2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟(上海卷)数学（解析版）

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟（上海卷）

数学

注意事项：

1.本场考试时间120分钟,满分150分.

2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名.将核对后的条形码贴

在答题纸指定位置.

3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区城，不得错位.在试卷上

作答一律不得分.

4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）考生

应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.已知集合4={-2,1,2},B={G+1M},且8C则实数&的值是.

【解析】因为5=所以aeA,&+leA,

当。=-2时，6+1无意义，不满足题意；

当时，6+1=2,满足题意；

当a=2时，＞/a+1=＞/2+1＞不满足题意.

综上，实数。的值1.

2.已知复数不％满足㈤=3,|z,|=l,若4和Z2的幅角之差为则刍=1=_________.

3Z1+z"

【解析】因为%|=3,同=1,设Z]=3(cosq+isin6Q,z2=cos02+isin6>2,

-Z13(cos0,+isin^)3(cos^+isin^)(cos^2-isin02)

加以z2cosft+isinq(cosg+isin)(cos02-isin02)

3[cos6]cos02d-sin^sinft,+i(sin^cos%-cos^sin02)^|

=3[cos(q_a)+isin(a_q)]

2

cos02+sin2，2

3-1

二「二22TTTT

2山题意可知a-a=1或a-2=-1，

Z+Z2五+1

Z2

当—刎5=3（喈+is呜度+亭i,

J鸡

4—222

ZE

22

336.

---------1

22

五-1

4-二2

Z*2后一B

Z2

综上所述:

z[+z2\13

3.已知3+尸=[，sina=-,则cos2〃=____

243

兀1

【解析】由已知可得a+2/=],故cos24=cosa=sina=—.

~~3

4.已知点P为正四面体ABC。的外接球上的任意一点，正四面体ABCO的棱长为2,则

西•方的取值范围为.

【解析】

如图，将正四面体放在正方体内，并建立如图所示的空间宜角坐标系，

•••正四面体A3CQ的棱长为2,则正方体的棱长为正，正四面体/8C。的外接球即为图中

正方体的外接球，其半径为七则(2R)2=3X(&)2=/?2=(则A-专,一去,*,

I222J

设p(x,y,z),则V+y2+z2=g,则z241n一啦4z4当，

•・•丽也-苍-也f也-z1,而/亚7,"也—z],

(222)(222)

：.PA-PB=x2--+y2--+--yf2z+z2=x2+y2+z2-y/2z--=----y[2z

222222

=—\/2z+1£[1-\/3,1+y/3].

5.设xeR且x*0,则(x+2)(g-lj的展开式中常数项为.

【解析】的通项公式为4+1(―咪=(-1)七"-5

二4T

^-1]=(-1)°以方+(-『CX4+(-l)2C^-3+(-l)3C^-2+(-l)4C*T+(-l)5C^°,

Q(x+2)(1-l)=x[」T)+2(^--lj的常数项为：x(-l)4C^^-'+2(-l)5C^x°=5-2=3.

6.若函数〃x)=log2(x+m)+2的反函数的图像经过点(3,1),则f(3)=.

【解析】由于函数/(x)=log2(x+〃?)+2的反函数的图象经过点(3,1),

则/⑴=唾2(1+加)+2=3,解得旭=1,函数/(力=10氏(》+1)+2,.•.〃3)=

log2(3+l)+2=4.

7.已知比鸟、鸟、…、九是抛物线丁=8x上不同的点，点*2,0),若所+至+…+两=6,

则|丽|+质|+…+|两卜

【解析】设[a,%)，6(孙％)，6(%内)，…儿(/，加)，分别过…，儿，作抛物线的

准线的垂线，

垂足分别为窑。2，。3,…C。，.••<、8、乙、…、4。是抛物线V=8x上不同的点，点尸(2,0),

准线为x=-2,

|FPi|++=(Xj+2)+(x?+2)+(覆+2)+•,,+(X]o+2)=%+x,+x,+...+%。+20.

西+至+=+占+W+…+X|0=20.

.,.恒冏+怛司4---I-|F^|=再+*2+W+...+再0+20=20+20=40.

8.从集合｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中任取3个不同元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的

4B，C,则经过坐标原点的不同直线有条(用数值表示)

【解析】依题意，C=()，从｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝任取两个不同元素分别作为4,8的值有

A；=72种，

其中重合的直线，按有序数对(AB),

A<5有：(L2),(2,4),(3,6),(4,8)重合，(1,3),(2,6),(3,9)重合，(1,4),(2,8)重合，(2,3),(4,6),(6,9)

重合,(3,4),(6,8)重合，

有：(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)重合，(3,1),(6,2),(9,3)重合，(4,1),(8,2)重合，(3,2),(6,4),(9,6)

重合，(4,3),(8,6)重合，

所以经过坐标原点的不同宜线条数是72-9*2=54.

x-y<0

9x-2y>0

9.已知实数加>1,实数xj满足不等式组，x+y：6，若目标函数K+即的最大值等于

x,yeN

10,则加=.

x-y<0

9x-2y>0

【解析】由约束条件八作出可行域如图内的整数点(含边界线上的整数点),

x+y<6

x,yeN

fx-y=0fx+y=6125411

联立《乙，解得43,3),c:八。^二，^^化目标函数尸"叩为丁二—一x+—Z,

[x+y=6[9x-2y=01111mm

由图可知，当直线y=-'x+Lz过5时，直线在y轴上的截距最大，但5不是整数点，

mm

54

因为：00烂3,0<,故当产4,x=2时，z有最大值为2+4m=10,即m=2.

10.若a、bwR,|4>可且lim"+〃>lim"，贝心的取值范围是

1111n

"Tooa"«->ooa-----------------

【解析】由题意，lima"'+b"=lim[l+(-)"]=1+lim(-)",

n

♦isaaaa〃一力a

lim__=lim[^+(­)M]=a+lim(—)N,由于时>网，故J;<1,B|J-1<—<1,lim(—)n=0,

”->«”->8Qmoa|ciIa般a

an-]+bn-an+l+bn1

/.rhm------->hm-------<=>_>〃，

〃->ganana

[12

故a=———>0»(l-«2)xa>0<=>(l-«)(1+a)a>0.解得：”<-l或0<a<l

aa

11.平面直角坐标系中，满足到耳(T，0)的距离比到6(1,0)的距离大1的点的轨迹为曲线T,

点匕("，")(其中%>0,nwN*)是曲线T上的点，原点0到直线EE的距离为〃，则!吧

【解析】设曲线T上的点为P，由题意，|「用-|尸工|=146鸟|,

则曲线T为双曲线的右支，焦点坐标为耳(-1，0),6(1,0),

2a=1,a=—,c=l,i>2=c2-a2=1--=—,

244

•••双曲线方程为4/_g），2=1（x20）.所以渐近线方程为y=±6x,

而点《,（”，¥,）（其中弘>0，〃wN*）是曲线T上的点，

当时，直线月鸟的斜率趋近于G，即5弓=技

则*:y=£（x-l）,即由x-y-G"‘配""=J（/？］尸等

abab>0

12.任意实数a,b,定义ag6=1a,八，设函数f（x）=lnx位x,正项数列｛q｝是公比

—ab<0

大于0的等比数列，且a,010=1，/（4）+/（4）+/（%）+…+/（%019）+/（。2020）=一6，则a2020

xlnx,x.A

【解析】由题意/(x)=(lnx)③尤二Inx八」因为x>l时,

——,0<x<l

.x

一、[In/

/W+/I-I=xlnx+下-=0；

当％=1时，/(1)=0；Ovxvl时，+>1=-^+—In—=0,

\x)xxx

所以x>0时，〃x)+/(£|=0恒成立；因为正项数列｛%｝是公比大于0的等比数列，且

《010=1，

所以4。2019=42a2018=…="IOOWIOI|=。品0=1，

所以/(4)+“%19)="%)+/(丹18)=…=f(4oo9)+f(4ou)=°，

又/(/。)=°，/(4)+/(«2)+/3)+…+/(-9)+/(。2020)=~,所以/(叼⑼卜-6：

当《>1时，%)20>1,所以嗫"嗫0=-e,此时无解；

设g(x)=—(0<x<l),g，(x)=上">0,xe(0,1)恒成立，g(x)在(0,1)单调递增,

XX

।In-]

当0<”1时，。<%02G<1,所以烈蟠一方千，解得《02。,,

“2020-e

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在

答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.在数列｛%｝中，已知。“=〃2+而（〃€汗），则“4<4”是“｛%｝是单调递增数歹产的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】已知二川+力^作底)，若q<4，Bp2+l<22+4,解得4>一3.

若数列｛为｝是单调递增数列，对任意的〃wN=凡…即〃2+九〃<(〃+1)2+4(〃+1),

所以，丸>一2〃一1对任意的〃cN*恒成立，故;l>—3,

因此，“4是“㈤｝是单调递增数列”的充要条件.故选：C.

14.下列不等式恒成立的是()

A.x2+-B.卜一引十----22

XXx-y

C.|x-y|>|x-z|+|y-z|D.Vx+3-Vx-1>>/x+2-\/x

【解析】对于选项A,(X2H)-(X­—)=(XH)2—2-(X-)=(XH----)2—-,

xxxxx24

而x+，N2或x+—0-2,令/=x+—£(-00,-2]U[2,+oo),则

XXX

(.x2+—)-(x+-)=(f-^)之一7K),所以d+—次+一,故A正确；

x2x24X2X

[3

对于选项B,当x-y=-2时，\x-y\=2f所以|x-y|+1二^=2-：=]V2,故B错误；

对于选项C,因为|x-y|=|(x-z)-(7-z)|<|x-z|+[y-z|,故C错误;

对于选项D,因为(471-=I)?-(jm—«)2=(x+3)+(x-1)-2j(x+3)(x-l)-

[x+2+x-2J(x+2)x]

=2yj(x+2)x-2J(%+3)(x-l)=2(飞x2+2x-y/x24-2x—3)>。，所以D错误.

故选：A.

15.如图，在棱长为1的正方体ABC。-48cA中，P、0、H分别是棱力反8c的中点，

以△尸Q/?为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体

488-A4G2的表面上，则这个直三棱柱的体积为()

BcD.—

-T-516

【解析】如图所示:

连接曲,£>0再4,分别取其中点匕Q，N,连接P6QQ网,

则PPJIBD,,QQ、"BD、,RR、”BD、,且州=；BD、,QQ、=；BD、,RR、=”、,

所以几何体PQR圈是三棱柱，又PQLBD,PQLBB,,且BDcBBi=B,

所以PQ_L平面BBQ。，所以同理PRLB。，又PQcPR=P,

所以BR，平面PQR,所以三棱柱PQR-[Q内是直三棱柱，

因为正方体ABCD-ABCQ的棱长为1,所以PQ=PR=RQ泻,PR=QQ、=RR、=4,

所以直三棱柱PQR-6。内的体积为心与除乡当里=自，故选：C

2222216

16.已知数列｛%｝满足4川=4-34+4吗=3,则下列选项错误的是（）

A.数列｛4｝单调递增B.数列｛%｝无界

C.limf-----F…4-----=1D.^IOO=101

〃->田14-1〃“一1,

【解析】q田一%="；—23+4=（q—lf+3>0,所以数列｛q｝单调递增，423恒成立，

故A,B正确；

a

”,用=n-3凡+4=>an+i-2=a；:-3a„+2=（凡一2）（q,-1）n—-=-----------,

[__1______1_]__J_______1_

=4+1-2a„-2a„-\a„-\an-2j-2，

111I1I1111

所以----+…H----------=-----------------------1-----------------------F…H--------------------------=------------------------

4一1々「I4一2%-2a2-2a3-2勺—2。用一2a｝-2am+l-2

所以㈣力lim—=1,故C正确:

-2

因为%=W-3%+4,q=3，所以的=4,%=8,%=44,%=44?-44X3+4>1。1，结合数列

｛4｝单调递增，所以4a尸101,故D错误，

故选：D.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要

的步骤.

17.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，直三棱柱ABC-AMG中，ABA.AC,AB=AC=抽=2,点。是3c的中点.

（1）求三棱锥G-ACD的体积；

（2）求异面直线AC与G。所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

【解析】（1）由题意得SAA8=；XSMBC=；X（；XABXAC）=；X（；X2X2）=1

11?

所以三棱锥G-AC。的体积％.皿=丁538'。。1=§乂卜2=3.

即所求G-AC。三棱锥的体积为

（2）连接A。，由题意得8C=JA*+A灰=2向,AD=^BC=y/2,且AC〃AG，

所以直线AG与C\D所成的角就是异面直线AC与G。所成的角.

在AAC。中，AC=2,＜。=Jcc：+cb1=/=而，AD=ylW+AD2=遥,

由余弦定理得cosNAClJq+f0;竽、也因为NAGOw（0,i）,所以

zx^CjxCjD6

ZA[ClD=arccos£.

因此所求异面直线4c与G。所成角的大小为arccos也.

18.体小题满分14分.第1小题满分6分，第2小题满分8分）

落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平

面图呈直角三角形的迎宾区，ZAC5=p迎宾区的入口设置在点力处，出口在点8处，游

客可从入口沿着观景通道，-C-8到达出口，其中AC=300米，8c=200米，也可以沿便捷

通道/-尸-8到达出口（P为△/BC内一点）.

13

（1）若△P8C是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该

游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）

（2）园区计划将△尸8c区域修建成室外游乐场，若NBPC唱,该如何设计使室外游乐场的面

积最大，请说明理由.

【解析】⑴由题设，ZPC4=PC=100底米，PB=100夜米，在△出（7中，由余弦定理

得

PA2=AC2+PC2-2AC-PCcos-,于是PA=100石米.

4

游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口,所需时间为6=30°^200=10分钟，

游客沿便捷通道A-P-B到达出口所需时间为弓=32与警1=2（逐+应）分钟，

所以该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快10-2（方+点卜3分钟.

⑵々PC#，设/PCB=e,则91,

3楞3

200_PBPC

在APBC中，"踩=?-氏由正弦定理得:彳一熹万一时二

帘400G.A400二■n\

得PB=---sin，，PC=---sinlI.

所以△PBC面积

c1__.2乃40000。.（兀R.A20000g.（.吟10000G

S=-PlJBDPCsin——=--------sin6sin6=--------sin2。a+-----------,

233UJ3I6j3

当0=£ef0,g］时，APBC面积的最大值为咽述平方米.

6I3J3

19.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0

站，第1站，第2站......第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子

向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从左到Z+1）,若掷出反面，棋向前跳两站（从

上到％+2）,直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游

戏结束.设棋子跳到第n站概率为己.

（1）求练，片，鸟的值；

（2）求证：匕一文|=一；（立「立2），其中“eN,2釉99,并求6及4o的值.

【解析】（1）棋子开始在第0站为必然事件，,4=1.

第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为••.《=3.

棋子跳到第2站应从如卜两方面考虑：

①前两次掷硬币都出现正面，其概率为1；②第一次掷硬币出现反面，其概率为尢

42

（2）证明：棋子跳到第〃（2蒯799）站的情况是下列两种，而且也只有两种:

①棋子先到第2站，又掷出反面，其概率为;《一2；

②棋子先到第”-1站，又掷出正面，其概率为gEi.

jJ;P'~P-'

当啜h9时，数歹日月一21｝是首项为6-6=-；，公比为的等比数列.

20.（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

22

已知P（0,l）为椭圆C：?+《=1内一定点，0为直线/：y=3上一动点，直线P0与

椭圆C交于48两点（点8位于P、。两点之间），。为坐标原点.

IT

(1)当直线尸。的倾斜角为I时，求直线。。的斜率；

(2)当A/08的面积为T时，求点。的横坐标；

(3)设丽=4而，AB=pBQ,试问冗-〃是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请

说明理由.

【解析】⑴因为直线尸。的倾斜角为:，且尸(0,1),所以直线尸。的方程为：y=x+i,

由|=3，得Q(2,3)，所以直线的斜率是后a=,

(2)易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为、=丘+1,

女+£=i

由《43,得(3+4公卜?+8区一8=0,

y=kx+\

8k8

设A(x,X),8(w，%)，则+W=-——T,为•々=-T-77'

3।^TKJ十^TK

2

所以％一々卜yj(x,+x2)-4xl-x2=，

所以S”=g|0P小7卜2空第=|,解得即

(=J_

所以直线尸。的方程为y=gx+l或y=-1+l,由),得Q(4,3)；

由bT+I,得。(~4,3)；

j=3

(3)易知直线尸。的斜率存在，设宜线P。的方程为x=〃z(y-l),

■r22

入__|__2_=]

由J43一,得(4+3m2)(y_iy+8(y_l)_8=0,

x=

QQ

设4(占，乂)，8(々，%),则y-l+y-l=~-,(y1-l)(y-l)=--,

24+5m224+5m

所以y—1+为-1=(y—1)，因为AA=>I2巨，AB=/.IBQ,

i-y.,』一.必-3+3%

所以行所以"=

%-i3-y23f

=21(lf)+(lf)］+2(l-X)(l-yJ

(%T(3f)一,

21.(本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

已知函数/(x)的定义域为R,若存在常数々和A,对任意的xcR,都有|/(x)-娟”

成立，则称函数”X)为"拟线性函数”，其中数组化A)称为函数〃x)的拟合系数.

⑴数组(2,1)是否是函