高等代数(全部)

欧氏空间第八章欧氏空间欧氏空间

§1

欧氏空间的定义和性质§1欧氏空间的定义和性质一、欧氏空间的定义定义1

设V实数域R上的线性空间，在V上定义一个二元函数，称为欧几里得空间，简称为欧氏空间。称为内积，记为：(1)(2)(3)它满足以下四个条件：(4)当且仅当时有这里是V中任意的向量，k为实数，这样的线性空间V欧氏空间§1欧氏空间的定义和性质例1

设为二维实空间R2中的任意两个向量，问：R2对以下规定的内积是否构成欧氏空间？(1)(2)(3)(4)(5)例2

设向量，A=(aij)为n阶实矩阵。证明：的充要条件是A为正定矩阵。为Rn中的任意两个为Rn的内积§1欧氏空间的定义和性质欧氏空间内积的简单性质性质1性质2性质3性质4有欧氏空间二、向量的长度与夹角§1欧氏空间的定义和性质向量定义2

对 的长度定义为：定理1

对于欧氏空间V中的任意向量恒有当且仅当线性相关时，等号成立。是欧氏空间的两个非零向量，定义3

设的夹角为：例3

在R3中，向量求的夹角。欧氏空间

§1

欧氏空间的定义和性质三、向量的正交定义4

对欧氏空间V中的两个向量与

正交或垂直，记为：注意：零向量与任一向量正交。例4

在R4中求一单位与下面三个向量正交。若内积则称欧氏空间四、度量矩阵矩阵注:(1)度量矩阵A是实对称矩阵。度量矩阵A是正定矩阵。确定一组基后，向量的内积可由度量矩阵A完全确定不同基的度量矩阵是合同的。§1欧氏空间的定义和性质称为基的过渡矩阵(Gram矩阵)。欧氏空间§1欧氏空间的定义和性质例5

设是n维欧氏空间V中的一组向量，令证明：当且仅当时，线性无关。§2标准正交基欧氏空间

§2

标准正交基一、标准正交基的定义与性质定义1

欧氏空间V中一组两两正交的非零向量称为V的一个正交向量组。如果一个正交组的每一个向量都是单位向量，则这样的向量组称为标准正交向量组。性质1

欧氏空间V中的正交向量组必定线性无关。注：(1)单个非零向量也称为一个正交向量组。(2)线性无关的向量组不一定是正交向量组。欧氏空间定义2

在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基，由n个标准正交向量组成的正交基称为标准正交基。§2标准正交基(4)一组基为标准正交基的充要条件是它的度量矩阵为单位矩阵。性质2

设是n维欧氏空间V中的一组标准正交基，则(1)(2)若则(3)若

则欧氏空间定理1

n维欧氏空间V中任一个正交向量组都可以扩充为一组正交基。二、标准正交基的求法§2标准正交基定理2

对于n维欧氏空间V中任意一组基都可以找使得一组标准正交基欧氏空间二、标准正交基的求法§2标准正交基例1

把化为单位正交的向量组。其中求W的一组标准正交基。例2

设是五维欧氏空间V的一组标准正交基，令§2标准正交基欧氏空间例3

在R[x]4中定义内积为：求R[x]4的一组标准正交基。定义3

n阶实矩阵

A

满足

A"A=E，则称

A

为正交矩阵。定理3

在欧氏空间V中，标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵。反之，若第一组是标准正交基，过渡矩阵是正交矩阵，则第二组基也是标准正交基。欧氏空间

§2

标准正交基定理4

设A=(aij)是n阶实矩阵，则下列几个结论等价：A是正交矩阵，即

A"A=E；AA"=E；A的列向量组是标准正交向量组；A的行向量组是标准正交向量组；A-1=A。欧氏空间§2标准正交基例4

正交矩阵的特征值为±1。例5

奇数阶的正交矩阵A满足|A|>0，则A一定有特征值1。例6

证明上三角矩阵A必为对角矩阵，且对角线上元素为1或-1例7

设A为n阶实非奇异矩阵，证明：A可以分解为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为对角线上全为正实数的上三角矩阵，并且这种分解是唯一的。欧氏空间§3同构§3同构定义1

设V与W都是实数域R上的欧氏空间，如果存在V到W的双射

对(1)满足(2)(3)则称映射是欧氏空间V到W的同构映射，称欧氏空间V与W同构。欧氏空间§3同构定理1

同构是欧氏空间之间的等价关系。定理2

两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相等推论任意

n

维欧氏空间均与

Rn

同构。例1

设

与如果为欧氏空间V的两组向量，则子空间与同构。欧氏空间§4正交变换§4正交变换一、正交变换的定义与性质定义1设

A

是欧氏空间

V

中的线性变换，如果它保持向量的内积不变，即对 都有那么称线性变换

A

为正交变换。例如：是R3上的一个正交变换。欧氏空间

§4

正交变换定理1设A

是n维欧氏空间

V

中的一个线性变换，则下面四个命题等价：A

是正交变换；A

保持向量的长度不变；也是标准正交基；(4)A

在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。(3)如果是标准正交基，那么欧氏空间§4正交变换正交变换的性质：正交变换保持向量夹角不变；正交变换是欧氏空间到自身的一个同构映射；正交变换的乘积仍是正交变换；正交变换是可逆的，其逆变换仍是正交变换；欧氏空间

§4

正交变换二、正交变换的分类行列式等于1的正交变换称为第一类正交变换或旋转变换；行列式等于-1的正交变换称为第二类正交变换。例1

设A

为欧氏空间V的一个线性变换，证明：A

是正交变换例2

无限维欧氏空间V中的正交变换不一定是可逆变换。的一组基，此基下的Gram矩阵为G，A

在这组基下的矩阵是

A，则

A"GA=G

。的充要条件是

A

保持任意两个向量即与

的距离保持不变，例3

设A

是n维欧氏空间V的一个正交变换，为V欧氏空间

§4

正交变换例4

设 是欧氏空间V中的一个单位向量，定义变换：证明：1)A

是正交变换(这样的正交变换称为镜面反射)；当V是有限维空间时，A

是第二类的；设V为n维欧氏空间，正交变换

A

有特征值1，且属于特征值1的特征子空间V1的维数为n-1，则

A

为镜面反射。存在一个镜面反射

A

使得2)证明：n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表示为一系列镜面反射的乘积。例5

1)设是欧氏空间V中的两个不同的单位向量，证明：欧氏空间§5子空间§5子空间一、子空间正交的定义和性质定义1

设V1，V2是欧氏空间

V

的两个子空间，若对子空间正交的性质性质1

与自己正交的向量只能是零向量。性质2

若两个子空间V1与V2正交，则V1+V2为直和。性质3

若子空间V1，…，Vs两两正交，则V1+…+Vs为直和。恒有对则称V1与V2正交，记为若向量记为恒有则称与子空间V1正交，欧氏空间

§5

子空间二、子空间的正交补定义2

设V1是欧氏空间

V

的子空间，若存在V的子空间V2满足定理1

n维欧氏空间

V

的每一个子空间V1都有唯一的正交补。例1

设V1与V2是欧氏空间V的两个子空间，证明：(1)(2)(3)且则称V2是子空间V1的正交补。推论恰由所有与V1正交的向量组成，即欧氏空间§5子空间维子空间，证明：向量

是向量

在

上的正投影的充要条件是对任意的向量

有例3

求齐次线性方程组而则例2

如果称为

在上的正投影(内射影)。设V1是欧氏空间的有限的解空间V，并写出

V

在R4中的正交补欧氏空间§5子空间例4

设则非齐次线性方程组Ax=b有解的充要条件是向量b

属于齐次线性方程组A"x=0的正交补。例5

设是n维欧氏空间V的一个线性变换，是V中的变换，满足：且对V中任何向量证明：(1)是一个线性变换；(2) 的核等于

的值域的正交补。欧氏空间

§6

对称变换与对称矩阵§6对称变换与对称矩阵一、对称变换的定义和性质定义1设A

是欧氏空间

V

的一个线性变换，若对恒有则称

A

为对称变换。欧氏空间

§6

对称变换与对称矩阵对称变换的性质：n维欧氏空间V中的线性变换

A

为对称变换的充要条件是它在任一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵。设A

为欧氏空间V的对称变换，则属于

A

的不同特征值的特征向量彼此正交。欧氏空间中对称变换的特征值只能是实数。设A

为欧氏空间V的对称变换，V1是A

的不变子空间，也是

A

的不变子空间。则欧氏空间

§6

对称变换与对称矩阵例1

设

A

为欧氏空间V的一个变换，且对V中任意向量均有则A

是否必为对称变换？例2设A

为n维欧氏空间V的一个线性变换，A

在基下的矩阵是

A。证明：A

是对称变换的充要条件是其中G为该组基下的Gram矩阵。欧氏空间

§6

对称变换与对称矩阵例3

设A

为欧氏空间V中的线性变换，若对有则称

A

为反对称变换。证明：n维欧氏空间V中的线性变换

A

为反对称变换的充要条件是A

在任一组标准正交基下的矩阵为反对称矩阵。欧氏空间V中反对称变换的特征值为零或纯虚数。若V1是反对称变换

A

的不变子空间，则

也是

A

的不变子空间。欧氏空间

§6

对称变换与对称矩阵例4

设

V

为欧氏空间，证明：(1)对V中每一个线性变换

A

，都存在唯一的线性变换

A

*，对下的矩阵为

A"。A

为对称变换的充要条件是

A=A

*。A

为正交变换的充要条件是

AA

*=A

*A

=E。均有则称

A

*为A

的共轭变换。(2)若A

在标准正交基下的矩阵为A，则

A*在这组基欧氏空间

§6

对称变换与对称矩阵二、实对称矩阵的对角化定理1

设A

为n阶实对称矩阵，则存在n阶正交矩阵T使得对称矩阵A对角化的步骤：求出A的特征值；对每个特征值求出相应的齐次线性方程组的基础解系，并将其化为一组标准正交基；将不同特征值对应的标准正交向量组构成正交矩阵T。其中为A的全部特征值。欧氏空间§6对称变换与对称矩阵例6

已知求一正交矩阵T使得T

-1AT为对角形。例7

设A，B是两个实对称矩阵，证明：存在正交矩阵Q使得Q-1AQ=B的充要条件是A与B的特征多项式的根完全相同。例8

设实对称矩阵

A

满足

A2=E。证明：存在正交矩阵Q使得欧氏空间§6对称变换与对称矩阵定理2

任意一个实二次型都可以经过正交的线性替换变成平方和其中平方项的系数就是矩阵A的特征根。欧氏空间§6对称变换与对称矩阵例9

设证明：对任一x∈Rn，有例10

设A，B是两个n阶实对称矩阵，且A为正定矩阵，则必存在可逆矩阵P，使得是一实二次型，是A的特征值，且其中是矩阵A-1B的特征值。欧氏空间

§7

向量到子空间的距离

最小二乘法§7向量到子空间的距离最小二乘法一、向量到子空间的距离定义1

长度称为向量

与 的距离，记为：它满足距离的三条基本性质：(1)(2)当且仅当时等号成立(3)欧氏空间

§7

向量到子空间的距离

最小二乘法在解析几何中，点到直线或平面上所有点的距离以垂线最短。推广到一般欧氏空间：向量到子空间中所有向量的距离也是以“垂线”最短。设

W

是欧氏空间V中的子空间，

则有：结论1

向量 与子空间

W

垂直(正交)的充要条件是

与每个 正交。结论2

向量 到子空间

W

中各向量的距离垂线最短，即有当且仅当向量垂直(正交)于子空间

W。W欧氏空间§7向量到子空间的距离最小二乘法二、最小二乘法设线性方程组则该线性方程组可能无解，那么设法找到一组数使得则这组数就是该线性方程组的最小二乘解，这种问题就称为最小二乘问题。欧氏空间§8酉