专题8.3 利用传统方法求角度和距离（解析版）备战2024年新高考数学一轮复习题型突破精练（新高考专用）

第第页专题8.3利用传统方法求角度和距离题型一求异面直线的夹角题型二求直线与平面的夹角题型三求平面与平面的夹角题型四已知夹角求距离题型五求几何体的体积题型六利用等体积法求点到面的距离题型一 求异面直线的夹角例1．（2023春·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体中，为底面的中心，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是________.【答案】/【分析】根据给定条件，作出并证明异面直线与所成角，再计算作答.【详解】在棱长为2的正方体中，取中点，连接，如图，

因为为的中点，有，则四边形是平行四边形，于是，又，即有四边形是平行四边形，因此，则是异面直线与所成的角或补角，而为底面的中心，则，又平面，从而平面，而平面，则，在中，，于是，所以异面直线与所成角的余弦值是.故答案为：例2．（2023·河北·校联考一模）如图，在三棱锥中，，，且，点E，F分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为__________，与所成角的余弦值为__________.【答案】【分析】根据异面直线夹角的定义作辅助线，构造三角形.【详解】取的中点G，连接，，则，，故或其补角为异面直线与所成的角，过A作平面于点O，连接，，，则，又，且，故平面，故，同理可得，即为的垂心，故，又，，平面，平面，故平面，故，即与所成角为；所以，由可得，故，即异面直线与所成角的余弦值为；故答案为：①，②.练习1．（2023春·广东广州·高一广州四十七中校考期中）如图，在正四面体中，是的中点，P是线段上的动点，则直线和所成角的大小（

）A．一定为 B．一定为 C．一定为 D．与P的位置有关【答案】A【分析】连接，可以证到，，从而证到平面，所以，即可得解．【详解】解：连接,四面体是正四面体，是的中点,、是等边三角形，，．平面，平面，，平面，又平面，，直线与所成角为.故选：A．练习2．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别取的中点，连接，则可证明为异面直线SC与DE所成的角，分别在三角形中由勾股定理求出，和的长度，利用余弦定理计算得到答案.【详解】如图所示：分别取的中点，连接.由且可得是等边三角形，则且，且，故且，所以四边形为平行四边形，故，因为，所以为异面直线SC与DE所成的角（或其补角），因为平面，平面，∴，，故和均为直角三角形，所以，，，由余弦定理得.则异面直线与所成的角的余弦值为.故选：B练习3．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______.【答案】【分析】通过构造平行线将异面直线所成角转化为相交线的夹角，解三角形即可.【详解】如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接，，，由于，分别是棱，的中点，所以，，故四边形为平行四边形，进而，又因为，分别是，的中点，所以，所以，则或其补角是异面直线与所成的角.设，则，，.从而，，，，故，故异面直线与所成角的余弦值是.故答案为：.练习4．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将三棱柱补成如图所示的四棱柱，则异面直线与所成角即为，设，求出，由余弦定理求解即可.【详解】解析：将三棱柱补成如图所示的四棱柱，

连接，由四棱柱的性质知，，所以异面直线与所成角即为与所成角，则所求角为，设，则,由余弦定理可得：，同理可得，因为，，所以，所以，故选：C.练习5．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，正方体中，E，F分别是，DB的中点，则异面直线EF与所成角的正切值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据异面直线的夹角的求法和线面位置关系即可求解.【详解】如图所示，连接直线，因为分别为直线和直线的中点，所以为的中位线，所以，则异面直线EF与所成角的正切值即为直线与所成角的正切值，因为,所以平面,平面,所以,所以为直角三角形，所以.故选：B.题型二 求直线与平面的夹角例3．（2021春·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，且平分，为的中点，，.(1)证明平面；(2)求直线与平面所成的角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设，得到是三角形的中位线，故，利用线面平行的判定定理即可得证；（2）证明平面，可得即为直线与平面所成的角，再解即可.【详解】（1）令，连结，∵平分，∴，又，∴，∴，点为的中点，为的中点，，平面，平面，平面；（2）由（1）可知，平面，平面，，又平面，平面，即为直线与平面所成的平面角，在中，，，，直线与平面所成角的正切值为.例4．（2022秋·浙江杭州·高二统考期末）如图，在三棱锥中，是的中点，平面，，，，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）证明，原题即得证；（2）连结，就是直线与平面所成的角，解直角三角形求出，，即得解.【详解】（1）∵平面

∴

又∵，，平面，∴平面（2）连结，由（1）知平面

∴就是直线与平面所成的角，中，，∴.中，，∴.∴，∴．所以直线与平面所成角的正弦值为.练习6．（2023春·山东临沂·高三校考期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，，分别是，的中点.(1)求证：平面；(2)若中点为，求证：平面平面.(3)若平面，，求直线与面所成的角.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，所以，从而得证；（2）依题意可得即可得到平面，再结合（1）的结论，即可得证；（3）依题意可得平面平面，由面面垂直的性质得到平面，则即为直线与面所成的角，再根据边长的关系得解.【详解】（1）取的中点，连接，，因为是的中点，所以且，又是的中点，是正方形，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为为的中点，是的中点所以，又平面，平面，所以平面，又平面，，平面，所以平面平面.（3）因为平面，平面，所以平面平面，又为正方形，所以，平面，平面平面，所以平面，所以即为直线与面所成的角，又，所以为等腰直角三角形，所以，即直线与面所成的角为.练习7．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）米斗是称量粮食的量器，是古代官仓､粮栈､米行及地主家里必备的用具､如图为一倒正四棱台型米斗，高为40cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意作出正四棱台的对角面，为外接球球心，为线段中点，过点作，垂足为，则即为所求角.【详解】由题意，作出正四棱台的对角面，如图为正四棱台上底面正方形对角线，为正四棱台下底面正方形对角线，为外接球球心，为线段中点，则，过点作，垂足为，则即为所求角.因为，所以，所以，所以，所以正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为.

故选:D.练习8．（2023·全国·高三专题练习）在长方体中，，，，则与平面所成角的正切值为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】连接，利用线面角定义知为所求的角，在直角中，即可求解.【详解】在长方体中，平面，是与平面所成的角，连接，平面，，又，，，所以，在直角中，，即与平面所成角的正切值为．故选：D．练习9．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E、F分别为AA1、AC的中点.

(1)求证：EF∥平面CDA1B1；(2)求EF与平面DBB1D1夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面平行的判定，只要证明平行于平面CDA1B1内一条直线即可；（2）如图，利用面面垂直确定线面角为，解三角形即可.【详解】（1）由为交点，连接交于点，连接，由为中点，则∥，由平面CDA1B1，平面CDA1B1，所以EF∥平面CDA1B1；（2）连接交于点，连接，由平面，则，又，且，所以平面，所以平面，又平面平面，作于，则平面且为中点，则为EF与平面DBB1D1所成角，由AA1=2AB，不妨设，则，，所以.

练习10．（2023·全国·模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面平面，平面，是边长为2的正三角形，，．

(1)点为线段上一点，求证：；(2)求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，证得平面，得到，且，得到所以四边形为平行四边形，所以，再由，证得平面，得到平面，即可证得；（2）过作垂直于，证得平面，得到即为与平面所成角，在直角，即可求得与平面所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取中点，连接，

因为是边长为2的正三角形，可得，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，且，又因为平面，所以，因为，可得，所以四边形为平行四边形，所以，由，且为的中点，可得，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）解：在中，，且，由余弦定理得，所以，如图所示，过作垂直于，交延长线于点，即，连结，因为平面，且平面，所以，又因为，且平面，所以平面，所以即为与平面所成角,在直角中，可得，在直角中，可得，所以，即与平面所成角的正弦值为.

题型三 求平面与平面的夹角例5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）如图，正四棱柱中，，E，F分别为，的中点，则下列结论错误的是（

）A．平面BEFB．直线与直线BF所成的角为C．平面BEF与平面ABCD的夹角为D．直线与平面ABCD所成的角为【答案】ABC【分析】对于A，若平面BEF，则，与矛盾；对于B，假设直线与直线BF所成的角为，可得平面，所以，显然这是不可能的；对于C，可证得即为平面BEF与平面ABCD的夹角，求判断即可；对于D：直线与平面ABCD所成的角即为直线与平面ABCD所成的角.【详解】对于A，如图，连接，由题意，又E，F分别为，的中点，可得，若平面BEF，则，进而．这显然不成立，故与平面BEF不垂直，A错误；对于B，假设直线与直线BF所成的角为，即，由正四棱柱的性质可知平面，而平面，所以，又与相交，、面，所以平面，而由正四棱柱的性质可知平面，所以，显然这是不可能的，所以假设不成立，因此B错误；对于C，分别延长，DA交于点P，连接PB，则直线PB即为平面与平面ABCD的交线．连接BD，，因为且，所以，所以，又平面，面，所以，又面，所以平面，又面，所以，所以即为平面BEF与平面ABCD的夹角，易知，故，C错误；对于D，可证，则直线与平面ABCD所成的角为，又根据题意易知，D正确．故选：ABC．例6．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知四面体ABCD，D在面ABC上的射影为，为的外心，，.

(1)证明：BC⊥AD；(2)若E为AD中点，OD=2，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意，连接并延长交于，连接，由线面垂直的判定定理可得面，即可证明BC⊥AD；（2）解法一：取中点，连接，作垂直交于点，连接，由题意可得即为平面与平面夹角的平面角.解法二：建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算，结合二面角的公式即可得到结果.【详解】（1）

连接并延长交于，连接，因为O恰好为△ABC的外心，所以，又，，所以，所以，即是的角平分线，又，所以由等腰三角形三线合一可得，因为D在面ABC上的投影为O，所以面ABC，又面ABC，所以，又面，所以面，又面，所以.（2）

解法一：在中，由（1）与等腰三角形三线合一可知是的中点，由（1）知，面ABC，取中点，连接，因为，,面ABC,作垂直交于点，连接，即为平面与平面夹角的平面角.由题可得，，，即平面与平面夹角的余弦值为.练习11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，求平面与平面所成二面角的大小．

【答案】【分析】设平面平面，证得平面，从而证得，得到为平面与平面所成二面角的平面角，在直角，即可求解.【详解】解：因为，且平面，平面，所以平面，如图所示，设平面平面，且平面，所以，因为平面，且平面，所以，又因为为正方形，可得，因为且平面，所以平面，所以平面，又因为平面，所以，所以为平面与平面所成二面角的平面角，在直角，可得，所以，即为平面与平面所成二面角的大小为.故答案为：.

练习12．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知，正三棱柱中，，延长至，使.(1)求证：；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过底面的边角关系可得，，进而可证得平面，从而得证；（2）法一：取中点，联结，可证得为二面角的平面角，从而得解.法二：建立空间直角坐标系用向量的方法求解.【详解】（1）因为是正三棱柱，所以，，且，从而又，所以，，即，又，、，平面，又，（2）解法一：取中点，联结.所以，又，故，因为平面，，所以，又，、，所以平面，又，所以，所以为二面角的平面角，因为所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.解法二：以直线为轴，直线为轴，直线为z轴建立空间直角坐标系.则，设平面的一个法向量，则，令，则，所以，又平面的一个方向量，设二面角的大小为，则，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.练习13．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）如图，在圆柱中，，为圆上一定点，为圆上异于点的一动点，，过点作平面的垂线，垂足为点.(1)若，求证：.(2)若为等边三角形，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）由线面垂直证线线垂直即可；（2）由二面角的定义，找到二面角的平面角，在三角形中求二面角的余弦值大小即可.【详解】（1）证明：由圆柱的性质得：，因为，所以，因为，所以，因为，，所以，又因为，所以，因为，所以.（2）过点作垂足为，过作于，连接，由已知，所以，，所以，，所以，所以，所以为二面角的平面角，又因为为等边三角形，，所以，在直角三角形中，，，所以，所以，在直角三角形中，，所以.练习14．（2023春·吉林·高三校联考期中）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.

(1)求证：直线平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理求解；（2）连接，，可证明为二面角的平面角，利用余弦定理求解余弦值即可.【详解】（1）连接交于点，连接，如图，则为的中点，由于是的中点，故，∵平面，平面，所以平面；（2）连接，，因为，是的中点，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，由底面是菱形，得，又平面，所以平面，又平面，所以，则为二面角的平面角，，，，由余弦定理可知，∴二面角的余弦值为.

练习15．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在圆锥中，已知底面，，的直径，是的中点，为的中点.

(1)证明：平面平面；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）连接，先根据是等腰直角三角形证出中线，再结合证出，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面平面；（2）依题意可得，则，再根据计算可得.（3）过分别作于，于，再连接，根据三垂线定理证明为二面角的平面角，最后分别在、、中计算出、和，最后求出所求二面角的余弦值．【详解】（1）连接，，是的中点，，又底面，底面，，，平面，平面，而平面，平面平面.（2）因为是的中点，是的直径，所以，所以，所以.（3）在平面中，过作于，由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，，在平面中，过作于，连接，，平面，所以平面，又平面，从而．故为二面角的平面角，在中，，在中，，在中，，在中，，所以，故二面角的余弦值为.

题型四 已知夹角求距离例7．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，已知顶点为的圆锥其底面圆的半径为8，点为圆锥底面半圆弧的中点，点为母线的中点.

(1)若母线长为10，求圆锥的体积；(2)若异面直线与所成角大小为，求、两点间的距离.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，求出圆锥的高，再利用锥体的体积公式计算作答.（2）取的中点，作出异面直线与所成角，再利用线面垂直的性质结合勾股定理求解作答.【详解】（1）圆锥的底面圆半径为8，母线长为10，而，则，解得，所以圆锥的体积为.（2）取的中点，连接,，

由弧为圆锥底面的半圆弧知圆锥底面圆心在上且为中点，为母线的中点，则与所成角为或其补角，由平面，得平面，平面，则，于是有，由是半圆弧的中点可得，则，所以.例8．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校考阶段练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折为，若F为线段的中点．在翻折过程中，(1)求证：平面；(2)若二面角，求与面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，通过证平面平面，可得面.（2）利用二面角的平面角的定义先找出二面角的平面角即为，再利用面面垂直的性质定理找到平面的垂线，从而作出与面所成的角，计算可得答案.【详解】（1）证明：取的中点，连接，为线段的中点，，平面，平面，平面，又，，四边形为平行四边形，则平面，平面，可得平面，又，，平面，可得平面平面，平面，则面.（2）取中点，中点，连接，，，由，，为边的中点，得，所以为等边三角形，从而，，又，为的中点所以，又是等边三角形，所以，所以为二面角的平面角，所以，过点作，过作交于，连接，是等边三角形，所以可求得，，所以，，，，，，所以，，又，，面，所以面，又，所以面，平面，所以面面，由，在中易求得，又，所以，，面面，面，所以面，所以为与平面所成的角，在中可求得，所以，与面所成角的正弦值为练习16．（2023·上海·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，分别为棱中点．(1)求证：平面平面；(2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据平行四边形性质和三角形中位线性质，结合线面平行的判定可得平面，平面，由面面平行的判定可证得结论；（2）根据面面垂直的性质可证得平面，由线面角定义可知，根据二面角平面角的定义可知所求二面角的平面角为，由长度关系可得结果.【详解】（1）为中点，，，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面；分别为中点，，平面，平面，平面；，平面，平面平面.（2）平面平面，平面平面，平面，，平面，即为直线与平面所成角，即；设，则，平面，平面，，；，，平面，平面，平面平面，即为二面角的平面角，，，，即二面角的大小为.练习17．（2023·上海·高三专题练习）如图，正四棱柱中，，点E、F分别是棱BC和的中点．(1)判断直线与的关系，并说明理由；(2)若直线与底面ABCD所成角为，求四棱柱的全面积．【答案】(1)相交；理由见解析(2)【分析】（1）连结.先根据三角形的中位线得出，且.然后证明四边形是平行四边形，即可推出四边形是梯形，进而得出结论；（2）由题意知，推得.在中，解得，即可求出四棱柱的面积.【详解】（1）如图1，连结.因为分别是的中点，所以，且.由正四棱柱的性质可知，，且，所以，四边形是平行四边形，所以，，且，所以，且.所以，四边形是梯形，所以，直线与相交.（2）如图2，连结，则即为直线与底面ABCD所成角，即，则在中，有.设，由题意知，则，在中，有，所以.所以，四棱柱的全面积为.练习18．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）如图所示，三棱台中，底面，．(1)证明：是直角三角形；(2)若，问为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）结合棱台的特征及条件先证得平面，由即可得结论；（2）作，先证为直线与平面所成角，设边长，结合条件解直角三角形得出含参表示的边长，作商即可解得.【详解】（1）∵平面，平面，∴又，，平面，∴平面，∵三棱台中，∴平面，又平面，，故是直角三角形．（2）在平面内作，垂足为，连接．由（1）知，平面，又平面，，，平面，平面，是在平面上的射影，即为直线与平面所成角．设，则，，∵三棱台中，，，．在中，，，在中，，解得．∴当时，直线与平面所成角的正弦值为．练习19．（2021春·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，是上一点.(1)求证：平面平面；(2)当的值为多少时，二面角的大小为.【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）根据题意，分别证得和，得到面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面.（2）作于，连接，证得是二面角的平面角，利用余弦定理，建立等量关系式，结合直角三角形的性质，即可求解.【详解】（1）证明（1）四棱锥的底面是正方形，可得，因为底面，平面，所以，又因为且平面，所以面，因为平面，所以平面平面.（2）解：作于，连接，因为底面，，可得，由底面，底面，所以，又因为，，所以平面，又由平面，所以，同理可证：平面，且平面，所以，所以和全等，因为，所以，且所以是二面角的平面角，要使，只需，解得，又因为，可得，因为，且，所以，可得，因为，所以，可得，又因为，所以，所以故当时，二面角的大小为.

练习20．（2023·河南·校联考模拟预测）在四棱锥中，底面ABCD，，，，且二面角为，则四棱锥的侧面积为（

）A． B．10 C． D．11【答案】C【分析】作出辅助线，得到为二面角的平面角，并结合余弦定理求出各边长，得到，可证，求出各个侧面的面积，得到侧面积.【详解】因为，，所以为正三角形，取BC的中点E，连接PE，AE，则．

因为底面ABCD，平面ABCD，所以，又，所以平面PAE，则，则为二面角的平面角，所以，所以，．因为，，，所以由余弦定理得，则，所以，因为底面ABCD，平面ABCD，所以，又，所以⊥平面，因为平面，所以，则，故，，，，所以四棱锥的侧面积为．故选：C题型五 求几何体的体积例9．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面．(1)证明：四边形是正方形；(2)若，为上一点，且满足，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）只需证，即可求证四边形是正方形.（2）根据椎体体积公式，即可求解.【详解】（1）证明：如图，过点作交于点；因为面面，面面,，面,所以面，而面，所以．又因为面，而面，，而，，面，面，故面，而面，故，由题意四边形是菱形，∴四边形是正方形．（2）∵设点到面的距离为，则由∵例10．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．(1)求证：平面平面PCD；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明过程见详解(2)【分析】（1）根据中位线定理和面面垂直的判定即可求解；（2）根据等体积法即可求解.【详解】（1）因为底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O所以O为AC中点，点E是棱PA的中点，F分别是棱PB的中点，所以OE为三角形的中位线，OF为三角形的中位线，所以,，平面，平面，平面，平面，平面，平面，而,平面，平面，平面平面PCD.（2）因为底面ABCD是边长为2的菱形，，所以为等边三角形，所以，因为底面ABCD，底面ABCD，底面ABCD，所以，，所以和均为直角三角形，所以，，所以，所以，所以，设点到平面的距离为，根据体积相等法可知，所以，所以.，故三棱锥的体积为.练习21．（2023·贵州·校联考模拟预测）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡除中，底面是边长为2的正方形，.(1)证明：平面平面.(2)求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）作出辅助线，由等腰三角形三线合一得到线线垂直，求出等腰梯形的高，得到，故，进而证明出线面垂直，得到面面垂直；（2）根据比练习关系得到，证明出线面垂直，求出，从而求出答案.【详解】（1）分别取和的中点，连接，因为底面是边长为2的正方形，，所以.在梯形中，，分别作垂直于，垂足分别为，则，故由勾股定理得，所以，易知，故.又，所以，因为，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.

（2）连接.因为，所以四边形的面积，所以.因为，平面，所以平面，因为平面，所以.因为，平面，所以平面，且.因为，所以，即四棱锥的体积为.练习22．（2023春·高三平湖市当湖高级中学校联考期中）如图，在正方体中，分别是棱的中点，设是线段上一动点.(1)证明：//平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）结合正方体的性质，利用线面平行的判定及性质即可证明；（2）利用等体积法求解三棱锥体积即可.【详解】（1）连结，，因为正方体，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，取中点，连结，因为是和的中点，所以，，且，，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，且，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，且，所以，平面，平面，所以平面，，平面，平面，所以平面平面，平面，所以平面，（2）因为正方体，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，所以三棱锥的高，所以.练习23．（2023·青海海东·统考模拟预测）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，底面ABCD，为棱上的一点.(1)证明：；(2)若三棱锥的体积为，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）过点作，垂足为，根据等腰三角形的性质得到，利用余弦定理求出，从而得到，由线面垂直得到，即可证明平面，从而得证；（2）设，，则，求出，即可求出，从而得解.【详解】（1）证明：过点作，垂足为，在等腰梯形中，因为，，所以，，在中，，则，则，因为底面，底面，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以.（2）设，，则，因为，所以，又，所以，解得，即当三棱锥的体积为时，.练习24．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，点D为棱AB的中点，点E为棱上一点.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积；(3)求直线与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)20(3)【分析】（1）先证明出平面，利用线面垂直的性质即可证明；（2）利用等体积法即可求解；（3）先判断出为直线与平面所成的角，在中利用余弦的定义直接求解.【详解】（1）∵三棱柱是直三棱柱，∴平面平面ABC.∵，，，∴，∴.∵平面平面，平面，∴平面.又平面，∴.（2）∵三棱柱是直三棱柱，∴点E到平面ABC的距离即的长，为5.∵D是AB的中点，∴，∴.（3）（3）由（1）知平面，∴为直线与平面所成的角.在中，，，∴，∴，即直线与平面所成角的余弦值为.练习25．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，四边形与四边形是全等的矩形，，若是的中点.

(1)求证：平面平面；(2)如果，求三棱锥与多面体的体积比值.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）通过证明平面，即可证明平面平面；（2）分别求出三棱锥与多面体的体积，即可得出三棱锥与多面体的体积比值.【详解】（1）由题意证明如下：∵，所以，又因为，且，面，面∴平面，又平面，所以.，即，所以，所以，同理，所以，即.又由于，∴，∵，平面，平面，所以平面，∵平面，∴平面平面.（2）由题意及（1）得，几何体为直三棱柱，，∵，，∴，而，∴.题型六 利用等体积法求点到面的距离例11．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图所示，正三棱柱中各条棱长均为2，点分别为棱的中点．

(1)求异面直线和所成角的正切值；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）连，，转化为求的正切值即可；（2）利用等体积法可求出结果.【详解】（1）连，，因为分别为棱的中点，所以，所以（或其补角）是异面直线和所成的角，因为正三棱柱中各条棱长均为2，点分别为棱的中点．所以，，，因为，所以，所以.

（2）连，依题意可得，，，，设点到平面的距离为，由得，得，得.即点到平面的距离为.

例12．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在直角三角形中，，将沿折起到的位置，使平面平面，点满足.(1)证明：；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据图中的几何关系，利用面面平行证明线面垂直，再证明线线垂直；（2）运用等体积法求解.【详解】（1）在直角三角形中，因为，所以，即在四棱锥中，，平面PDB，平面PDB，所以平面，从而平面，如图，在上取一点，使得，连接，因为，所以，所以，又，所以四边形是矩形，所以，平面MEF，平面MEF，平面MEF，在中，，所以，平面MEF,平面MEF，平面MEF，又因为，平面PBD，平面PBD，所以平面平面，所以平面，故；（2）连接，因为平面平面，交线为，且，所以平面，所以三棱锥的体积，所以，在中，计算可得，由余弦定理得，所以，，设点到平面的距离为，则，故；综上，点M到平面PBE的距离为.练习26．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）如图在多面体中，，平面，为等边三角形，，，，点M是AC的中点.(1)若点G是的重心，证明：点G在平面内；(2)求点G到的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先取中点N，得到G在线上，再利用中位线定理证得，从而得证；（2）利用等体积法与解三角形的相关知识，求得到面的距离，从而利用比练习得到G到的距离.【详解】（1）取中点N，连接，，如图所示，因为点G是的重心，故G一定在中线上，因为点M是AC的中点，点N是的