专题29 圆锥曲线中的定点问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）

第第页专题29圆锥曲线中的定点问题考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直恒过定点（

）A． B． C． D．【解析】设的方程为,则由，设，又，，又代入整理得：或，当，直线过，舍去，当b=3时，过定点，故选：C2．已知椭圆为椭圆的右顶点，直线交于两点，且，则恒过除点以外的定点（

）A． B． C． D．【解析】椭圆为椭圆的右顶点，所以，由题意知：若直线的斜率存在，设直线为，则，联立可得，设，则，，因为，即，则，即，即，因此，即，所以直线过定点，不符合题意，舍去；，所以直线过定点，符合题意；当直线的斜率不存在时，直线为，此时设，，符合题意，故直线恒过除点以外的定点，故选：A.3．已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点，且，则直线过定点（

）A． B． C． D．【解析】设直线的方程为，，则由整理得，所以，，因为，，，所以，，解得或，当时，直线的方程为，直线过点而，而不在同一直线上，不合题意；当时，直线的方程为，直线过，符合题意.故选：D.4．定义：若点在椭圆上，则以为切点的切线方程为：.已知椭圆，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点（）A． B． C． D．【解析】因为点在直线上，设，，，所以的方程为，又在上，所以①，同理可得②；由①②可得的方程为，即，即，所以，解得，故直线恒过定点，故选：C5．如图，设直线与抛物线(为常数)交于不同的两点，且当时，抛物线的焦点到直线的距离为.过点的直线交抛物线于另一点，且直线过点，则直线过点（

）

A． B． C． D．【解析】直线，即，依题意，到直线的距离为，所以抛物线方程为，直线，由消去并化简得，，且，设，则.由，直线的方程为，所以，即，则，故，所以，所以，直线的方程为，即，则，故，所以，也即直线过定点.故选：A.6．已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（

）A． B． C． D．【解析】设直线方程为，联立，整理得：，需满足，即，则，由，得：，所以，即，故，所以直线l为：，当时，，即直线l恒过定点，故选：A.7．已知为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，若在轴的负半轴上存在定点，使得，则（

）A． B． C． D．【解析】由题知.设，当时，因为，所以，所以，所以，即.当时，，.因为，所以.将代入并整理得，由解得.故选：A．8．是抛物线C：上一定点，A，B是C上异于P的两点，直线PA，PB的斜率，满足为常数，，且直线AB的斜率存在，则直线AB过定点（）A． B．C． D．【解析】设，则，相减得，，同理得：，为常数，，，整理有，①设直线AB：，代入抛物线方程得：，，则，代入①，得：，有，代入AB的直线方程，得：，，，直线过定点，则，解得：，即，直线AB所过定点.故选：C.二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知双曲线的两个顶点分别是，两个焦点分别是．P是双曲线上异于的任意一点，则有（

）A． B．若，则C．直线的斜率之积等于 D．使得为等腰三角形的点P有8个【解析】由双曲线可得，，所以，，，，，对于A.由双曲线的定义得，故A错误.对于B.设，则，，因为，所以，因为，，所以，故B正确.对于C.设，则，所以，故C错误.对于D.若在第一象限，则当时，，，为等腰三角形；当时，，，为等腰三角形；因此，使得为等腰三角形的点P有8个，故D正确.故选：BD.10．已知的左右顶点为为的上顶点，，点为直线上的动点，与的另一个交点为与的另一个交点为.则的方程为（

）直线恒过定点（

）A． B． C． D．【解析】如图所示：由题意，，，，，，解得：，故椭圆的方程是；因为，，设，则直线的方程是，联立，由韦达定理，代入直线的方程为得：，即，，直线的方程是，联立方程，由韦达定理，代入直线的方程为得，即，，则①当即时，有，此时，即为直线，②当时，直线的斜率，直线的方程是，整理得：，直线过定点．综合①②故直线过定点．故选：AC11．已知抛物线：，为坐标原点，直线交抛物线于，两点，若，则（

）A． B．直线过定点C．的最小值为 D．的最小值为2【解析】设直线的方程为联立，得，则，又，则即所以，(舍），，则即，所以直线的方程为则直线过定点，故正确；，当时，等号成立，即的最小值为，故错误；因为，则，当且仅当，即时，等号成立，故正确.故选：12．已知是抛物线内一动点，直线过点且与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（

）A．时，的最小值为B．的取值范围是C．当点是弦的中点时，直线的斜率为D．当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有【解析】抛物线的焦点，准线方程为，对于A，当时，点与重合，设直线的方程为，，由消去x并整理得，则，，当且仅当时取等号，所以当时，的最小值为，A正确；

对于B，显然点在直线上，由选项A知，当时，可得，由点在抛物线内，知，所以的取值范围是，B正确；对于C，当点是弦的中点时，设，，若，直线的斜率不存在，若，则直线的斜率，C错误；对于D，由选项C知，当时，线段的中垂线斜率为，方程为，即，此直线过定点，当时，线段的中垂线为，过点，所以线段的中垂线恒过定点，即当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有，D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．抛物线上有三点，，，直线和的斜率之和为2，则直线恒过定点的坐标为.【解析】因为抛物线过点，所以，所以，即抛物线方程为：，设直线的方程为，设，联立，所以得，所以又，整理得，即，所以或当时，直线的方程为，直线过定点；当时，直线的方程为，直线过点，此时三点共线，不符合题意.综上，直线恒过定点的坐标为.14．设为椭圆的两个焦点，为上一点，且在第一象限，若为等腰三角形，则的坐标为．【解析】因为为椭圆的两个焦点，为上第一象限内的点，设，，，且有①若，则，解得，代入椭圆方程可得，所以；②若，则，显然不满足题意，舍去.故答案为15．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为.【解析】因为双曲线方程为一条渐近线的倾斜角的正切值为.所以，解得，所以双曲线方程为.设，，联立得，.由韦达定理得，.因为，所以.所以，由题意知，此时.所以直线方程为，恒经过的定点为.16．双曲线的左、右两支上各有一点A、B，点B在直线上的射影是点，若直线AB过右焦点，则直线必定经过的定点的坐标为．【解析】双曲线的右焦点为，设，直线与双曲线方程联立得，则，所以，直线的斜率为，所以直线的方程为，令化简得，，即，则恒成立，所以直线必定经过的定点的坐标为四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．设椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，且焦距为2．点P在椭圆上且异于A、B两点．若直线PA与PB的斜率之积为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点作不与轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作垂直于直线，交于点E．判断直线是否过定点，并说明理由．【解析】（1）由题意有，，设，，化简得,结合，可得，由椭圆焦距为2，有，得，，椭圆C的标准方程为；（2）设直线方程：，，，，

联立方程，得，所以，，所以，又，所以直线方程为：，令，则．所以直线过定点.18．已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点若直线，与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.【解析】（1）由题意知，椭圆E的焦点在x轴上，所以设椭圆方程为，焦距为，所以周长为，即，，因为左焦点，所以，，所以，所以椭圆E的标准方程为.（2）由题意知，,，直线斜率均存在，所以直线，与椭圆方程联立得，对恒成立，则，即，则，同理，，所以，所以直线方程为：，所以直线过定点，定点坐标为.19．已知椭圆的左顶点，点是椭圆上关于原点对称的两个动点（点不与点重合），面积的最大值是2.(1)求椭圆的方程.(2)若直线与轴分别相交于点，是否存在定点，总有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（1）由题意知，设椭圆的右顶点为，，所以，即的最大值为2，所以，所以椭圆的方程为；（2）设，由得到：，即，设，直线的方程分别是，联立，解得，即点的坐标为，因为点在椭圆上，所以，化简得；同理，，所以m、n是方程的两个异根，得.有，当且仅当，即时恒成立，因此，存在点或使得恒成立.20．已知抛物线：，为坐标原点，过作一条直线，与抛物线相交于，两点，若线段的最小值是2．(1)求抛物线的方程；(2)当直线与轴垂直时，设、是抛物线上异于、两点的两个不同的点，直线、相交于点，直线、相交于点，证明：直线恒过定点．【解析】（1）由题意不妨设直线：，联立方程组：，得，所以，，∴∴即，所以抛物线的方程为.（2）由（1）知，，由对称性可得，该定点在轴上，设设，，，，直线为①．直线为．②联立①②，解得，即由理可得，直线的斜率，直线的斜率．因在直线上，所以，得当时，原式化为得∴即，∴即直线过定点又当时，直线是轴，也过故直线过定点．21．已知椭圆的离心率为，长轴的左端点为.(1)求C的方程；(2)过椭圆C的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点.【解析】（1）由题可得，，得，所以椭圆的方程：；（2）椭圆右焦点坐标为，由题直线斜率不为零，设直线l方程为，设，，由题，联立方程组，消去x得，所以，，，得，同理，，得，设轴上一点，则，同理得:，，因为，得：，即或，所以以DE为直径的圆恒过x轴上定点，定点分别为，.22．已知过曲线上一点作椭圆的切线，则切线的方程为.若为椭圆上的动点，过作的切线交圆于，过分别作的切线，直