知△APC和ACPE等底同高，

可以证明两三角形面积相等，即可求得AP5C的面积.

【详解】

延长AP交8c于E.

尸垂直N5的平分线3尸于尸，:.NABP=NEBP,NAPB=NBPE=9Q。.

在A428和4EPB中，：____r_______，二ASA),；.SA”B=SAEPB,AP=PE,.•.△4尸(7和4CPE

等底同高，:・S4Ape=ShPCE,:,S4PBe=S4PBE+S4PCESAABc=4c/n*.

故选c.

A

【点睛】

本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出SAABC.

4、A

【解析】

已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标.

【详解】

解：y=(x-2)2+3是抛物线的顶点式方程，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(2,3).

故选A.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h.

5、B

【解析】

考点：概率公式.

专题：计算题.

分析：根据概率的求法，找准两点：

①全部情况的总数；

②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.解答：解：从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数,

共有6种情况，取出的数是3的倍数的可能有3和6两种，

故概率为2/6="1/”3.

故选B.

点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，

那么事件A的概率P(A)="m"/n.

6、D

【解析】

试题分析：A、连接CE、DE,根据作图得到OC=OD,CE=DE.

:在△EOC与AEOD中，OC=OD,CE=DE,OE=OE,

/.△EOC^AEOD(SSS).

AZAOE=ZBOE,即射线OE是NAOB的平分线，正确，不符合题意.

B、根据作图得到OC=OD,

...△COD是等腰三角形，正确，不符合题意.

C、根据作图得到OC=OD,

又：射线OE平分NAOB,...OE是CD的垂直平分线.

...C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意.

IK根据作图不能得出CD平分OE,.'CD不是OE的平分线，

...0、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意.

故选D.

7、A

【解析】

解：如图，连接5E,设BE与AC交于点P,二•四边形ABC。是正方形，...点8与&关于AC对称，.•.PZ)=P3,

:.P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.即尸在AC与BE的交点上时,PD+PE最小,为BE的长度.；直角△CBE中，ZBCE=90°,

8c=9,CE=-CD=3,:.BE川炉+号=3西.故选A.

点睛：此题考查了轴对称--最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题.找出尸点位置是解题

的关键.

8、A

【解析】

以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于NB,角的另一边与AB的交点即为所求作的点.

【详解】

如图，点E即为所求作的点.故选：A.

本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作一角等于NB或NC,并熟练掌握做一个角等于已

知角的作法式解题的关键.

9、D

【解析】

直接利用分式的加减运算法则计算得出答案.

【详解】

3x—3

解：二I十匚3

3x-3

l-x(1—x)(l+x)

3(1+x)x-3

=-(l-x)(l+x)+(l-x)(l+x)

-3—3x+x—3

二(1—x)(l+x)

-2x-6

=(l—x)(l+x)'

故小明、小红都不正确.

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键.

10、B

【解析】

解：T由作法可知直线I是线段AB的垂直平分线，

：.AC=BC,

：.ZCAB=ZCBA=25°9

:.ZBCAf=ZCAB+ZCBA=25°+25o=50°.

故选B.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、8

【解析】

x

试题分析：设红球有X个，根据概率公式可得K—=0.4,解得：x=8.

8+4+x

考点：概率.

12、（-51）

【解析】

如图作AFJ_x轴于F,CE_Lx轴于E.

.,.OA=OC,ZAOC=90°,

VZCOE+ZAOF=90°,ZAOF+ZOAF=90°,

:.ZCOE=ZOAF,

在ACOE^AOAF中，

ZCEO=ZAFO=90°

<ZCOE=ZOAF,

OC=OA

/.△COE^AOAF,

.•.CE=OF,OE=AF,

VA(1,g),

.,.CE=OF=LOE=AF=5

.••点c坐标（-5i）,

故答案为（-百，1）.

点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，坐标与图形的性质，解题的关键是学会添加常用的

辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.注意：距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标

时，需要加上恰当的符号.

13、1

5

【解析】

画树状图为：

-2-1012

/JV,ziY./iv.

-1012-2012.7.112-2.102-2-101

共有20种等可能的结果数,其中点P(a,b)在平面直角坐标系中第二象限内的结果数为4,

41

所以点P(a,b)在平面直角坐标系中第二象限内的概率=方=《.

故答案为—♦

14、3

【解析】

试题解析:：•••抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3,

b2

-----=-3,即b2=12a,

4a

•一元二次方程ax2+bx+m=l有实数根，

△=b2-4am>l,即12a-4amNLBP12-4m>L解得mS3,

••.m的最大值为3,

15、-a5

【解析】

根据塞的乘方和积的乘方运算法则计算即可.

【详解】

解：(-a)3»a2=-a3»a2=-a3+2=-a5.

故答案为：-al

【点睛】

本题考查了事的乘方和积的乘方运算.

16、甲.

【解析】

试题分析：根据方差的意义可知，方差越小，稳定性越好，由此即可求出答案.

试题解析：因为甲的方差小于乙的方差，甲的稳定性好，所以甲机床的性能好.

故答案为甲.

考点：1.方差；2.算术平均数.

17、4-7T

【解析】

由题意可以假设A(-m,m),贝!|-m2=-4,求出点A坐标即可解决问题.

【详解】

由题意可以假设A(-m,m),

则加2=-4,

/.m=^±2,

m=2,

•'•SB=S正方彩-SM=4-7T,

故答案为4-n.

【点睛】

本题考查反比例函数图象上的点的特征、正方形的性质、圆的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)见解析;(2)2加.

【解析】

(1)四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质，可得AB=DE,AB//DE,则四边形ABDE是平行四边形；

⑵因为AD=DE=1,贝!JAD=AB=1,四边形ABCD是菱形，由菱形的性质及解直角三角形可得AO=AB.sinZABO=2,

BO=AB・cosNABO=2b，BD=173,贝！JAE=BD,利用勾股定理可得OE.

【详解】

(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

/.AB/7CD,AB=CD.

VDE=CD,

/.AB=DE.

二四边形ABDE是平行四边形；

(2)VAD=DE=1,

AAD=AB=1.

・"ABCD是菱形，

，AB=BC,AC±BD,BO=-BD,ZABO=-ZABC.

22

又,.•NABC=60°,

:.ZABO=30°.

在R3ABO中，AO=A3sinZABO=2,BO=ABcosAABO=25/3.

•••BD=A6

•.•四边形ABDE是平行四边形，

.♦.AE〃BD,AE=BD=4>/3.

XVAC±BD,

.♦.ACJLAE.

在RtAAOE中，OE=《AE。+AO?=2岳.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质及判断，考查菱形的判断及性质，及解直角三角形，解题关键在于掌握判定定理和利用三

角函数进行计算.

19、（I）28.（II）平均数是1.52.众数为1.8.中位数为1.5.（皿）200只.

【解析】

分析：（I）用整体1减去所有已知的百分比即可求出m的值；

（n>根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；

（in）用总数乘以样本中2.0kg的鸡所占的比例即可得解.

解：（I）m%=L22%-10%-8%-32%=28%.故m=28；

（D）观察条形统计图，

_1.0x5+1.2x11+1.5x14+1.8x16+2.0x4…

.x=---------------------------------------------------=1.52,

5+11+14+16+4

•••这组数据的平均数是L52.

•••在这组数据中，1.8出现了16次，出现的次数最多，

•••这组数据的众数为1.8.

•••将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.5,有I*.J,

这组数据的中位数为1.5.

(HI)•.•在所抽取的样本中，质量为2。3的数量占8%.

...由样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0版的数量约占8%.

有2500x8%=200.

.,.这2500只鸡中，质量为2.0依的约有200只.

点睛：此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识.找中位数要把数据按从小到

大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数

可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.

20、(1)商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元；(2)y=-10x2+100x+2000,当x=5

时，商场获取最大利润为2250元.

【解析】

(1)根据“总利润=每件的利润x每天的销量”列方程求解可得；

(2)利用(1)中的相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得.

【详解】

解：⑴依题意得：(100-80-x)(100+10X)=2160,

即x2-10x+16=0,

解得：xi=2,X2=8,

经检验：xi=2,X2=8,

答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元；

(2)依题意得：y=(100-80-x)(100+1Ox)

=-10x2+100x+2000

=-10(x-5)2+2250,

,:-10<0,

...当x=5时，y取得最大值为2250元.

答：y=-10x2+100x+2000,当x=5时，商场获取最大利润为2250元.

【点睛】

本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解题关键是由题意确定题目蕴含的相等关系，并据此列出方程或函

数解析式.

21、(1)见解析；(2)走一,不

26

【解析】

(1)连接OD、CD,如图，利用圆周角定理得到NBDC=90。,再判定AC为。O的切线，则根据切线长定理得到FD=FC,

然后证明N3=NA得到FD=FA,从而有FC=FA；

(2)在RtAACB中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=Y3AC=2,再证明△OBD为等边三角形得到

3

ZBOD=60°,接着根据切线的性质得到OD_LEF,从而可计算出DE的长，然后根据扇形的面积公式，利用S颐部分

=SAODE-S扇形BOD进行计算即可.

【详解】

(1)证明：连接OD、CD,如图，

VBC为直径，

；・ZBDC=90°,

VZACB=90°,

JAC为。O的切线，

・・・EF为。。的切线，

AFD=FC,

AZ1=Z2,

VZ1+ZA=9O°,Z2+Z3=90°,

:.N3=NA,

AFD=FA,

AFC=FA,

J点F是AC中点；

(2)解：在RSACB中，AC=2AF=2G,

而NA=30°,

/.ZCBA=60°,BC=—AC=2,

3

VOB=OD,

/.△OBD为等边三角形,

/.ZBOD=60o,

VEF为切线，

.♦.ODJLEF,

在RtAODE中，DE=gOD=6

•阴影部分=3qAODE-qs扇彩BOD=7I"XIX/a---6--0--N----T---=■--I7T.

236026

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得

出垂直关系.简记作：见切点，连半径，见垂直.也考查了圆周角定理和扇形的面积公式.

22、(1)1(2)10%.

【解析】

试题分析：(1)设每张门票的原定票价为X元，则