2.5有理数的加法与减法（九大题型）（原卷版）

（苏科版）七年级上册数学《第2章有理数》2.5有理数的加法与减法知识点一知识点一有理数的加法法则◆有理数的加法法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.3.互为相反数的两个数相加得0．4.一个数与0相加，仍得这个数．【注意】在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．知识点二知识点二有理数的加法运算律◆1、有理数的加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．即a+b=b+a.◆2、有理数的加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．用字母表示为：(a+b)+c=a+(b+c).知识点三知识点三有理数的减法◆1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.用字母表示为：◆2、方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律.减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．知识点四知识点四有理数的加减混合运算◆有理数的加减混合运算引入相反数后，有理数的加减混合运算统一成加法运算.即：a+b+(﹣c)◆2、方法指引：①②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．题型一有理数的加法题型一有理数的加法【例题1】（2023•珠晖区校级模拟）如图，数轴上A、B两点所表示的数之和为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4解题技巧提炼有理数加法运算的步骤：1.先判断类型（同号、异号等）；2.再确定和的符号；3.最后进行绝对值的加减运算.【变式1-1】下列运算中正确的是（）A．8+[14+（﹣9）]＝15 B．（﹣2.5）+[5+（﹣2.5）]＝5 C．[312+（﹣312）]+（﹣2）＝﹣2 D．3.14+[（﹣8）【变式1-2】（2023•绥江县二模）若a和b互为相反数，则a+b+3的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【变式1-3】（2023•遵化市二模）气温由﹣4℃上升了5℃时的气温是（）A．﹣1℃ B．1℃ C．﹣9℃ D．9℃【变式1-4】若a＞0，b＜0，|a|＞|b|，则a+b0（用“＞”或“＜”填空）．【变式1-5】（2022秋•宁津县校级月考）计算：（1）15+（﹣22）；（2）（﹣13）+（﹣8）；（3）（﹣0.9）+1.5；（4）12【变式1-6】（2023春•南岗区校级月考）计算：（1）（﹣0.9）+1.5；（2）12（3）1+(-1（4）31题型二有理数的减法题型二有理数的减法【例题2】比0小4的数是，比3小4的数是，比﹣5小﹣2的数是．解题技巧提炼有理数的减法法则是一个转化法则，减号转化为加号，同时要注意减数变为它的相反数，这样就可以用加法法则来解决减法问题.【变式2-1】（2022•呼和浩特）计算﹣4﹣2的结果是（）A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6【变式2-1】下列计算错误的是（）A．﹣2﹣（﹣2）＝0 B．﹣3﹣4﹣5＝﹣12 C．﹣7﹣（﹣3）＝﹣10 D．3﹣15＝﹣12【变式2-3】（2022秋•焦作期末）矿井下A，B，C三处的高度分别是﹣37m，﹣129m，﹣71.3m，那么最高处比最低处高m．【变式2-4】（2022秋•建水县校级月考）某矿井下A，B，C三处的海拔高度分别为﹣35.6米，﹣122.7米，﹣67.8米．（1）求A处比C处高多少米？（2）求B处比C处高出多少米？【变式2-5】（2022•南京模拟）计算下列各题：（1）(-13)-(+23)；（（3）8.3﹣（﹣2.7）；（4）|-7.5|-|-1（5）(-12)-(-113)；（6）|—1题型三题型三有理数的加减混合运算【例题3】（2023•张家口模拟）下面算式与51A．312-(-213C．212+(-21解题技巧提炼有理数加减混合运算的步骤：（1）将减法转化为加法运算；（2）省略加号和括号；（3）运用加法交换律和结合律，将同号的数分别相加；（4）按有理数加法法则计算．【变式3-1】（﹣2）+（﹣7）﹣（﹣5）﹣（﹣6）写成省略括号的和的形式是；读作或读作．【变式3-2】（2022秋•德惠市期中）列式并计算：（1）求423与-（2）求﹣15的绝对值与12的相反数的和．【变式3-3】已知A＝﹣315-217-44（1）计算A，B的值；（2）将A，B两数表示在如图所示的数轴上，并求A，B两点间的距离．【变式3-4】计算：（1）|﹣3.2|+|0.5|﹣|1+215（2）0﹣（+2）﹣（﹣1）+（+4）﹣（﹣5）（3）（﹣479）﹣（﹣316）﹣（+229）+（﹣（4）（﹣3.125）+（+4.75）+（﹣978）+（+514）+（﹣4【变式3-5】（2022秋•阳谷县月考）计算：（1）（﹣5）+（﹣7）﹣（+13）﹣（﹣19）；（2）7﹣（﹣3）+（﹣5）﹣|﹣8|；（3）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13；（4）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6）；（5）﹣30﹣11﹣（﹣10）+（﹣12）+18；（6）|﹣738+412|+（﹣1814）+|﹣题型四题型四运用加法运算律进行简便计算【例题4】下列各式中，运用加法交换律和加法结合律正确的是（）A．23+（﹣1）+（+13）＝[23B．14+（﹣2）+（-34）＝（14+C．（﹣6）+2+9＝[（﹣9）+2]+6 D．（﹣5）+7+（﹣8）＝[（﹣5）+（﹣8）]+7解题技巧提炼1.一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加；2.有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整；3.有分母相同的分数时，可先把分母相同的分数结合.【变式4-1】6﹣2+5﹣8+12＝（6+5+12）+（﹣2﹣8）是应用了（）A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法的交换律与结合律【变式4-2】计算：1+（﹣2）+（+3）+（﹣4）+（+5）+（﹣6）+…+（+99）+（﹣100）+（+101）的结果是（）A．0 B．﹣1 C．﹣50 D．51【变式4-3】数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算：-55解：原式=[(-5)+(-=[(-5)+(-9)+(-3)+17]+[(-5＝0+（﹣114＝﹣114上述这种方法叫做拆项法．请仿照上面的方式计算：(-20212【变式4-4】利用有理数的加法运算律计算，使运算简便．（1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433）；（2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5．【变式4-5】利用有理数的加法运算律计算，使运算简便．（1）（+9）+（﹣7）+（+10）+（﹣3）+（﹣9）；（2）45+（-57）题型五题型五有理数加减法与数轴的综合【例题5】已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且a+b＜0，有以下结论：①b＜0；②a﹣b＜0；③b＜﹣a＜a＜﹣b；④|a|＜|b|，其中结论正确的有（填序号）．解题技巧提炼用有理数的减法可以表示数轴上两点之间的距离，若A、B两点在数轴上分别表示a、b，则AB两点间距离公式：AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|，即在数轴上任意两点之间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值.【变式5-1】有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0 B．b＞1 C．a﹣b＞0 D．|a|＞|b|【变式5-2】（2022秋•鼓楼区校级期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应点分别为A，B，C，点A，B在数轴上的位置如图所示．若|b|＝5，AC＝2，则a+b﹣c的值为．【变式5-3】（2022秋•广陵区校级月考）有理数a、b在数轴上如图．（1）在数轴上表示﹣a、﹣b；（2）用＞、＝或＜填空：|a|a，|b|b；（3）化简，||a|﹣|b||．【变式5-4】如图，数轴上的点A，O，B，C，D分别表示﹣3，0，2.5，5，﹣6，回答下列问题．（1）O，B两点间的距离是．（2）A，D两点间的距离是．（3）C，B两点间的距离是．（4）请观察思考，若点A表示数m，且m＜0，点B表示数n，且n＞0，那么用含m，n的代数式表示A，B两点间的距离是．（5）若M点表示数x，N表示数y，则M、N两点间的距离为．（若A、B两点在数轴上分别表示a、b，则AB两点间距离公式：AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|）题型六题型六有理数加减法与相反数、绝对值的综合【例题6】已知|a﹣1|＝3，|b|＝5，且|a﹣b|＝|a|+|b|，求a+b和a﹣b的值．解题技巧提炼1、利用相反数的意义：互为相反数的两个数的和为0；2、利用绝对值的非负性：几个非负数的和为0，每个非负数都要为0.3、利用有理数的加法运算法则：异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符号，再让较大的绝对值减去较小的绝对值．【变式6-1】若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是绝对值最小的数，w是相反数等于它本身的数，则x﹣z+y﹣w的值是．【变式6-2】已知a﹣b＝5且a＞4，b＜6，求|a﹣4|+|b﹣6|﹣5的值．【变式6-3】（2022秋•武侯区校级月考）已知|a|＝5，|b|＝7．（1）若a＞0，求|a﹣b|的值；（2）若|a﹣b|＝﹘（a﹣b），求a+b．【变式6-4】若a、b、c是有理数，|a|＝3，|b|＝10，|c|＝8，且a，b同号，b，c异号，求a﹣b﹣（﹣c）的值．【变式6-5】（2022秋•沙坪坝区校级月考）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；|12-（1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：①|7﹣21|＝；②|717-7（2）当a＞b时，|a﹣b|＝；当a＜b时，|a﹣b|＝；（3）计算：|1题型七题型七有理数加减混合运算在实际生活中的应用【例题7】（2022秋•高碑店市期末）粮库6天内粮食进、出库的吨数记录如下表（“+”表示进库，“﹣”表示出库）：时间第一天第二天第三天第四天第五天第六天进、出库数量（吨）+25+8﹣12+34﹣3622（1）在这6天中，进库或出库的粮食数量最多的是吨；（2）经过这6天，粮库里的粮食是增多还是减少了？请通过计算说明；（3）经过这6天，仓库管理员结算时发现库里还存有480吨粮食，那么6天前库里存粮多少吨？解题技巧提炼用有理数的加减混合运算求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题，常见的实际问题有距离问题、高度问题、温差问题等.【变式7-1】某工厂一周计划每天生产电动车80辆，由于工人实行轮休，每天上班人数不同，实际每天生产量与计划量相比情况如表（增加的为正数，减少的为负数）：日期一二三四五六日增减数/辆+4﹣1+2﹣2+6﹣3﹣5（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆电动车？（2）本周总生产量是多少辆？比原计划增加了还是减少了？增加或减少多少辆？【变式7-2】（2022秋•成华区校级期中）如表记录的是大沽河一周内的水位变化情况，上周末（上个星期日）的水位已达到15米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．星期一二三四五六日水位变化（米）+0.2+0.8﹣0.4+0.2+0.3﹣0.5﹣0.2（1）本周内，星期的水位最高，星期的水位最低，最高水位比最低水位高米．（2）与上周末相比，本周末河流的水位是上升了还是下降了？变化了多少？（要求写出求解过程）（3）气象局预报，即将迎来大降雨天气，工作人员预测水位将会以每小时0.08米的速度上升，当水位达到16.6米时，就要开闸泄洪，请你计算下，再经过几个小时工作人员就需要开闸泄洪？【变式7-3】出租车司机小田某天营运的路线在锦江大道上东西走向进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天的行程如下（单位：千米）+15，﹣3，﹣11，+10，﹣12，﹣15，+16（1）他将最后一位乘客送到目的地时，小田离出车地点是多少千米？（2）这一天汽车的总行程是多少千米（3）若汽车耗油量为每千米0.3升，这一天汽车共耗油多少升？【变式7-4】（2022秋•商河县校级期末）．出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”，他这天下午行车情况如下：（单位：千米）﹣2，+5，﹣8，﹣3，+6，﹣6．（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？（2）若出租车每公里耗油0.3升，求小王回到出发地共耗油多少升？（3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米（不足1千米按1千米计算）还需收4元钱，小王今天是收入是多少元？题型八题型八有理数加减法的程序计算题【例题8】按如图所示的程序分别输入﹣1进行计算，请写出输出结果（）A．2 B．3 C．4 D．5解题技巧提炼利用有理数的加减混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可．【变式8-1】按图中计算程序计算，若开始输入的值为﹣2，则最后输出的结果是．【变式8-2】按图中程序运算，如果输出的结果为4，则输入的数据不可能是（）A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2【变式8-3】（2022秋•洪泽区校级月考）在图中输入﹣1，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），并写出输出的结果（）A．1 B．2 C．3 D．4