中档题型训练 公开课教学设计

中档题型训练(一)数与式的运算与求值复习内容：实数的运算、整式与分式的化简与求值重点：掌握实数的各种运算；在整式化简时要灵活运用乘法公式及运算律；在分式的化简时要灵活运用因式分解知识．难点：混合运算中的符号与运算顺序；用整体思想和各种解题技巧解决分式的化简求值．一、实数的运算1．计算：|－eq\r(3)|＋eq\r(2)sin45°＋tan60°－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))eq\s\up12(－1)－eq\r(12)＋(π－3)0.解：原式＝eq\r(3)＋eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\r(3)－(－3)－2eq\r(3)＋1＝eq\r(3)＋1＋eq\r(3)＋3－2eq\r(3)＋1＝5.2．(－1)2016＋2sin60°－|eq\r(3)|＋π0.解：原式＝1＋eq\r(3)－eq\r(3)＋1＝2.3．eq\r(3,8)－(3－π)0－|－3＋2|.解：原式＝2－1－1＝0.二、整式的运算与求法4．先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝－1，y＝eq\f(\r(3),3).原式＝x2－y2－2x2＋4y2＝－x2＋3y2，当x＝－1，y＝eq\f(\r(3),3)时，原式＝－1＋1＝0.5．先化简(a＋1)(a－1)＋a(1－a)－a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系？(不必说明理由)解：原式＝a2－1＋a－a2－a＝－1，∴该代数式的值与a的取值范围无关．三、分式的化简求值6．已知x2－4x＋1＝0，求eq\f(2（x－1）,x－4)－eq\f(x＋6,x)的值．解：原式＝eq\f(2x（x－1）－（x－4）（x＋6）,x（x－4）)＝eq\f(x2－4x＋24,x2－4x)，∵x2－4x＋1＝0，∴x2－4x＝－1.原式＝eq\f(－1＋24,－1)＝－23.7．先化简代数式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a,a－2)－\f(a,a＋2)))÷eq\f(a,a2－4)，再从0，1，2三个数中选择合适的数作为a的值代入求值．解：原式＝eq\f(3a（a＋2）－a（a－2）,（a＋2）（a－2）)·eq\f(（a＋2）（a－2）,a)＝eq\f(2a2＋8a,（a＋2）（a－2）)·eq\f(（a＋2）（a－2）,a)＝eq\f(2a（a＋4）,a)＝2a＋8.当a＝1时，2a＋8＝10.8．(eq\f(x,x2＋x)－1)÷eq\f(x2－1,x2＋2x＋1)，其中x的值从不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x≤1，,2x－1<4))的整数解中选取．解：原式＝eq\f(－x2,x（x＋1）)÷eq\f(（x＋1）（x－1）,（x＋1）2)＝eq\f(－x,x＋1)·eq\f(x＋1,x－1)＝eq\f(－x,x－1)，解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x≤1，,2x－1<4))得－1≤x<eq\f(5,2)，∴不等式组的整数解为－1，0，1，2，若使分式有意义，只能取x＝2，∴原式＝－eq\f(2,2－1)＝－2.作业1：1．解：原式=2+eq\r(3)-2=eq\r(3)2．|2－eq\r(3)|＋2sin60°＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)－(eq\r(2016))0.解：原式＝2－eq\r(3)＋eq\r(3)＋2－1＝3.3．(eq\f(1,2))－2－|－1＋eq\r(3)|＋2sin60°＋(1－eq\r(3))0.解：原式＝22－(eq\r(3)－1)＋2×eq\f(\r(3),2)＋1＝4－eq\r(3)＋1＋eq\r(3)＋1＝6.4．已知多项式A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3.(1)化简多项式A；(2)若(x＋1)2＝6，求A的值．解：(1)A＝x2＋4x＋4＋2－2x＋x－x2－3＝3x＋3；(2)(x＋1)2＝6，则x＋1＝±eq\r(6)，∴A＝3x＋3＝3(x＋1)＝±3eq\r(6).5．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,x)))÷eq\f(x2－4x＋4,x2－4)－eq\f(x＋4,x＋2)，其中x2＋2x－15＝0.解：原式＝eq\f(x－2,x)÷eq\f(（x－2）2,（x＋2）（x－2）)－eq\f(x＋4,x＋2)＝eq\f(x－2,x)·eq\f(（x＋2）（x－2）,（x－2）2)－eq\f(x＋4,x＋2)＝eq\f(x＋2,x)－eq\f(x＋4,x＋2)＝eq\f(4,x2＋2x)，∵x2＋2x－15＝0，∴x2＋2x＝15，∴原式＝eq\f(4,15).6．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－2)))÷eq\f(x2－2x＋1,x－2)，其中x＝4－tan45°.解：原式＝eq\f(x－1,x－2)·eq\f(x－2,（x－1）2)＝eq\f(1,x－1).当x＝4－tan45°＝3时，原式＝eq\f(1,3－1)＝eq\f(1,2).7．(eq\f(5x＋3y,x2－y2)＋eq\f(2x,y2－x2))÷eq\f(1,x2y－xy2)，其中x＝eq\r(3)＋eq\r(2)，y＝eq\r(3)－eq\r(2).解：原式＝eq\f(5x＋3y－2x,x2－y2)×(x2y－xy2)＝eq\f(3（x＋y）,（x＋y）·（x－y）)×xy(x－y)＝3xy.把x＝eq\r(3)＋eq\r(2)，y＝eq\r(3)－eq\r(2)代入，原式＝3(eq\r(3)＋eq\r(2))(eq\r(3)－eq\r(2))＝3.8．已知实数a满足a2＋2a－15＝0，求eq\f(1,a＋1)－eq\f(a＋2,a2－1)÷eq\f(（a＋1）（a＋2）,a2－2a＋1)的值．解：原式＝eq\f(1,a＋1)－eq\f(a＋2,（a＋1）（a－1）)·eq\f(（a－1）2,（a＋1）（a＋2）)＝eq\f(1,a＋1)－eq\f(a－1,（a＋1）2)＝eq\f(2,（a＋1）2)＝eq\f(2,a2＋2a＋1).∵a2＋2a－15＝0，∴a2＋2a＝15.∴原式＝eq\f(2,15＋1)＝eq\f(1,8).中档题型训练(二)解方程(组)、不等式(组)及其应用题复习内容：方程(组)、不等式(组)的解法以及方程(组)和不等式的应用重点：熟练掌握方程(组)与不等式(组)的解法以及它们的应用，并会检验解答结果的正确与否．难点：不等式(组)的解集及方程(组)、不等式(组)的应用一、方程(组)的解法1．解方程组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2（x－y）,3)－\f(（x＋y）,4)＝－\f(1,12)，,3（x＋y）－2（2x－y）＝3.))解：原方程组整理得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x－11y＝－1，①,－x＋5y＝3.②))由②得x＝5y－3.③将③代入①得25y－15－11y＝－1，14y＝14，y＝1.将y＝1代入③得x＝2.∴原方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))2．解方程：eq\f(x,x－1)－1＝eq\f(3,x2＋x－2).解：去分母，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3，去括号，得x2＋2x－x2－x＋2＝3.解得x＝1，经检验，x＝1是原方程的增根，∴原分式方程无解．二、解不等式(组)3．解不等式组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9x＋5<8x＋7，①,\f(4,3)x＋2>1－\f(2,3)x.②))并写出其整数解．解：解不等式①得x<2.解不等式②得x>－eq\f(1,2).把①、②的解集表示在数轴上，故原不等式组的解集是－eq\f(1,2)<x<2.其整数解是0，1.4．解不等式eq\f(2x－1,3)－eq\f(9x＋2,6)≤1，并把解集表示在数轴上（说明解题根据）．解：去分母，得2(2x－1)－(9x＋2)≤6，去括号，得4x－2－9x－2≤6，移项，得4x－9x≤6＋2＋2，合并同类项，得－5x≤10，系数化为1，得x≥－2，解集在数轴上表示如图：5．已知关于x的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－a≥0，,3－2x>－1))的整数解共有5个，求a的取值范围．解：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－a≥0，,3－2x>－1))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥a，,x<2，))∵不等式组有5个整数解，∴a≤x<2，则知这5个整数解应是－3，－2，－1，0，1，∴a的取值范围是－4<a≤－3.三、方程(组)、不等式(组)的应用6．在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．(1)求每张门票的原定票价；(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．解：(1)设每张门票原定的票价x元，由题意得：eq\f(6000,x)＝eq\f(4800,x－80)，解得x＝400.经检验，x＝400是原方程的解.答：每张门票原定的票价400元；(2)设平均每次降价的百分率为y，由题意得：400(1－y)2＝324,解得y1＝，y2＝(不合题意，舍去).答：平均每次降价10%.7．学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．(1)一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元？(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．解：(1)设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元．依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝26，,3x＋2y＝29.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝7.))所以一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；(2)设购进A型节能灯m只，总费用为w元．依题意得w＝5m＋7(50－m)＝－2m＋350，∵k＝－2<0，∴当m取最大值时w有最小值．又∵m≤3(50－m)，∴m≤.而m为正整数，∴当m＝37时，w最小＝－2×37＋350＝276.此时50－37＝13.所以最省钱的购买方案是购进37只A型节能灯，13只B型节能灯．作业2：1．解方程：eq\f(1,2)x＋2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)x＋1))＝8＋x.解：去括号，得eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)x＋2＝8＋x，移项，得eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)x－x＝8－2，合并同类项，得2x＝6，系数化为1，得x＝3.2．解方程：x2＋2x＝3.解：原方程可化为(x＋1)2＝4，所以x＋1＝±2，所以x1＝－3，x2＝1.3．解方程组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＝1，①,x＋2y＝6.②))解：②－①，得y＝1.把y＝1代入①，得x＝4.∴原方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))4．解方程组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝3，①,3x＋4y＝－1.②))解：①×2＋②得5x＝5，所以x＝1，把x＝1代入①得y＝－1，所以原方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))5．解不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5≤3（x＋2），①,2x－\f(1＋3x,2)<1.②))将不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．解：解不等式①，得x≥－1，解不等式②，得x<3，解集在数轴上表示如图：所以原不等式组的解集是－1≤x<3.所以不等式组的非负整数解有0，1，2.6．已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋2y＝11a＋18，,2x－3y＝12a－8))的解满足x>0，y>0，求实数a的取值范围．解：解方程组得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3a＋2，,y＝－2a＋4.))由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＋2>0，,－2a＋4>0.))解这个不等式组得－eq\f(2,3)<a<2.7．李老师家距学校1900m，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有23min，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20min，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4min.(1)求李老师步行的平均速度；(2)请你判断李老师能否按时上班，并说明理由．解：(1)设李老师步行的平均速度为xm/min，骑电瓶车的平均速度为5xm/min，由题意得eq\f(1900,x)－eq\f(1900,5x)＝20，解得x＝76.经检验，x＝76是原分式方程的解，且符合题意．答：李老师步行的平均速度为76m/min；能．理由：由(1)可知李老师走回家需要的时间为eq\f(1900,2×76)＝(min)，骑电瓶车到学校的时间为eq\f(1900,76×5)＝5(min)，则李老师从发现忘带手机到学校所用的时间为＋5＋4＝(min)，<23.答：李老师能按时上班．8．承德二中一模)如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2?解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm，则矩形猪舍的另一边长为(26－2x)m，依题意，得x(26－2x)＝80，化简，得x2－13x＋40＝0，解这个方程得x1＝5，x2＝8，当x＝5时，26－2x＝16>12(舍去)，当x＝8时，26－2x＝10<12.答：所建矩形猪舍的长为10m，宽为8m.9．“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%.(1)求今年6月份A型车每辆销售价多少元；(用列方程的方法解答)(2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A、B两种型号车的进货和销售价格如表：A型车B型车进货价格(元/辆)11001400销售价格(元/辆)今年的销售价格2400解：(1)设去年A型车每辆x元，那么今年每辆(x＋400)元，根据题意得eq\f(32000,x)＝eq\f(32000（1＋25%）,x＋400)，解之得x＝1600,经检验，x＝1600是方程的解．所以x＋400＝200答：今年A型车每辆2000元．设今年7月份进A型车m辆，则B型车(50－m)辆，获得的总利润为y元，根据题意得50－m≤2m，解之得m≥16eq\f(2,3)，∵y＝(2000－1100)m＋(2400－1400)(50－m)＝－100m＋50000,∴y随m的增大而减小，∴当m＝17时，可以获得最大利润.答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆.中档题型训练(三)一次函数和反比例函数结合复习内容：一次函数与反比例函数的综合重点：用待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式．难点：函数性质的应用一、利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式1．如图，已知反比例函数y＝eq\f(k1,x)与一次函数y＝k2x＋b的图象交于点A(1，8)，B(－4，m)．(1)求k1，k2，b的值；(2)求△AOB的面积；(3)若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数y＝eq\f(k1,x)图象上的两点，且x1<x2，y1<y2，指出点M，N各位于哪个象限，并简要说明理由．思路分析：(1)先把点A的坐标代入y＝eq\f(k1,x)可求得k1＝8，则可得到反比例函数的解析式，再把B(－4，m)的坐标代入反比例函数的解析式求得m，得到点B的坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式即可求得结果；(2)由(1)知一次函数y＝k2x＋b的图象与y轴的交点坐标为(0，6)，可求S△AOB＝eq\f(1,2)×6×|－4|＋eq\f(1,2)×6×1＝15；(3)根据反比例函数的性质即可得到结果．解：(1)∵反比例函数y＝eq\f(k1,x)与一次函数y＝k2x＋b的图象交于点A(1，8)，B(－4，m)，∴k1＝8，∴B(－4，－2)．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8＝k2＋b，,－2＝－4k2＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝2，,b＝6；))(2)由(1)知一次函数y＝2x＋6的图象与y轴的交点坐标为(0，6)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×6×|－4|＋eq\f(1,2)×6×1＝15；(3)M位于第三象限，N位于第一象限．理由：∵k1＝8>0，∴反比例函数y＝eq\f(k1,x)的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小．∵x1<x2，y1<y2，∴M，N在不同的象限，∴M位于第三象限，N位于第一象限．二、与面积有关的问题2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx与双曲线y＝eq\f(n,x)相交于A(－1，a)，B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1.(1)求m、n的值；(2)求直线AC的解析式．思路分析：(1)因为A(－1，a)，所以B点的横坐标为1，即C(1，0)．再由S△AOC＝1，得A(－1，2)，再代入y＝mx与y＝eq\f(n,x)即可．(2)将A，C坐标代入即可．解：(1)∵直线y＝mx与双曲线y＝eq\f(n,x)相交于A(－1，a)、B两点，∴B点横坐标为1，即C(1，0)，∵△AOC的面积为1，∴A(－1，2)，将A(－1，2)代入y＝mx，y＝eq\f(n,x)可得m＝－2，n＝－2；(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k＋b＝2，,k＋b＝0.))解得k＝－1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝－x＋1.三、与最小(大)值有关的问题3．一次函数y＝mx＋5的图象与反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△OAM的面积S；(3)在y轴上求一点P，使PA＋PB最小．思路分析；(3)作点A关于y轴的对称点N，连接BN交y轴于点P，则点P即为所求．解：(1)将B(4，1)代入y＝eq\f(k,x)，得1＝eq\f(k,4).∴k＝4，∴y＝eq\f(4,x)，将B(4，1)代入y＝mx＋5，得1＝4m＋5，∴m＝－1，∴y＝－x＋5；(2)在y＝eq\f(4,x)中，令x＝1，解得y＝4，∴A(1，4)，∴S＝eq\f(1,2)×1×4＝2；(3)作点A关于y轴的对称点N，则N(－1，4)，连接BN交y轴于点P，点P即为所求．设直线BN的关系式为y＝kx＋b，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝1，,－k＋b＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(3,5)，,b＝\f(17,5)，))y＝－eq\f(3,5)x＋eq\f(17,5)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(17,5))).四、与平移有关的问题如图，直线y＝eq\f(1,2)x与双曲线y＝eq\f(k,x)(k>0，x>0)交于点A，将直线y＝eq\f(1,2)x向上平移4个单位长度后与y轴交于点C，与双曲线y＝eq\f(k,x)(k>0，x>0)交于点B，若OA＝3BC，求k的值．思路分析：分别过点A，B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x，\f(3,2)x))，可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)x＋4)).解：∵将直线y＝eq\f(1,2)x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，∴平移后直线的解析式为y＝eq\f(1,2)x＋4，分别过点A，B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x，\f(3,2)x))，∵OA＝3BC，BC∥OA，CF∥x轴，∴CF＝eq\f(1,3)OD，又∵点B在直线y＝eq\f(1,2)x＋4上，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)x＋4))，∵点A，B在双曲线y＝eq\f(k,x)(x>0)上，∴3x×eq\f(3,2)x＝x×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋4))，解得x＝1(x＝0直接舍去)，∴k＝3×1×eq\f(3,2)×1＝eq\f(9,2).作业3：1．如图，已知A(－4，，B(－1，2)是一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝eq\f(m,x)(m<0)图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D.(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？(2)求一次函数解析式及m的值；(3)P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．解：(1)在第二象限内，当－4<x－1<时，一次函数的值大于反比例函数的值；(2)把A(－4，，B(－1，2)的坐标代入y＝ax＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4a＋b＝，,－a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(5,2)，))∴一次函数的解析式为y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)，把B(－1，2)的坐标代入y＝eq\f(m,x)，得m＝－1×2＝－2；(3)如图，连接PC，PD.设点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)t＋\f(5,2))).∵△PCA和△PDB的面积相等，∴eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(t＋4)＝eq\f(1,2)×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)t－\f(5,2)))，解得t＝－eq\f(5,2)，∴点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(5,4))).2．一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象相交于A(－1，4)，B(2，n)两点，直线AB交x轴于点D.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S.解：(1)y＝－eq\f(4,x)，y＝－2x＋2；(2)∵△AED的高为4，△ACB的高为：4＋2＝6.∵ED∥BC，∴△AED∽△ACB，∴eq\f(S△AED,S△ACB)＝(eq\f(4,6))2＝eq\f(4,9)，∴S△AED＝eq\f(4,9)×eq\f(1,2)×2×6＝eq\f(8,3).3．如图是函数y＝eq\f(3,x)与函数y＝eq\f(6,x)在第一象限的图象，点P是y＝eq\f(6,x)的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y＝eq\f(3,x)的图象与点C，PB⊥y轴于点B，交y＝eq\f(3,x)的图象于点D.(1)求证：D是BP的中点；(2)求四边形ODPC的面积．解：(1)∵点P在函数y＝eq\f(6,x)上，∴设P点坐标为(eq\f(6,m)，m)，∵点D在函数y＝eq\f(3,x)上，BP∥x轴，∴设D点坐标为(eq\f(3,m)，m)，由题意可得BD＝eq\f(3,m)，BP＝eq\f(6,m)，故D是BP的中点；(2)S四边形ODPC＝3.4．如图，一次函数y＝－x＋4的图象与反比例函数y＝eq\f(k,x)(k为常数，且k≠0)的图象交于A(1，a)，B两点．(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标；(2)在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．解：(1)y＝eq\f(3,x)，B(3，1)；(2)作B点关于x轴的对称点B′，得到B′(3，－1)，连接AB′交x轴于点P′，连接P′B，则有：PA＋PB＝PA＋PB′≥AB′，当P点和P′点重合时取等号．易得直线AB′的解析式为y＝－2x＋5，令y＝0，得x＝eq\f(5,2).∴P′(eq\f(5,2)，0)，即满足条件的P的坐标为(eq\f(5,2)，0)，设y＝－x＋4交x轴于点C，则C(4，0)，∴S△PAB＝S△APC－S△BPC＝eq\f(1,2)×PC×(yA－yB)，即S△PAB＝eq\f(1,2)×(4－eq\f(5,2))×(3－1)＝eq\f(3,2).5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8，1)，B(0，－3)，反比例函数y＝eq\f(k,x)(x>0)的图象经过点A，动直线x＝t(0<t<8)与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N.(1)求k的值；(2)求△BMN面积的最大值；(3)若MA⊥AB，求t的值．解：(1)将A点坐标(8，1)代入y＝eq\f(k,x)得k＝8；(2)设直线AB的解析式为y＝mx＋b，将A点坐标(8，1)和B点坐标(0，－3)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝8m＋b，,－3＝b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)，,b＝－3，))故直线AB的解析式为y＝eq\f(1,2)x－3，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(t,2)－3))，又Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(8,t)))，故MN＝eq\f(8,t)－eq\f(t,2)＋3，△BMN面积为S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,t)－\f(t,2)＋3))t＝－eq\f(1,4)t2＋eq\f(3,2)t＋4＝－eq\f(1,4)(t－3)2＋eq\f(25,4)，所以当t＝3时，△BMN面积的最大值为eq\f(25,4)；(3)如图，过A作AQ⊥y轴于点Q，延长AM交y轴于点P，因为AM⊥AB.所以△ABQ∽△PAQ，故eq\f(AQ,BQ)＝eq\f(PQ,AQ)，即eq\f(8,4)＝eq\f(PQ,8)，所以PQ＝16，所以P(0，17)．又A(8，1)．所以直线AP的解析式为y＝－2x＋17.所以－2x＋17＝eq\f(8,x)，解得x1＝eq\f(1,2)，x2＝8(舍去)，所以t＝eq\f(1,2).6．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数直线y＝eq\f(m,x)的图象都经过点A(2，－2)．(1)分别求这两个函数的解析式；(2)将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴相交于点B，与反比例函数的图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．解：(1)将点A(2，－2)代入正比例函数y＝kx与反比例函数y＝eq\f(m,x)，则k＝－1，m＝－4，则正比例函数的解析式为y＝－x，反比例函数的解析式为y＝eq\f(－4,x)；(2)将直线OA向上平移3个单位长度后的函数解析式y＝－x＋3，令x＝0，则y＝3，B点的坐标为(0，3)，将一次函数与反比例函数联立，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋3，,y＝\f(－4,x)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝4，,y1＝－1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－1，,y2＝4.))∵一次函数与反比例函数图象在第四象限的交点为C，∴C点坐标为(4，－1)，过点A作x轴的垂线交BC于点D，∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝6.一、利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式1．如图，已知反比例函数y＝eq\f(k1,x)与一次函数y＝k2x＋b的图象交于点A(1，8)，B(－4，m)．(1)求k1，k2，b的值；(2)求△AOB的面积；(3)若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数y＝eq\f(k1,x)图象上的两点，且x1<x2，y1<y2，指出点M，N各位于哪个象限，并简要说明理由．二、与面积有关的问题2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx与双曲线y＝eq\f(n,x)相交于A(－1，a)，B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1.(1)求m、n的值；(2)求直线AC的解析式．三、与最小(大)值有关的问题3．一次函数y＝mx＋5的图象与反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△OAM的面积S；(3)在y轴上求一点P，使PA＋PB最小．四、与平移有关的问题如图，直线y＝eq\f(1,2)x与双曲线y＝eq\f(k,x)(k>0，x>0)交于点A，将直线y＝eq\f(1,2)x向上平移4个单位长度后与y轴交于点C，与双曲线y＝eq\f(k,x)(k>0，x>0)交于点B，若OA＝3BC，求k的值．作业3：1．如图，已知A(－4，，B(－1，2)是一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝eq\f(m,x)(m<0)图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D.(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？(2)求一次函数解析式及m的值；(3)P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．2．一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象相交于A(－1，4)，B(2，n)两点，直线AB交x轴于点D.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S.3．如图是函数y＝eq\f(3,x)与函数y＝eq\f(6,x)在第一象限的图象，点P是y＝eq\f(6,x)的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y＝eq\f(3,x)的图象与点C，PB⊥y轴于点B，交y＝eq\f(3,x)的图象于点D.(1)求证：D是BP的中点；(2)求四边形ODPC的面积．4．如图，一次函数y＝－x＋4的图象与反比例函数y＝eq\f(k,x)(k为常数，且k≠0)的图象交于A(1，a)，B两点．(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标；(2)在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．中档题型训练(四)三角形、四边形中的相关证明及计算复习内容：三角形、四边形中的相关证明和计算重点：三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合；四边形中要特别关注四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，难点：运用三角形、四边形性质解决有关计算的问题一、三角形的有关计算及证明1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.思路分析：(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG即可．证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∴BG＝DG，∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.2．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.解：(1)BH＝AC.证明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC.又∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA.∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC；(2)连接GC.则GC2－GE2＝EC2.∵F为BC中点，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝GC.∴BG2－GE2＝EC2.∵∠ABE＝∠CBE，∠CEB＝∠AEB，BE＝BE，∴△BCE≌△BAE.∴EC＝EA，∴BG2－GE2＝EA2.3．(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________.(用含a，b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．解：(1)CB延长线上，a＋b；(2)①DC＝BE.理由如下：∵△ABD和△ACE为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE,∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB.∴DC＝BE；②BE长的最大值是4；(3)AM的最大值为3＋2eq\r(2)，点P的坐标为(2－eq\r(2)，eq\r(2))．二、四边形的有关计算及证明4．准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．思路分析：(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用锐角三角函数可求出AE，BE，进而求出AD，DE，即可求出菱形BFDE的面积．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.由翻折得：BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°，∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN，∴△EDM≌△FBN(ASA)，∴ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形；(2)∵四边形BFDE是菱形，∴∠EBD＝∠FBD.∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝eq\f(1,3)×90°＝30°.在Rt△ABE中，∵AB＝2，∴AE＝eq\f(2,3)eq\r(3)，BE＝eq\f(4,3)eq\r(3)，∴ED＝eq\f(4,3)eq\r(3)，∴AD＝2eq\r(3).∴S△ABE＝eq\f(1,2)AB·AE＝eq\f(2,3)eq\r(3).S矩形ABCD＝AB·AD＝4eq\r(3)，∴S菱形BFDE＝4eq\r(3)－2×eq\f(2,3)eq\r(3)＝eq\f(8,3)eq\r(3).5．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝2eq\r(5)，求BE的长．解：(1)由折叠的性质可得，∠AFD＝∠AFE，FD＝FE.∵EG∥CD，∴∠EGF＝∠AFD，∴∠EGF＝∠AFE，∴EG＝EF＝FD，∴EG綊FD，∴四边形EFDG是平行四边形．又∵FD＝FE，∴▱EFDG是菱形；(2)连接ED交AF于点H，∵四边形EFDG是菱形，∴DE⊥AF，FH＝GH＝eq\f(1,2)GF，EH＝DH＝eq\f(1,2)DE.∵∠FEH＝∠FAE＝90°－∠EFA，∴Rt△FEH∽Rt△FAE，∴eq\f(EF,FH)＝eq\f(AF,EF).即EF2＝FH·AF，∴EG2＝eq\f(1,2)AF·GF；(3)∵AG＝6，EG＝2eq\r(5)，EG2＝eq\f(1,2)AF·GF，∴(2eq\r(5))2＝eq\f(1,2)AF·GF，∴(2eq\r(5))2＝eq\f(1,2)(6＋GF)GF.∵GF>0，∴GF＝4，∴AF＝10.∵DF＝EG＝2eq\r(5)，∴AD＝BC＝eq\r(AF2－DF2)＝4eq\r(5)，DE＝2EH＝eq\r(EG2－（\f(1,2)GF）2)＝8.∵∠CDE＋∠DFA＝90°，∠DAF＋∠DFA＝90°，∴∠CDE＝∠DAF，∴Rt△ADF∽Rt△DCE，∴eq\f(EC,DF)＝eq\f(DE,AF)，即eq\f(EC,2\r(5))＝eq\f(8,10)，∴EC＝eq\f(8\r(5),5)，∴BE＝BC－EC＝eq\f(12\r(5),5).作业4：1．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连结BM，MN，BN.(1)求证：BM＝MN；(2)∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．(1)证明：在△CAD中，∵M，N分别是AC，CD的中点，∴MN∥AD，MN＝eq\f(1,2)AD，在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM＝eq\f(1,2)AC，∵AC＝AD，∴MN＝BM.(2)解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，由(1)可知，BM＝eq\f(1,2)AC＝AM＝MC，∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°，∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°，∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°，∴BN2＝BM2＋MN2，由(1)可知MN＝BM＝eq\f(1,2)AC＝1，∴BN＝eq\r(2).2．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．解：(1)∵△ABC≌△ADE且AB＝AC，∴AE＝AD，∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，∴在△AEC和△ADB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AD，,∠EAC＝∠DAB，,AC＝AB，))∴△AEC≌△ADB(SAS)；(2)∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°.又由(1)得AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°.，∴△ABD是直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2，∴BD＝2eq\r(2).又∵四边形ADFC是菱形，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD－DF＝2eq\r(2)－2.3．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图2，若点E，F分别是CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；(3)如图3，若点E，F分别是BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．解：(1)FG＝CE(相等)；FG∥CE(平行)；(2)仍然成立；证明：设CF与DE相交于点M.∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°.∵BF＝CE，∴△BCF≌△CDE，∴FC＝ED，∠DEC＝∠BFC.∵∠BFC＋∠FCE＝90°，∴∠DEC＋∠FCE＝90°，∴∠EMC＝90°，即FC⊥DE.∵GE⊥DE，∴GE∥FC.又∵EG＝DE，∴EG＝FC，∴四边形GECF是平行四边形，∴FG＝CE，FG∥CE；(3)成立．一、三角形的有关计算及证明1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.2．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.3．(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________.(用含a，b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．二、四边形的有关计算及证明4．准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．5．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝2eq\r(5)，求BE的长．作业4：1．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连结BM，MN，BN.(1)求证：BM＝MN；(2)∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．2．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．3．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图2，若点E，F分别是CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；(3)如图3，若点E，F分别是BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．复习内容：三角形、四边形中的相关证明和计算重点：三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合难点：勾股定理、相似三角形的性质1.在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高_________米.[答案详解]解:由题意知AD+DB=BC+CA,且CA=20米,BC=10米,设BD=x,则AD=30-x,∵在Rt△ACD中:CD2+CA2=AD2,即(30-x)2=(10+x)2+202,解得x=5米,树高CD=10+x=15米答树高为15米．2.如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为．[答案详解]解：连接HF，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠D=90°∵H、F分别为AD、BC边的中点，∴DH=CF，DH∥CF，∵∠D=90°，∴四边形HFCD是矩形，∴△HFG的面积是CD×DH=S矩形HFCD，即S△HFG=S△DHG+S△CFG，同理S△HEF=S△BEF+S△AEH，∴图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比是1:1.3.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=900，连接AC,∠DAC=∠BAC.若BC=4cm,AD=5cm,则AB=cm．4.如图,平面直角坐标系中正方形ABCD,已知A（1,0）,B（0,3），则sin∠COA=．第4题图第5题图第6题图5.在□ABCD中，E在DC上，若DE:EC=1:2,则BF:BE=．6.如图,正方形OEFG和正方形ABCD是位似形,点F的坐标为（1,1），点C的坐标为（4,2），则这两个正方形位似中心的坐标是．[答案详解]一个是（-2,0）,另一个是（4/3,2/3）.7.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上,且QO=OC,连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900，D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=,则DE=．9.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若最大正方形M的边长是3，则正方形A、B、C、D、E、F、M的面积之和是．10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，点D是BC边上一动点，连结AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连结C′D交AB于点E，连结BC′．当△BC′D是直角三角形时，DE的长为．答案.或．1.在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高_________米.如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为3.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=900，连接AC,∠DAC=∠BAC.若BC=4cm,AD=5cm,则AB=cm．4.如图,平面直角坐标系中正方形ABCD,已知A（1,0）,B（0,3），则sin∠COA=．5.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上,且QO=OC,连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，点D是BC边上一动点，连结AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连结C′D交AB于点E，连结BC′．当△BC′D是直角三角形时，DE的长为．作业5：1.在□ABCD中，E在DC上，若DE:EC=1:2,则BF:BE=．2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900，D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=,则DE=．3.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若最大正方形M的边长是3，则正方形A、B、C、D、E、F、M的面积之和是．4.已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长．5．如图，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在BC，CD上，第5图使得△CMN的周长为2，则△MAN的面积最小值为．第5图中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究复习内容：圆的有关计算与证明重点：圆的基本性质特别是切线的性质和判定，和三角形、四边形等基本知识难点：已知条件之间的相互转化一、圆的切线性质与判定【例1】如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．【思路分析】(1)连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB＋∠DBA＝90°，从而得出∠CDA＋∠ADO＝90°，再根据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC，由切线长定理得出DE＝EB，在Rt△CBE中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．解：(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切．理由是：连接OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠DBA＝90°.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB＋∠CDA＝90°.∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA＋∠ADO＝90°，即OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切；(2)∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3.在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4.∵CE切⊙O于点D，EB切⊙O于点B，∴DE＝EB，∠CBE＝90°，设DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE2＝BE2＋BC2，则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得x＝6，即BE＝6.练习：1．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于点F，AC＝FC.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．解：(1)如图，连接AE，AO.∵BE为半圆，∴∠BAE＝90°.∵eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(ED,\s\up8(︵))，∴∠BAD＝∠EAD＝45°，∴∠AFC＝∠B＋45°，∴∠CAF＝∠EAC＋45°.∵AC＝FC，∴∠AFC＝∠CAF，∴∠B＋45°＝∠EAC＋45°，∴∠B＝∠EAC.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠EAC＝∠OAB，∴∠OAC＝∠OAE＋∠EAC＝∠OAE＋∠OAB＝∠BAE＝90°，∴AC⊥OA，∴AC为⊙O为切线；(2)如图，连接OD.∵eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))，∴∠BOD＝∠DOE＝90°.在Rt△OFD中，OF＝5－3＝2，OD＝5，∴DF＝eq\r(OF2＋OD2)＝eq\r(29).2．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．解：(1)连接FO，易证OF∥AB.∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE.又∵OE＝OC，∴OF是线段CE的垂直平分CE，∴FC＝FE，∴∠FEC＝∠FCE.∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，即∠OCE＋∠FCE＝90°，∴∠OEC＋∠FEC＝90°，即∠FEO＝90°，∴EF为⊙O的切线；(2)∵⊙O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3.∵∠EAC＝60°，OA＝OE，∴∠EOA＝60°，∴∠COD＝∠EOA＝60°.∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，∴CD＝3eq\r(3).∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，CD＝3eq\r(3)，AC＝6，∴AD＝3eq\r(7).二、圆与相似【例2】如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.(1)弦长AB＝________；(结果保留根号)(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；(3)当AC的长度为多少时，以A，C，D为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．【思路分析】(1)结合垂径定理过点O作BC的垂线，再由特殊直角三角形得eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(3),2)OB＝eq\r(3)，则AB＝2eq\r(3)；(2)结合“三角形的外角定理”和“同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半”即可解答；(3)首先分析要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时，∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°，∴△DAC∽△BOC.∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3).解：(1)2eq\r(3)；(2)连接OA.∵OA＝OB＝OD，∴∠BAO＝∠B＝30°，∠D＝∠DAO＝20°，∴∠DAB＝∠BAO＋∠DAO＝50°，∴∠BOD＝2∠DAB＝100°；(3)∵∠BCO＝∠DAC＋∠D，∴∠BCO>∠DAC，∠BCO>∠D，∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°，∴△DAC∽△BOC.∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3).练习：1．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P.求证：(1)∠BCP＝∠BAN；(2)eq\f(AM,MN)＝eq\f(CB,BP).证明：(1)∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC＝90°，∴∠NAC＋∠ACN＝90°，∵AB＝AC，∴∠BAN＝∠CAN，∵PC是⊙O的切线，∴∠ACP＝90°，∴∠ACN＋∠PCB＝90°，∴∠BCP＝∠CAN，∴∠BCP＝∠BAN；(2)连接MN，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵四边形AMNC为⊙O的内接四边形，∴∠ACB＋∠AMN＝180°，又∵∠CBP＋∠ABC＝180°，∴∠PBC＝∠AMN，由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC∽△MNA，∴eq\f(AM,MN)＝eq\f(CB,BP).2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.(1)求证：△ACF∽△DAE;(2)若S△AOC＝eq\f(\r(3),4)，求DE的长；(3)连接EF，求证：EF是⊙O的切线．解：(1)∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，又∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°，又OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°，∵AF为⊙O的切线，∴∠OAF＝90°，∴∠CAF＝∠AFC＝30°，∵DE为⊙O的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90°，∴∠D＝∠DEA＝30°，∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC，∴△ACF∽△DAE；(2)∵△AOC为等边三角形，∴S△AOC＝eq\f(\r(3),4)OA2＝eq\f(\r(3),4)，∴OA＝1，∴BC＝2，OB＝1，又∠D＝∠BEO＝30°，∴BD＝2eq\r(3)，BE＝eq\r(3)，∴DE＝3eq\r(3)；(3)如图，过点O作OM⊥EF于点M，∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90°，∠BOE＝∠AOF，∴△OAF≌△OBE，∴OE＝OF，∵∠EOF＝120°，∴∠OEM＝∠OFM＝30°，∴∠OEB＝∠OEM＝30°，即OE平分∠BEF，又∠OBE＝∠OME＝90°，∴OM＝OB，∴EF为⊙O的切线．三、圆与锐角三角函数【例3】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若eq\f(CE,DE)＝eq\f(2,3)，求cos∠ABC的值．【思路分析】(1)连接OC.欲证DE是⊙O的切线，只需证得OC⊥DE；(2)由eq\f(CE,DE)＝eq\f(2,3)，可设CE＝2k(k>0)，则DE＝3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得AE＝eq\r(DE2－AD2)＝2eq\r(2)k，则tanE＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(\r(2),4)，所以在Rt△OCE中，tanE＝eq\f(OC,CE)＝eq\f(OC,2k)，求得OC＝eq\f(k,\r(2)).在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD＝eq\r(AO2＋AD2)＝eq\f(\r(3),\r(2))k，从而求出cos∠ABC的值．解：(1)如图，连接OC.∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，∴AD⊥AB.∴∠DAB＝90°.∵OD∥BC,∴∠DOC＝∠BCO，∠DOA＝∠CBA.∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠CBA，∴∠DOC＝∠DOA.在△COD和△AOD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OC＝OA，,∠DOC＝∠DOA，,OD＝OD，))∴△COD≌△AOD(SAS)，∴∠OCD＝∠DAB＝90°.即OC⊥DE于点C.∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)由eq\f(CE,DE)＝eq\f(2,3)，可设CE＝2k(k>0)，则DE＝3k，∴AD＝DC＝k，∴在Rt△DAE中，AE＝eq\r(DE2－AD2)＝2eq\r(2)k，∴tanE＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(\r(2),4).∵在Rt△OCE中，tanE＝eq\f(OC,CE)＝eq\f(OC,2k)，∴eq\f(\r(2),4)＝eq\f(OC,2k)，∴OC＝OA＝eq\f(\r(2),2)k，∴在Rt△AOD中，OD＝eq\r(AO2＋AD2)＝eq\f(\r(6),2)k，∴cos∠ABC＝cos∠AOD＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(\r(3),3).练习：1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝2eq\r(5)DE，求tan∠ABD的值．解：(1)∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°；(2)连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD，∴∠ODF＝∠OCF，∵EC⊥AC，∴∠OCF＝90°，∴∠ODF＝90°，∴DF是⊙O的切线；(3)在△ACD与△ACE中，∠ADC＝∠ACE＝90°，∠EAC＝∠CAD，∴△ACD∽△AEC，∴eq\f(AC,AE)＝eq\f(AD,AC)，∴AC2＝AD·AE.又∵AC＝2eq\r(5)DE，∴20DE2＝(AE－DE)·AE，∴(AE－5DE)(AE＋4DE)＝0，∴AE＝5DE，AD＝4DE，在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，∴CD＝2DE.又在⊙O中，∠ABD＝∠ACD，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝eq\f(AD,CD)＝2.2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足eq\f(CF,FD)＝eq\f(1,3)，连接AF并延长⊙O于点E，连接AD，DE，若CF＝2，AF＝3.(1)求证：△ADF∽△AED；(2)求FG的长；(3)求证：tanE＝eq\f(\r(5),4).解：(1)∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴∠ADF＝∠AED.∵∠FAD＝∠DAE，∴△ADF∽△AED；(2)∵eq\f(CF,FD)＝eq\f(1,3)，CF＝2，∴FD＝6，∴CD＝DF＋CF＝8，∴CG＝DG＝4，∴FG＝CG－CF＝2；(3)∵AF＝3，FG＝2，∴AG＝eq\r(AF2－FG2)＝eq\r(5)，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG＝eq\f(AG,DG)＝eq\f(\r(5),4).∵∠ADG＝∠E，∴tanE＝eq\f(\r(5),4).3．如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD＝AB，AD，BC的延长线相交于点E.(1)求证：AD是半圆O的切线；(2)连结CD，求证：∠A＝2∠CDE；(3)若∠CDE＝27°，OB＝2，求eq\o(BD,\s\up8(︵))的长．(1)证明：连结OD，BD(图略)，∵AB是⊙O的直径，∴AB⊥BC，即∠ABO＝90°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵OB＝OD，∴∠DBO＝∠BDO，∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO，∴∠ADO＝∠ABO＝90°，∴AD是半圆O的切线．(2)证明：由(1)知，∠ADO＝∠ABO＝90°，∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD＝180°－∠BOD，∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ODC＋∠CDE＝90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠ODC＋∠BDO＝90°，∴∠BDO＝∠CDE，∵∠BDO＝∠OBD，∴∠DOC＝2∠BDO，∴∠DOC＝2∠CDE，∴∠A＝2∠CDE.(3)解：∵∠CDE＝27°，∴∠DOC＝2∠CDE＝54°，∴∠BOD＝180°－54°＝126°，∵OB＝2，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))的长＝eq\f(126·π×2,180)＝eq\f(7,5)π.4．(2016·绵阳)如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F.(1)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若OF＝4，求AC的长度．解：(1)DE与⊙O