量子力学课件

第七章自旋与全同粒子

我们已经知道，从薛定谔方程出发可以解释许多微观现象，例如计算谐振子和氢原子的能级从而得出它们的谱线频率，计算原子对光的吸收和发射系数等。计算结果在相当精确的范围内与实验符合。但是这个理论还有较大的局限性。首先，薛定谔方程没有把自旋包含进去，因而用前面的理论还不能解释牵涉到自旋的微观现象，如塞曼效应等。此外，对于多粒子体系（原子、分子、原子核、固体等等），前面的理论也不能处理。

量子力学2、原子光谱的精细结构

§7.1电子的自旋

一、提出电子自旋的依据1、反常塞曼效应3、施特恩—格拉赫实验（1922年）

s态氢原子束通过不均匀磁场后，分离成朝相反方向的两束。如图：量子力学量子力学结论：除具有轨道角动量外，电子还应具有自旋角动量。自旋是一种相对论量子效应，无经典对应。

针对以上难以解释的实验现象，1925年乌仑贝克和哥德斯密脱提出假设：二、电子自旋的假设(2)每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量的关系是(1)每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：量子力学轨道运动的回转磁比率

电子自旋磁矩和自旋角动量之比是这个比值称为电子自旋的回转磁比率。

在空间任意方向上的投影只能取两个数值：因而自旋回转磁比率等于轨道运动回转磁比率的两倍。量子力学§7.2电子自旋算符和自旋函数

电子具有自旋角动量这一特性纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。电子的自旋是相对论效应，严格处理应当用Dirac方程，我们这里，在非相对论量子力学中是作唯象处理。一、自旋角动量算符1.自旋角动量满足的对易关系量子力学2.

量子力学二、泡利算符（1）定义：

(2)性质(A)对易关系量子力学(B)本征值(C)反对易关系证明:量子力学3、矩阵表示（1）泡利矩阵上面我们引入了自旋算符，并讨论了它的代数，在适当表象中，可以将它们表示成矩阵。习惯上选取SZ表象（即σZ表象）。算符在自身表象中的矩阵是对角矩阵，对角元素即算符的本征值。量子力学令由量子力学为厄米矩阵：而即量子力学习惯上取α=0,于是得到：量子力学再由对易关系式

量子力学得到的泡利矩阵是泡利矩阵自旋算符量子力学将上式与轨道角动量平方算符的本征值比较，可知s与角量子数相当，我们称s为自旋量子数。但这里s只能取一个数值，即s=1/2.(2)电子自旋角量子数s=1/2S2算符的本征值是把它记作:量子力学三、电子自旋态的表示方法

1.

考虑了电子的自旋，电子的波函数由于只能取两个数值。所以上式实际上上可以写为两个分量2.我们可以把这两个分量排成一个二行一列的矩阵量子力学3.波函数归一化

若已知电子的自旋电子自旋量子力学4.物理意义（玻恩统计解释）量子力学算符在态中，对自旋和轨道求平均的结果是算符在态中，只对自旋求平均的期望值是5、力学量的期望值包括自旋在内的一般的算符应为量子力学在有些情况下，不含自旋或为空间部分和自旋部分之和，的本征函数可分离变量求解。6、自旋与轨道运动无耦合情况一般电子的自旋与轨道运动互相有影响，若自旋与轨道的相互影响可以忽略时，或者量子力学练习：证明：量子力学§7.3简单塞曼效应

1896年塞曼（P.Zeeman）发现：置于强磁场中的原子（光源）发出的每条光谱线都分裂为三条，间隔相同。为此获1902年诺贝尔物理奖。因为不必引入自旋，所以洛仑兹很快作出了经典电磁学解释。称为正常塞曼效应。无外磁场

加强磁场正常塞曼效应

量子力学一、强磁场中的正常塞曼效应类氢（或碱金属）原子：量子力学无磁场时能量本征方程为：

也是的本征函数。在强磁场中，因为外磁场很强，可以略去自旋轨道耦合。波函数中自旋和空间部分可以分离变量。哈密顿量H的本征态可选为守恒量完全集（H,L2,Lz,Sz)的共同本征态。有磁场时能量本征值为：量子力学当时，当时，

讨论：（1）跃迁规则：量子力学（2）每条光谱线都分裂为三条，间隔相同Larmor频率：

（3）不引入自旋也可解释正常塞曼效应。虽然能级，但对譜线分裂无影响。量子力学钠黄线的正常塞曼分裂加强磁场589.3nm3p3s未加磁场ms=–1/2ms=+1/210-101-1量子力学

1897年普雷斯顿（T.Preston）发现：当磁场较弱时，谱线分裂的数目可以不是三条，间隔也不尽相同。在量子力学和电子自旋概念建立之前，一直不能解释。称为反常塞曼效应（复杂塞曼效应）。它可以用电子自旋与轨道相互作用来得到解释.二、弱磁场中的反常塞曼效应量子力学§7.4两个角动量的耦合一、角动量理论的普遍结果(这里只给出结果)1.角动量的定义：简记为:满足上述对易关系的矢量算符，称为角动量算符。引入则有2、的本征值量子力学（j取定后，m有2j+1个取值）例：轨道角动量例：电子的自旋角动量量子力学以表示体系的两个角动量算符，它们满足角动量的定义的一般对易关系：

和是相互独立的，因而的分量和的分量都是可对易的：二、两个角动量之和以表示与之和：量子力学称为体系的总角动量，它满足角动量的一般对易关系：此外，还有一些其他的对易关系也很容易证明：或者这些对易关系必需证明,也很容易证明量子力学二、无耦合表象与耦合表象以表示和的共同本征矢：以表示和的共同本征矢：因为相互对易，所以它们的共同本征矢：量子力学组成正交归一的完全系。以这些本征矢作为基矢的表象称为无耦合表象，在这个表象中，都是对角矩阵。另一方面算符也是相互对易的，所以它们有共同本征矢,j和m表示和的对应本征值依次为和:组成正交归一完全系，以它们为基矢的表象称为耦合表象。

概括起来讲如下：量子力学1、无耦合表象基底：

维数：封闭关系：

只对作用，

只对作用。量子力学2、耦合表象基底：

不能区分角动量1和2了！

封闭关系：

量子力学3、无偶合表象基底与偶合表象基底的变换

对于确定的j1和j2,在维子空间，上式中称为矢量耦合系数或克来布希—高登（Clebsch—Gordon）系数表象变换矩阵元，不改变维数：量子力学三.C-G系数的性质证明：1.证明由展开式:用算符分别作用于上面展开式的两边，得到再利用上面展开式代入上式左边得到量子力学经过移项，于是有由于作为基矢是线性无关的，因此仅当时才有或者在C－G系数中必有所以上面的展开式可以写成于是有：量子力学2.再证明量子力学3.最后证明因此，的取值系列为：等差数列求和耦合表象基与无耦合表象基矢数目相等量子力学对于确定的和，总角量子数的取值系列为

例如，电子的轨道和自旋的总角动量

当当称为角量子数条件。量子力学四.C—G系数的计算C－G系数计算较复杂，一般要利用群论方法。不过，事实上已制成表，可供查阅。我们的书中已经给出了一个小的表（P211）表格的内容是：两个角动量，其中一个是电子的自旋即：由上面讨论可知，

量子力学§7.5光谱的精细结构用精度高的光谱仪，可观察到光谱的精细结构。光谱的精细结构和反常塞曼效应可由轨道角动量和自旋角动量的耦合作用来解释。我们以氢原子或类氢离子为例来说明光谱的精细结构。一、类氢离子的H其中此项可以由Dirac方程导出,现在可以认为是唯象引入量子力学下面我们来研究能级，当然用微扰论方法来求解。二、H0的本征函数类氢离子的本征值本征函数是已知的。由于电子具有自旋运动，要完全描述电子运动要引入自旋力学量量子数。1、以为力学量完全集力学量完全集中本应包含，但，是常数算符，任意函数都是它的本征函数，因此力学量完全集中就不必再列入它了。量子力学其共同本征函数（无耦合表象）为量子力学2、以为力学量完全集（耦合表象）同理略去算符其中总角动量算符：其共同本征函数记作它们可以用无耦合表象基矢表示出来（利用C－G系数）量子力学三、微扰论方法求H的本征值和本征函数H0的本征值是2n2度简并（考虑到自旋）简并微扰方法中，无微扰H0的本征函数现在可以有两种选法：或是无耦合表象的，或是耦合表象的。下面来讨论选用耦合表象更为方便。1、表象的选取（1）ml和ms不是好量子数（不是守恒力学量对应的量子数）量子力学量子力学(3)耦合表象的基矢是本征函数综上所述，在用微扰论方法求解能级时选用耦合表象将比较方便。2.微扰论求能级和波函数(简并微扰论)量子力学量子力学得到一级近似方程有非零解的条件是系数行列式为零，得久期方程:此对角矩阵的行列式为零，于是得到解为量子力学一级近似下能级为量子力学四.碱金属上面讨论的结果很容易推广到碱金属原子作如下对应变换即得到量子力学量子力学钠原子3P项的精细结构和复杂塞曼效应量子力学§7.6全同粒子体系的特性一、多粒子体系的描写假设我们有个粒子组成的体系，那么体系的波函数应该和所有粒子的坐标以及时间有关：

其中“坐标”包括粒子的空间坐标和自旋量子数。体系的Hamiltonian是：

U(q)是粒子在外场中的势,W是两个粒子间的相互作用能.量子力学二、全同粒子的不可区分性1、全同粒子；质量、电荷、自旋等内在性质完全相同的粒子。

2、全同粒子体系：电子系、质子系、中子系、光子系、电子气、中子星等等。显然，对于全同粒子体系，哈密顿中的都相同，也都有相同的组成，但是在量子力学中，全同粒子体系与非全同粒子体系有更多的区别。

在经典力学中，即使两个粒子是全同的，它们也仍然是可区别的，因为它们各自有自己的轨道。但是在量子力学中，粒子的状态用波函数描写，当两个粒子的波函数在空间中发生重叠的时候，我们无法区分哪个是“第一个”粒子，哪个是“第二个”粒子。所以，在量子理论中有“全同粒子不可区别性原理”：3.全同性原理:当一个全同粒子体系中两个粒子交换不改变体系的状态。量子力学三、波函数的交换对称性和粒子的统计性

对全同粒子体系的波函数引入交换算符，它的作用是把波函数中的第i个粒子和第j个粒子的坐标交换位置：

那么全同性原理告诉我们：这样交换以后的状态与原来的状态是不可区别的，所以，按照量子力学的基本原理

而所以解得，也就是说，量子力学若，则称为交换对称波函数，

若，则称为交换反对称波函数。

交换对称性或反对称性是全同粒子体系波函数的特殊的固有的性质，因此也是(微观)粒子的特殊的、固有的性质。它决定了粒子所服从的统计。也就是说，描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。这一点可以从全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换下不变的这点出发,很易得到证明.全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换不变的量子力学设t时刻波函数是对称的：到t+dt时刻,所以，若在t

时刻是对称的，则仍保持为对称。同样可以证明全同粒子体系的反对称波函数的反对称性不随时间改变.因为量子力学玻色子:

自旋为整数的粒子称为玻色子，描述全同玻色子体系的波函数是交换对称的，全同玻色子体系服从Bose-Einstein统计。例如光子（自旋为1）、介子(自旋为0）。费米子:

自旋为半整数的粒子称为费米子，描述全同费米子体系的波函数是交换反对称的，全同费米子体系服从Fermi-Dirac统计。例如电子、质子、中子（自旋都是1/2）。量子力学§7.7全同粒子体系的波

函数泡利原理一、两个全同粒子体系下面主要讨论无相互作用的全同粒子体系的波函数。当然外场是存在的。研究此问题的重要性在于，此种情况的结果可以作为考虑粒子间相互作用问题的零级近似。用微扰方法来求相互作用问题。1、体系H的本征函数H0称为单粒子哈密顿φj称为单粒子波函数量子力学可以证明下面两个函数是H的属于能级E的本征函数证明：同样可以证明第二式.2、交换简并(7.7-2)式表示的两个不同的波函数属于同一个能级,这两个波函数的不同仅仅是两个粒子作了交换.这种简并称为交换简并.量子力学对称波函数：由于交换简并的存在，可以将上面两个波函数重新线性组合成新的对称的波函数，而且它们仍属于同一个能级。应当注意：由全同性原理可知，这两个波函数尽管是不同的波函数，但描述了同一个量子态。3、对称化波函数，泡利原理根据全同性原理，描述全同粒子体系的波函数必须是对称化的。由于交换简并的存在，我们可以用线性组合来构造对称化的波函数：对称波函数用于描述全同玻色子体系.量子力学反对称波函数：若时，因此，两个全同Fermi子不能处于同一个单粒子态。(此即泡利原理)1、体系的H和波函数反对称波函数用于描述全同费米子体系H0称为单粒子哈密顿φj称为单粒子波函数二、N个粒子体系量子力学H的本征值和本征函数可以用单粒子哈密顿算符的本征值和本征函数表示：其中注：交换简并显然存在：粒子交换只不过是中填入不同的排列，它们仍是H的属于E的本征函数。此结果的证明与两个粒子的情况一样2、对称化波函数与泡利原理描述全同粒子体系的波函数必须是对称化的波函数。交换简并的存在使我们有可能把波函数进行线性组合。量子力学（1）费米子体系的反对称波函数1)由行列式性质可知，展开式共有N！项，每一项均为中填入的各种不同排列，一半项系数为正，一半系数为负。因为每一项均是H的属于E的本征函数.ⅱ）反对称性任意两粒子交换相当于行列式中两列交换，行列式值改变一个负号。量子力学iii）归一化展开式的N！项每项都是归一化的，而且互相正交的（因为不同单粒子态正交）因此归一化系数为。iv)泡利不相容原理

如果N个单粒子态中有两个单粒子态相同，则（7.7-8）行列式中有两行相同，因而行列式等于零。这表示不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态。这个结果称为泡利不相容原理(2)玻色子系的对称波函数量子力学（7.7-7）式中P表示N各粒子在波函数中的某一种排列，表示对所有可能的排列求和.i)同费米子的情况（共N！项之和，每项都是H的属于E的本征函数）ⅱ）对称性共N！项之和，每项是中填入的各种不同的排列，各种排列都在求和之中，所以两粒子交换只不过是求和中的两项交换。iii)C是归一化常数。量子力学三、不考虑自旋轨道耦合的情况可分离变量

对于两个费米子体系的情况，只有如下两种形式：其中量子力学§7.8两个电子的自旋函数

两个电子系统是很重要的，氦原子，氢原子都是两个电子的系统。另外它是多粒子系的最简单情况，因此理论上也很重要。一、两电子的自旋波函数（不计自旋―自旋相互作用）1、自旋波函数两个电子系统的自旋态:这四个自旋波函数事实上是所谓的无耦合表象的波函数。第(1)，第(4)两个波函数是交换对称的波函数，第(2)，第(3)两个波函数既非对称又非反对称，需要将其对称化。量子力学可以证明，上面四个波函数是正交归一的见习题。量子力学二、自旋单态与三重态上面我们从全同粒子波函数的对称性角度来考虑，构造了四个对称化的自旋波函数，下面我们从两个角动量的耦合角度来考察这个问题。1、两电子体系总自旋角动量算符量子力学量子力学利用上述运算结果可以得到（证明在后）量子力学证明第二式（各粒子的自旋算符只对各自的自旋波函数作用）量子力学再有同样方法可以证明其余各式。量子力学3、单态和三重态回顾两个角动量耦合量子力学量子力学量子力学一、哈密顿算符§7.9氦原子（微扰法）二.微扰法求解其中单粒子态是类氢离子的波函数量子力学1.基态基态能量的一修正为基态一定是自旋单态量子力学一级近似下能级变分法结果实验得到值比较可见，变分法结果较好，原因是尝试波函数寻找得好，而微扰法中微扰H’与H0相比不是足够的小。量子力学2.激发态，先来说明可以令，因为一般地说，氦原子的激发态总是一个电子处于基态，另一个电子处于激发态,即所谓的低激发态。因为要使两个电子都处于激发态的激发能远大于使一个电子电离的能量，所以，事实上几乎是不可能的。量子力学综上所述，属于能级的零级近似波函数有四个（四度简并）它们是微扰矩阵元：量子力学由于微扰与自旋无关，以及的正交性所