专题08三角函数的概念与诱导公式（知识串讲热考题型专题训练）（原卷版）

专题08三角函数的概念与诱导公式知识点1任意角的定义1、定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。2、角的表示：（1）始边：射线的起始位置．（2）终边：射线的终止位置．（3）顶点：射线的端点O．（4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”．3、角的分类：（1）正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；（2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；（3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角知识点2象限角与轴线角1、象限角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。象限角集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角2、轴线角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。角的终边位置集合表示轴的非负半轴轴的非正半轴轴上轴非负半轴轴非正半轴轴上知识点3角度制与弧度制1、角度制与弧度制的定义（1）规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.（2）弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.（3）弧度制与角度制的区别与联系区别（1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同.联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值.2、角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数3、一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0知识点4弧长与扇形面积公式设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：类别/度量单位角度制弧度制扇形的弧长扇形的面积知识点5三角函数的定义与符号1、三角函数的定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则：叫做的正弦函数，记作.即；叫做的余弦函数，记作.即；叫做的正切函数，记作.即。【补充】三角函数另一种定义设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则：，，.三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关2、三角函数的符号：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点6同角三角函数的基本关系1、公式：（1）平方关系：，文字表述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1（2）商数关系：，文字表述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切2、三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．3、三角函数恒等式证明证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．③比较法：即证左边－右边＝0或eq\f(左边,右边)＝1(右边≠0)．④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．知识点7诱导公式1、诱导公式（一~六）诱导公式一：，，，其中诱导公式二：，，，其中诱导公式三：，，，其中诱导公式四：，，，其中诱导公式五：，，其中诱导公式六：，，其中【小结】诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.2、用诱导公式进行化简时的注意点：（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．3、用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．（3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．考点1任意角与弧度制概念理解【例1】（2021·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（）A．第一象限角都是锐角B．三角形的内角必是第一､二象限的C．不相等的角终边一定不相同D．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（）A．B．C．D．【变式1-2】（多选）（2021·广东·金湾高一阶段练习）下列说法错误的是（）A．小于的角是锐角B．钝角是第二象限的角C．第二象限的角大于第一象限的角D．若角与角的终边相同，则【变式1-3】（多选）（2021·江苏省镇江高一期末）下列说法正确的是（）A．B．1弧度的角比的角大C．用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关D．扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为4考点2终边相同的角表示【例2】（2022·全国·高一）下列与的终边相同的角的集合中正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2022·江西省万载高一阶段练习）已知角，则符合条件的最大负角为（）A．–22ºB．–220ºC．–202ºD．–158º【变式2-2】（2021·全国·高一课前预习）将化为（，）的形式是（）A．B．C．D．【变式2-3】（2022·黑龙江绥化·高一期末）已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（）A．B．C．D．【变式2-4】（2022·全国·高一课时练习）写出角的终边在下列位置时的集合．（1）角α的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）；（2）角α的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）．考点3确定n分角与n倍角的象限【例3】（2021·全国·高一课时练习）若是第一象限角，问，，是第几象限角？【变式3-1】（2022·全国·高一课时练习）若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是A．B．C．D．【变式3-2】（2022·全国·高一课时练习）若是第四象限角，则点在（）A．第二或第四象限B．第一或第三象限C．第三或第四象限D．第一或第二象限【变式3-3】（多选）（2022·全国·高一课时练习）若是第二象限角，则（）A．是第一象限角B．是第一或第三象限角C．是第二象限角D．是第三或第四象限角或轴负半轴上考点4扇形的弧长与面积计算【例4】（2022·四川遂宁·高一期末）已知扇形的半径为4cm，面积为8cm2，则扇形圆心角的弧度数为（）A．1B．2C．3D．4【变式4-1】（2022·江苏省江浦高级高一阶段练习）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，则该扇环形砖雕的面积为（）．A．B．C．D．【变式4-2】（2022·广东·广州市第一一三高一阶段练习）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为____．【变式4-3】（2022·河北张家口·高一期末）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为.（1）若，，求扇形的弧长；（2）若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值.考点5三角函数的定义与符号【例5】（2022·江苏连云港·高一期末）已知角的终边经过点，且，则x的值是（）A．B．C．D．【变式5-1】（2022·江苏·南京师大附中高一阶段练习）设是大于0的实数，角的终边经过点，则的值为（）A．B．C．D．【变式5-2】（2022·江苏·常州市教科院附属高级高一阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，若角的终边经过点，则的值为（）A．B．C．D．【变式5-3】（2022·上海·华东师范大学附属周浦高一期末）已知点在第三象限，则角的终边在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【变式5-4】（2022·上海·华师大二附中高一期中）设角属于第二象限，且，则角属于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式5-5】（2022·内蒙古包头·高一期末）如果点位于第四象限，那么角所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点6圆上的动点与旋转点【例6】（2022·山东东营·高一期中）圆心在原点，半径为10的圆上的两个动点M，N同时从点出发，沿圆周运动，点M按逆时针方向旋转，速度为弧度/秒，点N按顺时针方向旋转，速度为弧度/秒，则它们第三次相遇时点M转过的弧度数为（）A．B．C．D．【变式6-1】（2021·江苏·高一专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，动点P、Q从点A(1,,0)出发在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P、Q两点在第2019次相遇时,点P的坐标是A．(0,0)B．(0,1)C．(-1,0)D．(0,-1)【变式6-2】（2020·江苏·高一课时练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点，则（）A．B．C．D．【变式6-3】（2021·全国·高一课时练习）设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点，若点的纵坐标是，则点的坐标是__．【变式6-4】（2022·全国·高一）如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2s达到第三象限，经过14s后又回到了出发点A处，求θ.考点7sina、cosa、tana知一求二【例7】（2022·北京·北二外附属高一期中）根据下列条件，求三角函数值（1）已知，且为第二象限角，求的值；（2）已知，求的值．【变式7-1】（2022·辽宁·渤海大学附属高级高一阶段练习）已知，，则（）A．B．C．D．【变式7-2】（2022·安徽省舒城高一开学考试）已知，则（）A．B．C．D．【变式7-3】（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（）A．B．C．D．【变式7-4】（2022·安徽·合肥市第五高一阶段练习）已知，，则_____.考点8正、余弦齐次式的应用【例8】（2022·全国·高一课时练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则（）A．B．C．D．【变式8-1】（2022·上海市香山高一期末）已知，则的值为（）A．B．C．D．【变式8-2】（2022·全国·高一课时练习）已知，则＝（）A．B．2C．D．6【变式8-3】（2022·全国·高一课时练习）已知，则_____.【变式8-4】（2022·北京·人大附中高一期中）已知第二象限角满足是关于的方程的两个实根.（1）求的值；（2）求的值.考点9sinacosa、sina±cosa知一求二【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知，则的值等于（）A．B．C．D．【变式9-1】（2022·全国·高一专题练习）已知，且，则____.【变式9-2】（2022·辽宁·东北育才高一阶段练习）若，则___.【变式9-3】（2022·湖南·高一课时练习）已知，求的值．【变式9-4】（2022·山东·济南高一阶段练习）已知，是关于x的一元二次方程的两根，（1）求的值；（2）求m的值；（3）若，求的值.考点10利用诱导公式化简求值【例10】（2022·江苏连云港·高一期末）若，则（）A．B．C．D．【变式10-1】（多选）（2022·甘肃·庄浪县第二高一期末）若角是的三个内角，则以下结论不正确的是（）A．B．C．D．【变式10-2】（2022·天津市南开滨海生态城高一阶段练习）_______.【变式10-3】（2022·江苏连云港·高一期末）已知．（1）化简；（2）若=，求的值．【变式10-4】（2022·辽宁·东北育才高一阶段练习）已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求；（3）若角是的内角，且，求的值.1．（2022·河北·蠡县高一阶段练习）800°是以下哪个象限的角（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高一阶段练习）下列命题：第四象限的角可表示为第二象限角大于第一象限角将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为若是第二象限角，则的终边在第一象限．其中真命题的个数是（）A．个B．个C．个D．个3．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边与的终边重合，则的终边不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（2022·全国·高一课时练习）将时钟拨快10分钟，则分针转过的弧度是（）A．B．C．D．5．（2022·全国·高一课时练习）如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（）A．B．C．D．6．（2022·全国·高一课时练习）以下式子符号为负的有（）A．B．C．D．7．（2022·福建·福州高一期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为（）A．B．C．D．8．（2022·江西省万载高一阶段练习）若={α|，B={第一或第四象限角}，则A、B关系为（）A．A=BB．ABC．ABD．非A、B、C结论9．（2022·安徽师范大学附属高一阶段练习）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．若角终边上一点的坐标为，则（）A．B．C．D．10．（2022·四