第十一章 三角形 素养基础测试卷【解析版】

第十一章三角形素养基础测试卷参考答案一．选择题（共10小题）1．画△ABC的边BC上的高，正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．此图形中AD是BC边上的高，符合题意；B．此图形中CD不是BC边上的高，不符合题意；C．此图形中CD是AB边上的高，不符合题意；D．此图形中AD不是AB边上的高，不符合题意；故选：A．2．由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（）A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形的内角和为180° D．垂线段最短【解答】解：由图可知，手机和支架组成了一个三角形，而三角形具有稳定性，所以手机能稳稳放在支架上．故选：A．3．若一个三角形的两边长分别为2cm，7cm，则它的第三边的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：7﹣2＜x＜7+2，解得：5＜x＜9，故选：C．4．若一个多边形的内角和为540°，则该多边形的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由多边形的内角和公式可得，（n﹣2）×180°＝540°，解得：n＝5，故选：C．5．下列说法正确的个数有（）①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内；②直角三角形只有一条高；③三角形的高至少有一条在三角形内；④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错误；②直角三角形有三条高，故错误；③三角形的高至少有一条在三角形内，故正确；④三角形的高，角平分线及中线都是线段，故错误；故选：A．6．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；②因为∠A：∠B：∠C＝1：5：6，设∠A＝x，则x+5x+6x＝180，x＝15°，∠C＝15°×6＝90°，所以△ABC是直角三角形；③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形；④因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°，△ABC不是直角三角形；能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个．故选：C．7．如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD，根据所标数据，则∠A的度数为（）A．54° B．64° C．66° D．72°【解答】解：如图，根据题意得：∠DEF＝126°，∠FGC＝118°，∴∠AED＝180°﹣126°＝54°，∠BGF＝180°﹣118°＝62°，∵DE∥CG，FG∥CD，∴∠B＝∠AED＝54°，∠C＝∠BGF＝62°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°．故选：B．8．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，则AC的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【解答】解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，∴AM＝BM，∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，∴BC﹣AC＝3cm，∵BC＝8cm，∴AC＝5cm，故选：C．9．如图，一只蚂蚁从点A出发每向前爬行5厘米，就向左边偏转9°，则这只蚂蚁回到点A时，共爬行了（）A．100厘米 B．200厘米 C．400厘米 D．不能回到点A【解答】解：360°÷9°×5＝40×5＝200（厘米）答：这只蚂蚁回到点A时，共爬行了200厘米．故选：B．10．如图，CG平分正五边形ABCDE的外角∠DCF，并与∠EAB的平分线交于点O，则∠AOG的度数为（）A．144° B．126° C．120° D．108°【解答】解：∵任意多边形的外角和等于360°，∴∠DCF＝360°÷5＝72°．∴这个正五边形的每个内角为180°﹣72°＝108°．∴∠B＝∠EAB＝∠BCD＝108°．又∵AO平分∠EAB，∴∠OAB＝．又∵CG平分∠DCF，∴∠DCG＝．∴∠BCO＝∠BCD+∠DCG＝108°+36°＝144°．∴∠AOC＝360°﹣（∠BAO+∠B+∠BCG）＝360°﹣（54°+108°+144°）＝54°．∴∠AOG＝180°﹣∠AOC＝180°﹣54°＝126°．故选：B．二．填空题（共5小题）11．若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|＝2b﹣2a．【解答】解：根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，∴原式＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（a+c﹣b）＝﹣a+b+c﹣a﹣c+b＝2b﹣2a．故答案为：2b﹣2a12．正n边形的一个内角度数是一个外角度数的3倍，则n＝8．【解答】解：设外角为x°，则其内角为3x°，则x+3x＝180，解得：x＝45，∵正n边形外角和为360°，∴n＝360÷45＝8．故答案为：8．13．内角和与外角和之比是5：1的多边形是十二边形．【解答】解：设多边形的边数为n，则[（n﹣2）•180°]：360°＝5：1，∴（n﹣2）•180°＝5×360°，解得n＝12．故答案为：十二．14．如图，在△ABC中，延长AB至D，延长BC至E如果∠1+∠2＝230°，则∠A＝50°．【解答】解：∵∠1，∠2是△ABC的外角，∴∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，∵∠1+∠2＝230°，∴∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝230°，即2∠A+∠ACB+∠ABC＝230°，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴2∠A+180°﹣∠A＝230°，解得：∠A＝50°．故答案为：50°．15．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为1cm2．【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），∴S△BCE＝2（cm2），∵F为EC中点，∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．故答案为1．三．解答题（共8小题）16．根据图中相关数据，求出x的值．【解答】解：由四边形内角和等于360°，得x+（x+9）+125+90＝360，解得x＝68．答：x的值为68．17．已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，若三角形的周长是小于18的偶数．（1）求c边的长；（2）判断△ABC的形状．【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，∴2＜c＜10，∵三角形的周长是小于18的偶数，∴2＜c＜8，∴c＝4或6；（2）当c＝4或6时，△ABC的形状都是等腰三角形．18．若一个多边形的内角和的比它的外角和多90°，那么这个多边形的边数是多少？【解答】解：设这个多边形的边数是n，由题意得：（n﹣2）×180°﹣360°＝90°，∴n＝12，答：这个多边形的边数是12．19．如图，在△ABC中（AB＞BC），AB＝2AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长．【解答】解：设AC＝x，则AB＝2x，∵BD是中线，∴AD＝DC＝x，由题意得，2x+x＝30，解得，x＝12，则AC＝12，AB＝24，∴BC＝20﹣×12＝14．答：AB＝24，BC＝14．20．如图，在四边形ABCD中，BD⊥CD，EF⊥CD，且∠1＝∠2．（1）求证：AD∥BC；（2）若BD平分∠ABC，∠A＝130°，求∠C的度数．【解答】解：（1）证明：如图，∵BD⊥CD，EF⊥CD（已知），∴BD∥EF（垂直于同一直线的两条直线平行），∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3（等量代换）．∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．（2）∵AD∥BC（已知），∴∠ABC+∠A＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠A＝130°（已知），∴∠ABC＝50°．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠3＝∠ABC＝25°．∴∠C＝90°﹣∠3＝65°．21．阅读小明和小红的对话，解决下列问题．​（1）这个“多加的锐角”是30​度．（2）小明求的是几边形内角和？（3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？【解答】解：（1）12边形的内角和为（12﹣2）×180°＝1800°，而13边形的内角和为（13﹣2）×180°＝1980°，由于小红说“多边形的内角和不可能是1830°，你一定是多加了一个锐角”，所以这个“多加的锐角”是1830°﹣1800°＝30°，故答案为：30；（2）设这个多边形为n边形，由题意得，（n﹣2）×180°＝1800°，解得n＝12，答：小明求的是12边形内角和；（3）正十二边形的每一个内角为＝150°，答：这个正多边形的一个内角是150°．22．如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°．（1）求∠AEC的度数；（2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，则BC＝10．​【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝65°，∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°，∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°，∴∠ECB＝∠ACB＝25°，∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°；（2）∵F是AC中点，∴AF＝FC，∵△BCF与△BAF的周长差为3，∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3，∴BC﹣AB＝3，∵AB＝7，∴BC＝10，故答案为：10．23．综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．​（1）如图1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝130°°（2）如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC的数量关系．（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度数．【解答】解：（1）∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣8°＝100°，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴，，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180＝130°；故答案为：130°；（2）∵外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，∴，．∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣，∵∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝