九年级下人教新课标281正弦和余弦1教学资料

第第3页共9页正弦和余弦【学习目标】对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实．熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦值，并会依据这些数值说出对应的特别角的度数．了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系．会查“正弦和余弦表运用计算器)．会用上述学问解决一些求三角形中未知元素的简洁问题．【主体学问归纳】6—1，在Rt△ABCC＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，那么∠Aasin＝c

b，∠A的余弦cos＝c．特别角的正弦、余弦值．三角函数三角函数sincosα30°123245°222260°3212任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．即sinA＝cos〔9A，cos＝si〔9°－．三角函数表三角函数值的变化规律是使用三角函数表的依据．当角度在0°~90(或减小)而减小(或增大)．【根底学问讲解】1．正弦、余弦的概念是本章的起点，同时又是重点、关键．这是本章学问的根底．在直角三角形ABC中，当一个锐角(∠A〕取固定值时，它的直角边与斜边的比值也是一个固定值．sinAABC

A的邻边 AC，cos＝ ．斜边 AB 斜边 AB实际上它们是一个函数关系，它的自变量的取值范围是大于0°且小于90°的全部角度．在直角三角形中，由于斜边最长，所以函数值的范围是大于0且小于1的全部实数．2．在查“正弦和余弦表”时，需要明确以下四点：(1)这份表的作用是：求锐角的正弦、余弦值，或由锐角的正弦、余弦值，求这个锐角；(2)1′，正弦、余弦值具有四个有效数字；(3)凡查表所得的值，在教科书中习惯用等号“＝计算，结果经四舍五入后，一般用约等号“≈”来表示；(4)通过查表要知道：sin0°＝0，sin90°＝1，cos0°＝1，cos90°＝0．在使用余弦表中的修正值时，假设角度增加(1′～3′(1′3′，相应的余弦值要增加．【例题精讲】1：6—2，在△ABCACB＝90°，CD⊥AB，且AC＝4，CD＝3，求∠B值．剖析：任意一个锐角的三角函数值，一般是利用一个直角三角形中相应的边的比值表示，因此要求∠BB解：∵AC⊥BC，CＤ⊥AB，∴△ACD∽△ABC．∴∠ACD＝∠B．7又∵AC＝4，CＤ＝3，由勾股定理，得AD＝ ．77∴sinB＝sin∠ACD＝4 ，73cosB＝cos∠ACD＝4．2：6—3，在Rt△ABCACB＝90°，CD⊥AB，写出等于∠A里的前提条件肯定要留意，是在直角三角形中．CD BC错解：sin＝AB

AB．CD BC BD

BC．CD

AB不全的缘由是在三种状况下形成的：一是∠ARt△ABCRt△ACDA＝∠CDBCD，则sin＝sin，三是∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠B＝90°，cosACD＝sinA＝AC，cosB＝sin∠BCD＝BDBC．只不过第三种状况的比包含在前两种状况之中了．36—4，在△ABC，AB＝AC＝5，BC＝6，求cos∠A．剖析：我们所求的任意一个锐角的三角函数值，都是依据三角函数定义，利用一个直角三角形中相应边的比值来表示．求锐角A的三角函数值时，要观看∠A是否存在于一个直角三角形中，假设题中没有给出这样的条件，我们要通过添加关心线，构造出∠A解：作△ABC的高AD、BE．∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝

1 1BC＝×6＝3．2 2Rt△ABDAB2AB2BD252321 1

＝4．∵S ＝BC·AD＝AC·BE，△ABC 2 2∴BC·AD＝AC·BE，6×4＝5×BE．24∴BE＝ ．5Rt△ABEAB2AB2BE2AE 7∴cos＝ ．

7．5252(24)25AB 25说明：任意锐角的正弦、余弦值都是存在的，因此在求某一个锐角的正弦值、余弦值时，可把该锐角〔和它相等的角替代〔如例1BACD的三角函数值．4:计算：cos245°–

＋cos230°＋sin245°–sin230°．33cos60 2sin6033剖析：此题主要考察特别角的三角函数值及数的运算，所以做题时，一是要牢记特别角的三角函数值，二是运算要准确．解：原式＝(

2)2–22

1323231323232

)2＋(

12)2–()222 21 3 1 1 1＝2–2＋1＋4＋2–4＝2．32说明：牢记特别角的三角函数值是做题的前提，运算正确是关键．325：在△ABC｜sin–

2 ｜＋(2

–cos)2＝0，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数是( )A．75° B．90° C．105° D．120°32ABCC确定∠B、∠C323解：∵｜sin–3

2 ｜＋(2

–cos)2＝0，23∴｜sin–223

｜＝0，(2

–cos)2＝0，2∴sin–22

＝0，

2 –cos＝0．23即sin＝2 ，cos＝2 ．23∴∠A＝45°，∠B＝30°．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝105°．故应选C．6：Rt△ABCC＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则( )

cosAcosBsinB

的值是a c a bA．c B．a C．b D．a剖析一：四个选择支均为边的比值，因此想到将sinB、cosB、cosA转化边的比，依据锐角三角函数的b b a a定义，cosA＝c，sinB＝c，cosB＝cc，所以选A．cosAcosB a剖析二：利用互余两角三角函数间的关系，得cosA＝sinB，即

sinB

＝cosB＝c

．因此选A．说明：(1角三角函数；(2)关系．将不同角的三角函数变为同角的三角函数．2 23例7：假设α是锐角，且sinα＝ ，求2 232解：如图6—5，设∠A＝α，∠C＝90°，不妨设BC＝2 ，AB＝3，2∴AC＝AC∴cosα＝

AB2BCAB2BC232(2 2)2

＝1．AB 32说明：(1)因αα是其中的一个锐角来解决问题．2sinα＝

，运用特例的思想，可设BC＝22 232 2

，AB＝3，从而转化为在直角三角形内的问题．这种解法在做选择题、填空题时应用更为广泛．此题还可应用同角之间的三角函数关系求解，这将在以后的学习中学到．【学问拓展】培育学习数学好习惯学习习惯是长时期渐渐养成的、一时不简洁转变的学习行为方式和行为倾向，一个人养成什么样的学习习惯，会对其学习成绩直接产生有利或有害的影响．同学们养成怎样的学习习惯才对学习有利呢？〔1〕独立思考的习惯课堂上对于教师的讲解，不要只是听或认真听，而要经过思考：教师为什么要这样讲？此题为什么要这样解？关心线为什么要这样添？还有没有其他解法？长期坚持下去，既培育了自己独立思考的习惯，又真正把握了学问，提高了力量，只有这样才有助于学习成绩的提高．(2)擅长求异和质疑的习惯具体内容是：①独立思考问题，自己从书中、演算中或从分析自己的错例中查找问题的答案，不畏困难，乐观思考．②敢于提出自己的疑问并寻根问底，敢于提出自己不同意见．③在解题、争论或争论问题时能突破条条框框的约束，不墨守成规，能从不同角度多方面的思考问题，寻求出制造性的解题方法．纠正懒于思考，事事依靠教师、家长、同学或单纯靠记忆仿照、照搬等不良的思维习惯．养成求异和质疑的好习惯对进展制造性思维，及将来的进一步学习都有重要的作用．要养成这种好习看看所讲例题有没有别的解法；再次，就是在争论一题多解的根底上，勤积存，多思考．【同步达纲练习】1．选择题以下各式中，正确的选项是( )1A．sin60°＝ B．cos〔90°－30°〕＝sin60°21C．cos60°＝ D．sin2x＝sinx22212(2) cos30°＋ cos45°＋sin60°·cos60°等于( )2 223212321 1 22 2D．2在Rt△ABC中，∠C＝90°，a：b＝3：4，则cosB等于( )4 3 3 4A． B． C． D．5 5 4 3在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB＝13，那么sinA的值是( )12 13 1 5A． B． C． D．13 12 13 131在Rt△ABCC＝90°，假设c＝2，sinA＝1

，则b的值是( )41515A． B．1 C．2 2不对

D在Rt△ABC中，各边的长都扩大两倍，那么锐角A的正弦值( )A．扩大两倍 B．缩小到一半 C．没有变化定3B3

D在Rt△ABC，sinB＝1A．2案都不对

，则cos等于( 32 23B．2

C．±323

D假设0°＜α＜45°，那么cosα–sinα的值( A．大于零 B．小于零定3

C．等于零 D不能确α是锐角，且cosα＝4

，则α( )A．0°＜α3° B．3°＜α4° C．4°＜α6° α＜90°在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AB：AC＝3：2，则∠BCＤ的正弦值为( )52 3 355A． B． C． D．53 3 2在△ABC中，∠C＝90°，则以下表达中正确的选项是( )∠A的邻边与斜边之比是∠A的正弦 B．∠A的对边与邻边之比是∠A的正弦C．∠A的对边与斜边之比是∠B的余弦 D．∠A的邻边与斜边之比是∠B的余弦(12)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则sinA＋cosA等于( )11 31 2B． C． D．2 2 4(13)以下等式中正确的选项是( )A．sin20°＋sin40°＝sin60° B．cos20°＋cos40°＝cos60°C．sin〔90°－40°〕＝cos40° D．cos〔90°－30°〕＝sin60°(14)以下不等式中正确的选项是( )A．cos42°＞cos40° B．cos20°＜cos70° C．sin70°＞sin20° D．sin42°＜sin40°(15)在Rt△ABC中，∠C＝90°，以下等式肯定成立的是( )(sin20sin80)2A．sin＝sinB B．sin＝cosA C．si(sin20sin80)2

sin20

的结果是( )1–cos80°–1

–cos80° C．cos80° D．cos80°假设α是锐角，sin40°＝cosα，则α等于( A．40° B．50°定

° Dα、β是两个锐角，sinα＝0．412，sinβ＝0．413，则有( A．α＞β B．α＜β C．α＝ββ的大小α、β是两个锐角，cosα＝0.43，cosβ＝0.44，则有( )A．α＞β B．α＜β C．α＝ββ的大小

不能确定α、Dα、4假设α是锐角，且cosα＝5，则sin〔90°－α〕的值等于( )9 4 3 1625

51

5

25在△ABC中，假设sinA＝cosB＝2，则△ABC是( )直角三角形案都不对填空题

钝角三角形

锐角三角形 D以上答3(1)计算：4sin60°＋23

cos30°－6cos245°＝ ；一个直角三角形的两直角边分别为5和12，则较小锐角的正弦值是 ；sinsin2704sin70cos60sin290

＋cos20°的结果为 ；2假设锐角α满足2

sinα－1＝0，则α＝ ；3(5)不查表，比较大小：sin25° sin24°30′，cos82°25′ cos82°26′；(6)△ABC的面积为24cm2，∠B＝90°，始终角边AB为6cm，则sinA＝ ；31：

：2，则此三角形的最小内角的正弦值为 ；在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，则sinA＋sinB＝ ；(9)假设锐角α满足等式2sin(α＋15°)–1＝0，则∠α＝ ，cos2α＝ ．32＋3

是方程x2–8xcosα＋1＝0的一个根，且α是锐角，则α＝ ．sincos假设sincos用符号表示：(1)∠A(2)∠B(3)40°角的正弦；

没有意义，则锐角α ．(4)47°5′角的余弦．4．求以下各式的值：〔1〕sin30°＋2cos60°；〔2〕sin230°＋cos230°；〔3〕2sin45°·cos45°；sin45〔4〕cos45－1；〔5〕sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°．把以下各角的正弦(余弦)改写成它的余角的余弦(正弦)：(1)sin17°； 〔2〕cos39°； 〔3〕sin41°12′； 〔4〕cos62°27′．2985在△ABCC＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c；先依据以下条件求出∠A弦值和余弦值，然后直接写出∠B2985(1)a＝5，c＝

； 〔2〕b＝9，c＝

； 〔3〕a＝7，b＝4．△ABCACB＝90BC的中点DAB，垂足为E，连结CE，求cosAEC32＋ 是方程x2－5x·sinθ＋1＝0的一个根，θ是锐角，试求sinθ、cosθ的值．3参考答案【同步达纲练习】1〔C〔〕D〔〕B〔〕D〔〕C〔〕C〔〕B〔8〕A〔〕B〔10〕A〔11〕C〔12〕A〔13〕C〔14〕C〔15〕D〔16〕B〔17〕B〔18〕B〔19〕A〔20〕B〔21〕A335 4 1 23332〔2

〔2〕13

〔7〕2

〔