从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第3章不等式3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式我们知道，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间有着密切的联系.例如，可以借助函数y＝2x－3的图象来求解2x－3＝0，2x－3＞0，2x－3＜0.反过来，也可以通过求解2x－3＝0，2x－3＞0，2x－3＜0，来深人理解函数y＝2x－3的性质，那么●怎样从函数观点进一步解决方程、不等式的问题?3.3.1从函数观点看一元二次方程从函数的观点看，方程x2－2x－3＝0的两个根x1＝－1，x2＝3，就是二次函数y＝x2－2x－3当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交点的横坐标.

这时，我们称－1，3为二次函数y＝x2－2x－3的零点.一、二次函数的零点一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时_______________，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与______________________，也称为二次函数

y＝ax2

＋bx＋c(a≠0)的零点.自变量x的值x轴交点的横坐标【思考】二次函数的零点就是二次函数图象与x轴的交点吗?提示：不是，二次函数的零点是二次函数图象与x轴交点的横坐标.二、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根、

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象、

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点之间的关系.(1)关系(当a＞0时).判别式∆＝b2－4ac∆＞0∆＝0∆＜0方程ax2＋bx＋c＝0的根有两个相异的实数根x1，2＝有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根判别式∆＝b2－4ac∆＞0∆＝0∆＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象判别式∆＝b2－4ac∆＞0∆＝0∆＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点有两个零点x1，2＝有一个零点x＝－无零点当a＜0时，一元二次方程ax2＋ba＋c＝0的根次函数y＝ax2＋bx＋c

的图象次函数y＝ax2＋bx＋c

的零点之间的关系请同学们自行完成(见练习1).(2)本质：判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0的情况决定着一元二次方程根、二次函数图象与x轴交点和二次函数零点的情况.(3)应用：①求二次函数的零点；②证明二次函数零点的个数；③判断二次函数零点所在的区间.例1求证：二次函数y＝2x2＋3x－7有两个零点.分析要证明二次函数y＝x2＋3x－7有两个零点，只需证明元二次方程2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根即可.证明：考察一元二次方程2x2＋3x－7＝0.

因为∆＝32－4×2×(－7)＝65＞0，所以方程2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根.因此，二次函数y＝2x2＋3x－7有两个零点.例2判断二次函数y＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点.

【基础小测】1.辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”)(1)a＞0时二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点.(

)(2)如果二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴没有交点，则此二次函数没有零点. (

)✘Δ＞0时二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点.✔2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中若b2＞4ac，则函数

零点的个数为 (

)A.0

B.1

C.2

D.不能确定C解析：因为b2＞4ac，所以Δ＝b2－4ac＞0，

所以函数有2个零点.解析3.函数y＝(x＋2)(x＋1)的零点是_____________.

－2，－1解析：令(x＋2)(x＋1)＝0，

解得x＝－2或x＝－1，

所以函数的零点是－2，

－1.解析【跟踪训练】1.若b2－4ac＝0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)零点的个数为 (

)A.0个B.1个C.2个D.无法确定B解析：因为b2－4ac＝0，

所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，

所以二次函数y＝ax2＋bx＋c

有一个零点.解析

B

解析3.二次函数y＝x2－2的零点所在的区间为(

)A.(1，0)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)B

解析4.已知二次函数的图象如图所示，则此函数的零点为

____________.

－1，1解析：因为二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为－1，1，所以此函数的零点为－1，1.解析5.二次函数y＝x2－ax的一个零点为2，则a＝________.

解析：由题意，x＝2是方程x2－ax＝0的根，

所以4－2a＝0，解得a＝2.解析2练习1.当a

＜0时，请填下表：判别式∆＝b2－4ac∆＞0∆＝0∆＜0方程ax2＋bx＋c＝0的根有两个相异的实数根x1，2＝有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根判别式∆＝b2－4ac∆＞0∆＝0∆＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象判别式∆＝b2－4ac∆＞0∆＝0∆＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点有两个零点x1，2＝有一个零点x＝－无零点2.画出二次函数y＝x2－x－2的图象，并指出该函数的零点.解：二次函数y＝x2－x－2图象如下：由x2－x－2＝0得，x＝－1或x＝2.故所求零点为－1，2.3.求下列二次函数的零点：

(1)

y＝(x＋1)(x－1)；(2)y＝x2－4x；解：令y＝0，得x1＝－l，x2＝1，所以函数的零点为－1和1.解：令y＝0，即

x2－4x＝0，得x(x－4)＝0，

解得x1＝0，x2＝4，

所以函数的零点为0和4.(3)y＝－3x2－9；(4)y＝－x2＋2x－1.解：令y＝－3x2－9＝0，方程无实数根，

所以函数无零点.解：令y＝－x2＋2x－1＝0，即x2－2x＋1＝0，

得(x－1)2＝0，解得x＝1.

所以函数的零点为1.3.3.2从函数观点看一元二次不等式我们来看下面的问题：

某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册经过调查若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每册杂志的价格应定在怎样的范围内?

一、一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的_______________叫作一元二次不等式.整式不等式【思考】

提示：不是，一元二次不等式一定是整式不等式.我们知道，一元二次方程和相应的二次函数有着密切的联系，一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标.那么，●一元二次不等式和相应的二次函数是否也有内在的联系?二、一元二次不等式和相应的二次函数的对应关系(1)关系：(a＞0)判别式∆＝b2－4ac∆＞0∆＝0∆＜0方程ax2＋bx＋c＝0的根有两个相异的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根判别式∆＝b2－4ac∆＞0∆＝0∆＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象判别式∆＝b2－4ac∆＞0∆＝0∆＜0ax2＋bx＋c＞0的解集(－∞，x1)∪(x2，＋∞)(－∞，－)∪(－，＋∞)Rax2＋bx＋c＜0的解集(x1＜x2)∅∅【思考】(1)有人说：当Δ＞0时表中的x1，x2

有三重身份，你能说出是哪三重身份吗?提示：x1，x2既是二次函数图象与x轴交点的横坐标(即二次函数的零点)，又是一元二次方程的两个解，还是一元二次不等式解集的区间端点.(2)若一元二次不等式ax2＋x－1＞0(a≠0)的解集为R，

则实数a

应满足什么条件?提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1＞0(a≠0)的解集为R，则解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1＞0的解集为R.a＞01＋4a＜0(2)本质：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y＞0或y＜0时就转化为一元二次不等式.(3)应用：①解一元二次不等式，②已知一元二次不等式的解集求参数，③一元二次不等式的应用问题.当a＜0时，通过不等式两边同乘以－1，可将问题转化为二次项系数为正的情形，利用表3－3－2解决.例1解下列不等式：(1)x2－7x＋12＞0；(2)－x2－2x＋3≥0；(3)x2－2x＋1＜0；(4)x2－2x＋2＞0.(1)x2－7x＋12＞0；解

方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4.

根据y＝x2－7x＋12的图象

可得原不等式的{x∣x＜3或x＞4}.(2)－x2－2x＋3≥0；对于二次项系数为负数的不等式，可以先把二次项系数化成正数，然后再求解.解不等式两边同乘以－1，得x2＋2x－3≤0.方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.根据y＝x2＋2x－3的图象，可得原不等式的解集为{x∣－3≤x≤1).(3)x2－2x＋1＜0；解方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1.根据y＝x2－2x＋1的图象，

可得原不等式的解集为∅.(4)x2－2x＋2＞0.解因为∆＜0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解.根据y＝x2－2x＋2的图象，可得原不等式的解集为R

.练习1.(1)不等式(x－1)(x－3)＞0的解集为()。A.{x∣x＜1}B.{x∣x＞3}C.{x∣x＜1或x＞3}D.{x∣1＜x＜3}(2)不等式－x2＋2x－4＞0的解集为().A.RB.∅C.{x∣x＞0，x∈R}D.{x∣x＜0，x∈R}.CB2.解下列不等式：(1)x2＋4x－12＞0；解：该不等式可化为(x＋6)(x－2)＞0，

解得x＜－6或x＞2，故原不等式的解集为{x∣x＜－6或x＞2}.(2)x2－x＋1≤0；

(3)2x2－5x＋3＜0；

(4)3x2－x－4＞0；

(5)2x2＋4x＋3＞0；解：该不等式可化为2(x＋1)2＋1＞0，恒成立，故原不等式的解集为R.(6)9x2－6x＋1≤0.

3.解下列不等式：(1)－6x2－x＋2＜0；

(2)1－4x2≥4x＋2；解：不等式可变形为4x2＋4x＋1＜0，

即(2x＋1)2＜0，

显然无解，即解集为∅.(3)1－3x＜x2；

(4)

(x－2)(x＋2)＞1.

4.当x

是什么实数时，函数y＝－x2＋5x＋14的值是：(1)0?解：－x2＋5x＋14＝0

x2－5x－14＝0(x－7)(x＋2)＝0

x1＝7，x2＝－2(2)正数?解：－x2＋5x＋14＞0

x2－5x－14＜0(x－7)(x＋2)＜0

－2＜x＜7(3)负数?解：－x2＋5x＋14＜0

x2－5x－14＞0(x－7)(x＋2)＞0

x＞7或x＜－2.5.(1)已知集合M＝{x|－4≤x≤7，N＝{x|x2－x－6＞0}，求M∩N；解：∵集合M＝{x∣－4≤x≤7}，

N＝{x|x2－x－6＞0}

＝{x∣x＜－2或x＞3}，∴M∩N＝{x∣－4≤x＜－2或3＜

x≤7}；(2)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|(x－2)(x－5)

＜0}，求A∪B.解：∵集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}

＝{x∣1＜x＜3}，B＝{x|(x－2)(x－5)＜0}

＝{x∣2＜x＜5}，∴A∪B＝{x∣1＜x＜5}.例2用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m的矩形吗?当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大?解：设矩形一边的长为xm，则另一边的长为(50－x)m，其中0＜x＜50.由题意，得x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.所以，当矩形一边的长在20m至30m的范围内取值时，能围成一个面积大于600m2的矩形.用S

表示矩形的面积，则S＝x(50－x)＝－(x－25)2＋625(0＜x＜50).当x＝25时，S取得最大值，此时50－x＝25.答当矩形的长、宽都为25m时，所围成的矩形的面积最大.你能用基本不等式来求x(50－x)的最大值吗?例3某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件(x∈N*)与货价P元/件之间的关系为P＝160－2x，生产x

件所需成本为C＝500＋30x元.

问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元?解由题意，得(160－2x)x－(500＋30x)＞1300，化简，得x2－65x＋900＜0，解得20≤x≤45.答该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元.例4汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素.在一个限速为40km/h的弯道上，甲乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰.事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12m，乙车的刹车距离略超过10m.又知甲两种车型的刹车距离(单位：m)与车速x(单位：km/h)之间分别有如下关系：

s甲＝0.1x＋0.01x，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：甲、乙两车有无超速现象?一般来说，刹车距离与车速是二次函数关系.分析

根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速.解

由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＜12，即x2＋10x－1200＜0，解得－40＜x＜30.这表明甲车的车速低于30km/h，未超过规定限速.对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2000＞0，解得x＞40或x＜－50(不合实际意义，舍去).这表明乙车的车速超过40km/h，超过规定限速.答甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速.练习1.如果某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍，那么明、后两年每年的平均增长率至少是多少?解：设该厂今的产量为a，明、后两年每年的平均增长率至少是x%，则a(1＋x%)2≥2a，解得x%≥41.4%.∴明、后两年每年的平均增长率至少是41.4%.

3.国家为了加强对饮用酒生产的宏观管理，实行征收附

加税政策.已知某种洒每瓶70元，不征收附加税时，

每年大约销售100万瓶；若政府征收附加税每销售100元要征税R元(叫作税率R%)，则每年的销售量

将减少10R万瓶.要使每年在此项经营中所收取的附

加税不少于112万元，R应怎样确定?解：设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收的税金为70x·R%万元，其中x＝100－10R.由70(100－10R)·R%≥112，即R2－10R＋16＜0.解得2≤R≤8.故税率定在2%~

8%之内，年收附加税额将不低于112万元.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”)(1)mx2－5x＜0是一元二次不等式(

)

(2)若a＞0，则一元二次不等式ax2＋1＞0无解(

)✘当m＝0时是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式.因为a＞0，所以不等式ax2＋1＞0恒成立，即原不等式的解集为R.✘(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2(x1＜x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x∣x1＜x＜x2}. (

)✘当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0的解集为{x∣x1＜x＜x2}，否则不成立.

D

解析3.不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为________.

∅解析：原不等式变形为3x2－5x＋4＜0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0，

所以由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4＜0的解集为∅.解析【跟踪训练】

D

解析

D

解析3.某公司每个月的利润y(单位：万元)关于月份n的关

系式为y＝n2－9n＋114，则该公司12个月中，利润大

于100万元的月份共有 (

)A.4个 B.5个 C.6个 D.7个C解析：由题意得n2－9n＋114＞100，

解得n＜2或n＞7，

故n＝1，8，9，10，11，12，共6个月.解析4.二次函数y＝x2－4x＋3当函数值为负数时x的取值范

围是___________.

1＜x＜3解析：由于方程x2－4x＋3＝0的两个根为x1＝1，x2＝3.故不等式x2－4x＋3＜0的解集为{x∣1＜x＜3}.解析5.不等式－x2＋mx＋m＜0恒成立的条件是__________.

－4＜m＜0解析：－x2＋mx＋m＜0恒成立，等价于Δ＜0，

即m2＋4m＜0，

所以－4＜m＜0.解析习题3.3感受·理解1.证明：函数y＝x2－x＋1没有零点.解：∵∆＝b2－4ac

＝(－1)2－4×1×1

＝1－4＝－3＜0.∴函数y＝x2－x＋1没有零点.2.设m

为实数，若函数y＝x2－mx＋2有只有一个零点，

求m

的值.

3.设k为实数，若方程x2－3x＋k－3＝0有实数根，求k

的取值范围.解：将方程整理得：4x2－12x＋k－3＝0，有题意知：∆＝122－4×4×(k－3)＜0，解得：k＞12.∴k取值范围是(12，+∞).故答案为：(12，＋∞)4.证明：函数y＝5x2－7x－1的一个零点在区间(－1，0)

内，另一个零点在区间(1，2)内.解：令f(x)＝5x2－7x－1，则f(x)在R上是连续函数.∵∆＝(－7)2－4×5－(－1)＝49＋20＝69＞0，∴方程f(x)＝0有两个不等实数根，

即f(x)＝5x2－7x－1在R上有两个零点；又∵f(－1)＝5×(－1)2－7×(－1)－1＝11＞0，

f(0)＝－1＜0，∴在区间(－1，0)内，函数f(x)＝5x2－7x－1存在零点；又∵

f(1)＝5－7－1＝－3＜0，

f(2)＝5×22－7×2－1＝5＞0，∴在区间(1，2)内，函数f(x)＝5x2－7x－1存在零点.又∵函数f(x)＝5x2－7x－1在R上有且仅有两个零点，∴函数f(x)＝5x2－7x－1一个零点在区间(－1，0)内，另一个零点在区间(1，2)内.5.解下列不等式：(1)x(x－1)≤0；

(2)

(x＋1)(x－5)＞0；解：因为对应方程的两根为0和1，所以不等式的解集是{x∣0≤x≤1}.解：因为对应方程的两根为－1和5，所以不等式的解集是{x∣x＜－1或x＞5}.(3)

x2－6x＋9≤0；(4)3x2－7x＋2＞0；解：因为对应方程为(x－3)2＝0，

对应方程的一个根为3，所以不等式的解集是{x∣x＝3}.

(5)－2x2－x＋6＞0；(6)x2－x＋1＞0.

解：因为对应方程判别式∆＜0，所以不等式的解集为R.6.解下列不等式：(1)2x2－3x＞2；

(2)3x2－5x＋4＞0；解：∵∆＝25－4×3×4

＝－23＜0，

∴不等式3x2－5x＋4＞0的解集为R.(3)x(x＋2)＜x(3－x)＋1；

(4)(3x－1)(x＋1)＞4.

7.当x是什么实数时，函数y＝－x2－8x＋20的值是：(1)0?解：－x2－8x＋20＝0

x2＋8x－20＝0(x－2)(x＋10)＝0x＝－10或x＝2(2)正数?解：－x2－8x＋20＞0

x2＋8x－20＜0(x－2)(x＋10)＜0

－10＜x＜2(3)负数?解：－x2－8x＋20＜0

x2＋8x－20＞0(x－2)(x＋10)＞0x＜－10或x＞28.制作一个高为20cm的长方体容器，底面矩形的长比

宽多10cm，并且容积不少于4000cm3.

问：底面矩形的宽至少应是多少?解：设底面矩形的宽为xcm，由题意可得20x(x＋10)

≥4000.

即x2＋10x－200≥0，

解得：x≤－20(舍)或x≥10.∴底面矩形的宽至少应为10cm.9.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，求关于x的不等式x2＋bx＋c＞0的解集.解：∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，∴－1，2是关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0

的两个实数根，∴关于x的不等式x2＋bx＋c＞0的解集为：{x∣x＜－1或x＞2}.思考·运用10.设m为实数已知二次函数y＝x2－5x＋m的两个零点都

在区间(0，＋∞)内，求m

的取值范围.

11.(1)k是什么实数时，方程x2＋2(k－1)x＋3k2－11＝0

有两个不相等的实数根?解：方程x2＋2(k－1)x＋3k2－11＝0中，令∆＞0，得4(k－1)2－4(3k2－11)＞0，

化简得k2＋k－6＜0，解得－3＜k＜2，

所以k∈(－3，2)时，方程有两个不相等的实数根；(2)已知不等式x2－2x＋k2－1＞0对一切实数x恒成立，

求实数k的取值范围.

12.已知不等式ax2＋b－1＞0的解集是{x∣3＜x＜4}，

求实数a，b的值.解：由题意知，a＜0，

且3，4是方程ax2＋bx－1＝0的根.

∴

解得9a＋3b－1＝016a＋4b－1＝0

13.如图，某房地产开发公司要在矩形地块ABCD

上规划出一块矩形地块PQCR

建造住宅区为了保护文物，住宅区不能超越文物保护区△AEF的界线EF.由实地测量知，AB＝200m，AD＝160m，AE

＝60m，AF＝40m.

问：怎样设计矩形住宅区的长和宽，才能使其面积最大?最大面积是多少?G

14.已知某公司每天生产的某种产品的数量(单位：百件)

与其成本y(单位：千元)之间的函数解析式可以近似

地用y＝ax2＋b＋c

表示其中a，b，为常数.现有实际

统计数据如下表所示：产品数量x/百件61020成本y/千元10416