广东省佛山市南海区艺术高级中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题

2023-2024学年南海艺术高级中学高三上学期期中考数学试卷（满分150分，考试用时120分钟）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.设集合，且，则（）A.6B.4C.-4D.-62.若，则（）A.-2B.0C.D.3.设为等差数列的前项和，设甲：，乙：是单调递减数列，则（）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件4.在中，是边上一点，且，点是的中点设，则（）A.B.C.D.5.某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长（）和厚度x（）满足：.一张长边长为26，厚度为0.01的矩形纸最多能对折的次数为（）A.6B.7C.8D.96.在中，，且的面积为，则（）A.B.C.D.7.设为数列的前n项积，若，，且，当取得最大值时，（）A.6B.8C.9D.108.已知正三棱柱的底面边长为，高为3，截去该三棱柱的三个角（如图1所示，D，E，F分别是三边的中点），得到几何体如图2所示，则所得几何体外接球的表面积是（）A.B.C.D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有2个是符合要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知实数a，b满足，则下列不等式一定正确的是（）A.B.C.D.10.已知函数的部分图象如图所示.则（）A.B.在区间内有两个极值点C.函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D.A，B，C是直线与曲线的从左至右相邻的三个交点，若，则11.正方体中，P是体对角线上的动点，M是棱上的动点，则下列说法正确的是（）A.异面直线与所成的角的最小值为B.异面直线与所成的角的最大值为C.对于任意的P，存在点M使得D.对于任意的M，存在点P使得12.已知定义在上的函数，满足，为的导函数，且对于任意的，都有，则（）A.B.C.，D.，三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在的展开式中，含项的系数是___________（请用数字作答）.14.已知同一平面内的单位向量，满足，则___________.15.若直线l：与圆C：相交于A，B两点，，则直线l的斜率的取值范围为___________.16.已知双曲线的左､右焦点分别为分别为，，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线C的离心率为___________，过双曲线C上任一点Q作两渐近线的平行线QM，QN，它们和两条渐近线围成的平行四边形OMQN的面积为，则双曲线C的方程为___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）在锐角三角形中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若，，，求的面积.18.已知数列的前n项和为，，，设.（1）证明数列是等比数列并求数列的通项：（2）数列满足，设，求.19.如图，已知在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，，.（1）求点B到平面PCD的距离；（2）在线段PB上是否存在点E，使得二面角的余弦值为？若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由.20.抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中3双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：（1）在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；（2）取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望.21.已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称，证明：直线过定点.22.已知函数.（1）当，求函数的极值；（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围.参考答案1.D2.D3.A4.C5.B【详解】解：由题意得，因为，所以，故.6.D7.B【详解】由题易知，，∵，∴，故是公比为的等比数列，∵，∴，故.∴，∴，要使取得最大值，则为偶数，且取最小值，由二次函数知识知，当或9时，取最小值，只有，使得为偶数符合要求.8.A【详解】易知△DEF的外心即为的外心，如图，设△DEF的外心为，△ABC的外心为，则所得几何体外接球的球心O在直线上，因为正三棱柱得底面边长为，所以，，所以由正弦定理可得：，所以，同理，，设外接球的半径为R，则，联立解得：，，所以外接球的表面积为.9.AC【详解】选项A，由得，∴，故A正确；选项B，取，，可得，，不满足，故B错误；选项C，，∵，所以，故，∴，故C正确；选项D，设函数，，则，当时，，单调递减，故时，，即，故，故D错误.10.ABD【详解】A.由的部分图象可知，，可得，所以，由五点作图法可得，解得，，又，所以，所以函数的解析式为，故A正确；B.令得，，所以在区间上有和两个极值点，故B正确；C.函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，故C错误；D..若，不妨设A，B，C的位置如图1所示，则，，同理时，如图2，，，所以，故D正确.11.ABD【详解】以为坐标原点，建系如图，设正方体的边长为1，则，设，，则，设异面直线与所成的角为，则，A.当时，，，故A正确；B.当时，，，故B正确；C.设，，则，，当时，无解，故C错误；D.，令，得，即对于任意的M，存在点P使得，故D正确.12.AC【详解】由可知的对称轴为，由可知函数的图象在上单调递增，在上单调递减.则可知，，时取最大值.13.-16014.15.【详解】将圆C的方程整理得，圆心坐标为，半径为，要求，，则圆心到直线的距离应小于等于，∴，即（），∴，，设直线l的斜率为k，则，∴，直线l的斜率的取值范围是.16.；【详解】因为，所以，作于H，如下图所示，则，.又∵，∴，∴.∴.因为，所以双曲线C的渐近线方程为，如下图所示，设，因为，所以，所以.设，点Q到两条渐近线的距离分别为，，则四边形OMQN的面积为，而，所以，解得：，∴，故双曲线C的方程为.17.（1），所以函数的最小正周期为.（2）因为，所以，即，又，所以，所以或，或，当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意，所以，，，，此时为等腰三角形，所以，所以，即的面积为.18.（1）当时，由①，得②①-②得，所以，又，所以.因为，且，所以，所以，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴.（2）由，则，∴∴∴.19.（1）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，，，.设平面PCD的法向量为，则有，即，取.设点B到平面PCD的距离为d，则，所以点B到平面PCD的距离为.（2）假设线段PB上存在点E，使得二面角的余弦值为.设，，则，从而，，.设平面ACE的法向量为，则有，即，取设平面PAC的法向量为，则有，即，取.，解得或（舍去），故线段PB上存在点E，使得二面角的余弦值为，此时E为PB上靠近点B的三等分点.20.（1）设第1次取出的是一次性筷子为事件A，第2次取出的是非一次性筷子为事件B，则，，所以在第2次取出的是非一次性筷子的前提下，第1次取出的是一次性筷子的概率；（2）记取出的一次性筷子的双数为X，则，则，，，则，则X的分布列为X0123P0.0640.3660.470.1数学期望.21.（1）依题意，设椭圆的方程为.∵椭圆过点两点，解得∴椭圆的标准方程为.（2）证明：由题意知直线的方程为，代入，得，设，则.∵点与关于轴对称，，∴直线的方程为.令，得，∴直线过定点.22.【详解】（1）当时，，令，解得.列表：x1—0+极小值所以，当时，有极小值，没有极大值（2）①因为.所以，.当时，，所以在上单调递增，只有一个零点，不合题意，当时，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即为最小值.1°当时，在上单调递减，在上单调递增，只有一个零点，不合题意；2°当时，，故，最多有两个零点.注意