2022届高三一轮复习提高-学案06-函数图像（教师版）

函数图像

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知识框架

知识梳理

一、图像与变换

1.函数图像的平移、伸缩变换常表现在三角函数中，只要求记住即可

(1)平移变换可记为“左加右减，上加下减”

(2)伸缩变换可记为“横坐标0的倒数倍，纵坐标A倍”

2.函数图像的翻折常结合平移进行多次变换，应用于数形结合解决方程、不等式问题

(l)/(-x)与-f(x)的变换呈现为左右翻折与上下翻折

(2)/(区)可视作偶函数应理解为“正不动负对称"，|〃x)|可视作去绝对值应理解为“正不动负变号”

3.函数的变换应注重变换次序，在复杂的变换途中可巧用逆向倒退法一步一步金蝉脱壳会更稳

二、图像与方程、不等式

1.用图像解决方程问题主要是通过交点来找到规律，下列两类必须要求掌握并熟练应用

(1)方程含参问题涉及根的情况分析(不具体根的进一步应用)都可通过图像的上下转化为交点的规律分析

(2)常见通过变形(通常叫参变分离)来达到a=/(x),利用常函数的''横线”上下平移来观察交点情况

(3)部分通过适度变形或变形中适时观察g(x)=/(x),发现两个函数的图像具有明显特质来实现交点情况

(4)关注：对任意占，存在吃,使得/a)=g(X2)或〃演)=/(々)属于值域的包含关系而不是交点问题

2.用图像解决不等式问题主要是通过上方或下方来找到规律，下列两类必须要求掌握并熟练应用

(1)恒成立问题或存在性问题都可转化为最值情况通过图像的上下或找最值或找“临界”

(2)常见通过变形(通常叫参变分离)来达到类似利用常函数的“横线”上下平移来观察

(3)部分通过适度变形或变形中适时观察g(x)4f(x),发现其中一个函数的图像的动态情况

(4)关注：有时可利用特殊点的函数值大小比较来达到图像的上下定位

三、分段与复合图像

1.分段函数作为高频考点呈现在两段图像的综合分析上，应准确分析各段图像的区间上图像问题

2.复合函数作为高频考点呈现在换元的转化分析上，通过换元分拆分析两个函数在其对应区间上图像

例题讲解

例1.(2019秋浦东新区校级期末)若关于x的方程9Tzl_4x3T7一4=。有实数根，则实数&的取值范

围是()

A.k<.0B.&…—4C.—4„Z<0D.—3„k<0

【难度】★★★

答案：D.

例2.(2020秋浦东新区校级)已知方程9x|x|-or+l=0恰有3个解，则a的取值范围为

【难度】★★★

答案：(6,+oo).

例3.(2020秋宝山区校级期末)当1/gaH/gbl，时，则a+»的取值范围是

【难度】★★★

答案：(3,4«)).

例4.设f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且f(x)=Fn2G，。激1,记g(x)=/⑴-“，若0<区,

[2log2xA<x<42

则函数g(x)在区间[T,5]上零点的个数是()

A.5B.6C.7D.8

【难度】★★★★

答案：D.

例5.设定义域为R的函数=则关于x的方程f2(x)+"(x)+c=0有7个不同的实

[0,x=l

数解得充要条件是()

A.5<0且c>0B.6>0且c<0C.。<0且c=0D.A.0且c=0

【难度】★★★★

答案：C.

7^(1x|-1),1%|>1

例6.若函数f(x)=兀,关于x的方程尸(x)-(a+l)/(x)+a=0,给出下列结论：

asin(—x),|x|„1

①存在这样的实数a,使得方程由3个不同的实根；

②不存在这样的实数”，使得方程由4个不同的实根;

③存在这样的实数a,使得方程由5个不同的实数根;

④不存在这样的实数”，使得方程由6个不同的实数根.

其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【难度】★★★★

答案：C.

例7.（2020春宝山区校级月考）已知函数={5（"<，〃）的值域是[-1,2],当时

2"一"-2,〃<m

g）,实数机的范围是

【难度】★★★★

答案：me[2,4J

例8.关于x的方程>/^^i=x+〃z有两个不同的实数解，则实数机的取值范围是（）

A.机」或/«<■!■B.加>1或〃卜一C.—<m,,1D.—„m<1

2222

【难度】★★

答案：D.

针对训练

1.已知函数/（尤）=1丁+2乂-2效卜0，则关于x的方程x—/*）=0在[-2,2]上的根的个数为（）

4&-1）+1,0<苍,2

A.3B.4C.5D.6

【难度】★★★

答案：B.

2.已知关于x的方程2x?-wx+l=0,存在两个不同的实根，则实数，〃的取值范围为（）

2

A.（2,3]B.（2也8；）C.[3,8；]D.（263]

【难度】★★★

答案：D.

jr

2sin-x,0M1

2

3.已知定义在R上的函数y=/（x）是偶函数，当工.0时,fM=­若关于X的方程

（；）*+|>X>I

"(x)F+4(x)+b=0(。，beR),有且仅有6个不同实数根，则实数。的取值范围是()

37

A.(-4,--)B.(-4,一5)

C.(-p-1)D.(-4-Z)|J(_Z-2)

222722

【难度】★★★★

答案：D.

4.(2020长宁区二模)已知函数=.若关于x的方程/(x)-x=6有三个不同的实数解，则实

|x|-l

数b的取值范围是

【难度】★★★

答案：(-00,-1)U(3,+oo).

5.设函数/(x)=F"-"，x<l,若〃x)有且仅有1个零点，则实数。的取值范围是_____

[x-a,x.A

【难度】★★★

答案：{a|0<av1或&.3}.

6.(2019秋•闵行区校级月考)关于x方程g(x2-4x+3-4x+3|)=Z有两个不同的根，则/的取值范

围是_______

【难度】★★★

答案：(—1,0).

7.若函数f(x)=3|cosx|-cosx+机，xw(0,2万)，有两个互异零点，则实数机的取值范围是

【难度】★★★

答案：(T,-2j|J{0}.

8.定义域和值域均为[-a,(常数a>0)的函数y=/(x)和y=g(x)的图象如图所示：

现有以下命题：

(1)方程力g(x)]=0有且仅有三个解；

(2)方程g"(x)]=。有且仅有三个解；

(3)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解;

(4)方程/"(x)]=0有且仅有九个解.

则其中正确的命题是()

VV

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(3)(4)

【难度】★★★★

答案：C.

9.若方程x+左-jn=O只有一个解，则实数k的取值范围是

【难度】★★

答案：1-1,1)|J{V2}.

能力提升

1.已知函数y=/(x)的定义域和值域都是[T,1](其图象如图所示)，函数g(x)=sinx,x&[-7r,乃|.定

义:当/(5)=0》€[—1,1])且8(电)=%(三日—乃,及)时,称々是方程/(g*))=0的一个实数根.则方

程/(g*))=o的所有不同实数根的个数是

【难度】★★★★

答案：6.

2.(2019秋浦东新区校级期末)已知两个函数/。)=8/+16工-3g(x)=5d+4x,其中人为实数.

(1)若对任意的xe[-3,3],都有/(x\,g(x)成立，求％的取值范围；

(2)若对任意的司，^£[-3,3],都有/(%),,g(w)，求人的取值范围；

（3）若对任意的耳£[-3,3],总存在小£[-3,3]使得/（x0）=g（x）成立，求々的取值范围.

【难度】★★★★

444

答案：(1)[63,+00)；(2)[120-,-K»);(3)[y,63].

《'A

熟练精进

1.若关于x的方程％+=x有两个不相等的实数解，则实数k的取值范围是

【难度】★★

Q

答案（-一，-2].

4

2.（2019春徐汇区校级期中）方程/g|x|=sinx的实数根的个数是

【难度】★★

答案：6

3.（2019虹口区二模）若函数f（x）=x|x-a|T（a€R）有3个零点，则实数a的取值范围是

【难度】★★★

答案：（4,+oo）.

4.关于x的方程9*+（a+4）.3*+1=0有实数解，则实数〃的取值范围为

【难度】★★★

答案：（-00,-6].

5.已知关于x的方程|x|-ax-l=0有一正一负根，则实数a的取值范围是

【难度】★★★

答案（-1,1）

6.若方程|d+2x-5|=2a有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是

【难度】★★★

答案：（0,3）

7.若曲线|>|=2，+1与直线丫=匕没有公共点，则〃的取值范围是

【难度】★★★

答案-掇必1

8.（2019秋嘉定区期末）已知关于x