拓展专题11圆锥曲线中的探究性问题（学生版）

拓展专题11圆锥曲线中的探究性问题探索性问题是解析几何中重要题型，条件不完备或结论不确定是探索性问题的基本特征，由于探索性问题方向不明、自由度大、能有效提高思维能力，所以高考命题人青睐；探索性问题一般分为探究条件、探究结论两类，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，然后针对表达式进行讨论；探索性问题是解析几何中重要题型，条件不完备或结论不确定是探索性问题的基本特征，由于探索性问题方向不明、自由度大、能有效提高思维能力，所以高考命题人青睐；探索性问题一般分为探究条件、探究结论两类，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，然后针对表达式进行讨论；本专题主要从（1）探究常数值的存在性；（2）探究特殊点的存在性；（3）探究直线的存在性这三个方面研究探究性问题，学习之后，大家一定会从中悟出探究性问题解题策略。——江苏省清江中学高级教师崔绪春探究1：探究常数值的存在性【典例剖析】例1.(2022·浙江省联考)已知圆A:x2+y2+6x+5=0，直线l(与x轴不重合)过点B(3,0)交圆A于C、D两点，过点B作直线AC(1)证明：||EB|-|EA||为定值，并求点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹方程为C1，直线l与曲线C1交于M，N两点，线段MN的垂直平分线交x轴于点P，是否存在实常数λ，使得|MN|=λ|PB|，若存在，求出λ的值选题意图:选题意图:最新联考题.第一问考查了双曲线的轨迹问题.具有一定的创新性和综合性.第二问考查了设参消参化参的基本技能；体现了研究动态变化中不变特征的探索精神，逻辑推理过程中的严谨的理性思维；培养了批判思维能力的科学精神和数学价值。思维引导：(1)分|BD|>|BC|和|BD|<|BC|两种情况讨论，可得点E的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，即可求得||EB|-|EA||为定值2，由此可得点E的轨迹方程；

(2)由题知，直线l的斜率不为0，设【变式训练】练11(2022·河北省模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)，点A(4,-1)，P为抛物线上的动点，直线l为抛物线的准线，点P到直线l的距离为d，|PA|+d(1)求抛物线C的方程;(2)直线y=kx+1与抛物线相交于M，N两点，与y轴相交于Q点，当直线AM，AN的斜率存在，设直线AM，AN，AQ的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在实数λ，使得1练12(2022·江苏省盐城市四校联考)已知椭圆C：x2a2+y2b2(1)求椭圆C的方程；(2)设A-a,0，Ba,0，过点A的直线与椭圆C交于另一点P(异于点B)，与直线x=a交于一点M，∠PFB的角平分线与直线x=a交于点N，是否存在常数λ，使得BN=λBM【规律方法】解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在。解题策略：（1）通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于特定参数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则（点、直线、曲线或参数）不存在；（2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．探究2：探究特殊点的存在性【典例剖析】例2.(2022·浙江省杭州市联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为233，且点(3,2)在C上．

(1)求双曲线C的方程;

(2)试问：在双曲线C的右支上是否存在一点P，使得过点P作圆x2+y选题意图选题意图：最新联考题,将双曲线、圆的切线方程、平面几何等相关知识融合在一起,对学生的计算能力要求较高.还需要对圆的切线方程理解足够透彻.考查了逻辑思维能力和运算求解能力.思维引导：(1)直接利用双曲线的定列方程求解即可.(2)根据圆的切线方程得出直线AB,然后与双曲线的渐近线方程联立得出M,N坐标,从而得出△MON的面积,结合P点在双曲线C的右支上,即可得出【变式训练】练21(2022·江苏省百校大联考)已知椭圆C:x2a2+y2(1)求椭圆C的方程：(2)若椭圆C的左顶点为A，右焦点是F.点P是椭圆C上的点(异于左右顶点)，M为线段PA的中点，过M作直线PF的平行线l.延长PF交椭圆C于Q，连结AQ交直线l于点B．①求证：直线l过定点．②是否存在定点D1，D2，使得|BD1|+|BD2练22(2022·山东省临沂市二模)已知抛物线H：y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线H上的一点M的横坐标为5，O为坐标原点，(1)求抛物线H的方程；(2)若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线x=-1上的动点．①求证：∠ACB≤②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由．【规律方法】解决是否存在点的问题时，可依据条件直接探究其结果，也可以举特例，然后再证明。解题策略：第一步：假设结论存在；第二步：结合已知条件进行推理求解；第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设；第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．探究3：探究直线的存在性【典例剖析】例3.(2022·湖北省四校联考)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>2>b>0)的焦距为4，上顶点为A(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作x轴垂线，垂足为E，过点N作x轴垂线，垂足为Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于520，若存在，求出直线l选题意图选题意图：湖北省联考题,本题以椭圆为背景探究直线的存在性问题.直接通过M、N的坐标表示△PMN的面积难度较大,需思维引导：解决此类问题需先假设直线存在，主要讨论直线斜率不存在的情况，联立直线与圆锥曲线，借助韦达定理消元，根据题设条件用根的判别式、韦达定理、弦长公式、面积公式等进行运算.【变式训练】练31(2021·广东省七校联考)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为25，坐标原点O到直线BD的距离是31313，其中B，D的坐标分别为(0,b)，(-32,0)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)练32(2022·山东省淄博市二模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，点M(2,m)且|MF|=2．

(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程;

(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点.若直线MA，MB的斜率之积为-2，试判断直线l能否与圆x-22+y-m2=80相切⋅【规律方法】解决是否存在直线的问题时，