2022年初中数学：人教版八年级上册全册教案

第十一章三角形

§11.1.1三角形的边

教学目标

1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三

角形.

2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系.

3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题.

4.帮助学生树立几何知识源于客观实际,用客观实际的观念,激发学生学习的兴趣.

重点、难点

重点：

1.对三角形有关概念的了解,能用符号语言表示三条形.

2.能从图中识别三角形.

3.通过度量三角形的边长的实践活动,从中理解三角形三边间的不等关系.

难点：

1.在具体的图形中不重复,且不遗漏地识别所有三角形.

2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.

教学过程

一、看一看

1.投影：图形见章前P1图.

教师叙述：三角形是一种最常见的几何图形之一.（看条件许可，可以把古埃及的金字

塔、飞机、飞船、分子结构……的投影，给同学放映）从古埃及的金字塔到现代的飞机、上天

的飞船，从宏大的建筑如P68-69的图，到微小的分子结构，处处都有三角形的身影.结合以

上的实际使学生了解到:我们所研究的“三角形”这个课题来源于实际生活之中.

学生活动：（1）交流在日常生活中所看到的三角形.

（2）选派代表说明三角形的存在于我们的生活之中.

2.板书:在黑板上老师画出以下几个图形.

(1)教师引导学生观察上图：区别三条线段是否存在首尾顺序相接所组成的.图(1)三条

线段AC、CB、AB是否首尾顺序相接.(是)

(2)观察发现，以上的图,哪些是三角形？

(3)描述三角形的特点：

板书：“不在一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”.

教师提问：上述对三角形的描述中你认为有几个部分要引起重视.

学生回答：

a.不在一直线上的三条线段.

b.首尾顺次相接.

二、读一读

指导学生阅读课本P2,第一部分至思考,一段课文,并回答以下问题：

(1)什么叫三角形？

(2)三角形有几条边?有几个内角？有几个顶点？

(3)三角形ABC用符号表示.

(4)三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为一,

三角形有三条边,三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所

组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表

示为△ABC,三角形ABC的三边,AB可用边AB的所对的角C的小写字母c表示,AC可用b表

示,BC可用a表示.

三、做一做

画出一个aABC,假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以

选择?各条路线的长一样吗？

同学们在画图计算的过程中,展开议论,并指定回答以上问题：

(1)小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线.

a.从B-C

b.从BfA—C

(2)从B沿边BC到C的路线长为BC的长.

从B沿边BA到A,从A沿边C到C的路线长为BA+AC.

经过测量可以说BA+AOBC,可以说这两条路线的长是不一样的.

四、议一议

1.在同一个三角形中，任意两边之和与第三边有什么关系？

2.在同一个三角形中，任意两边之差与第三边有什么关系？

3.三角形三边有怎样的不等关系？

通过动手实验同学们可以得到哪些结论？

三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

五、想一想

三角形按边分可以，分成几类？

六、练一练

有三根木棒长分别为3cm、6cm和2cm,用这些木棒能否围成一个三角形？

分析：(1)三条线段能否构成一个三角形，关键在捡判定它们是否符合

三角形三边的不等关系，符合即可的构成一个三角形,看不符合就不可能构A______D

成一个三角形.、。/

CB

（2）要让学生明确两条木棒长为3cm和6cm,要想用三根木棒合起来构成一个三角形，这

第三根木棒的长度应介于3cm和9cm之间，由于它的第三根木棒长只有2cm,所以不可能用这

三条木棒构成一个三角形.

错导：3cm+6cm>2cm

用3cm、6cm、2cm的木棒可以构成一个三角形.

错因:三角形的三边之间的关系为任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,

这里3+6>2,没错,可6-3不小于2,所以回答这类问题应先确定最大边,然后看小于最大量的

两量之和是否大于最大值,大时就可构成，小时就无法构成.

七、忆一忆

今天我们学了哪些内容：

1.三角形的有关概念（边、角、顶点）

2.会用符号表示一个三角形.

3.通过实践了解三角形的三边不等关系.

八、作业

课本P8习题11.2第1、2、6、7题.

§11.1.2三角形的高'中线与角平分线

教学目标

1.经历析纸，画图等实践过程，认识三角形的高、中线与角平分线.

2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，通过画图了解三角形的三条高（及

所在直线）交于一点，三角形的三条中线，三条角平分线等都交于一点.

重点、难点

重点：

1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角

平分线.

2.了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.

难点：

1.三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.

2.钝角三角形高的画法.

3.不同的三角形三条高的位置关系.

教学过程

一、看一看

把下面图表投影出来:

三角形的

意义图形表示法

重要线段

从三角形的

一个顶点向1.AD是AABC的BC

A

它的对边所上的高线.

三角形

在的直线作2.AD_LBC于D.

的高线

垂线,顶点和3.ZADB=Z

垂足之间的BDCADC=90°.

线段

三角形中，连A1.AD是ZiABC的BC

结一个顶点上的中线.

三角形

和它对边中

的中线L

点的

2.BD=DC=2BC.

线段BDC

三角形一个

LAD是AABC的N

内角的平分

/BAC的平分线.

线与它的对

三角形的

边相交,这个L

角平分线

角顶点与交2.Z1=Z2=2z

点之间的线BDC

BAC.

段

1.指导学生阅读课本P71-72的课文.

2.仔细观察投影表中的内容,并回答下面问题.

(D什么叫三角形的高?三角形的高与垂线有何区别和联系？三角形的高是从三角形的

一个顶点向它对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段,而从三角形一个顶点向它对

边所在的直线作垂线这条垂线是直线.

(2)什么叫三角形的中线?连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系？

三角形的中线是连结一个顶点和它对边的中点的线段，而过两点的直线有着本质的不

同,一个代表的是线段，另一个却是直线.

(3)什么叫三角形的角平分线?三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系？

三角形的角平分线是三角形的一个内角平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之

间的线段,而角平分线指的是一条射线.

3.三角形的高、中线和角平分线是代表线段还是代表射线或直线？

三角形的高、中线和角平分线都代表线段，这些线段的一个端点是三角形的一个顶点，

另一个端点在这个顶点的对边上.

一___、做n.I,一做/[J.

1.让学生在练习本上画出三角形,并在这个三角形中画出它的三条高.(如果他们所画

的是锐角三角形,接着提出在直角三角形的三条高在哪里?钝角三角形的三条高在那里?)观

察这三条高所在的直线的位置有何关系？

三角形的三条高交于一点,锐角三角形三条高交点在直角三角形内，直角三角形三条高

线交点在直角三角形顶点,而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.

2.让学生在练习本上画三角形，并在这个三角形中画出它的三条中线.(如果他们所画

的是锐角三角形,接着让他们画出直角三角形和钝角三角形,看看这些三角形的中线在哪里)？

观察这三条中线的位置有何关系？

三角形的三条中线都在三角形内部,它们交于一点,这个交点在三角形内.

3.让学生在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线,观察这三

条角平分线的位置有何关系？

无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形，它们的三条角平分线都在三角形内，

并且交于一点.

三、议一议

通过以上观察和操作你发现了哪些规律,并加以总结且与同伴交流.

A

四、练习

1.课本P5,练习1.2.

2.画钝角三角形的三条高.

五、作业

1.P8-P9习题H.1第3.4.8

§11.1.3三角形的稳定性

教学目标：

通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性

在生产、生活中广泛应用

重点：了解三角形稳定性在生产、生活的实际应用

难点：准确使用三角形稳定性于生产生活之中

课前准备：小木条8个，小钉若干

教学过程：

一、看一看，想一想

课本P6投影出来

盖房子时•在窗框未安装好之前,木，师傅常常

先在窗框上斜钉一根木条(图7.1-5).为什么要这样

做呢？

□图7.15

二、做一做

1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗?

(1)

2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形

状会改变吗？

(3)

三、议一议

从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流。

三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四

边形没有稳定性。

四、三角形稳定性应用举例、四边形没有稳定性的应用举例

五、练一练

课本P7练习

六、布置作业：

课本P8-9习题11.1第5,10.

§11.2.1三角形的内角

教学目标

1经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理

2能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题

重点：三角形内角和定理

难点：三角形内角和定理的推理的过程

课前准备

每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形

教学过程

一、做一做

1在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码

2让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出

的度数，可得到乙4+NB+44C&=18（T

3剪下乙4,按图（2）拼在一起，从而还可得到乙4+N8+4CB=18CT

4把/5和NC剪下按图（3）拼在一起，用量角器量一量NMN的度数，会得到什

么结果。

A

二、想一想

如果我们不用剪、拼的办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性

呢？

已知2L4BC,说明乙4+NB+NC=18CT,你有几种方法？结合图（1）、图（2）、图（3）

能不能用图（4）也可以说明这个结论成立

图4

三、例题如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，c岛

在B岛的北偏西40°方向，从c岛看A、B两岛的视角乙4cB是多少度？

四、练习：课本P13,练习1,2

五、布置作业：

课本P16习题U.2.1第1,3,4,5题

补充练习

1三角形中最大的角是7°°,那么这个三角形是锐角三角形（）

2一个三角形中最多只有一个钝角或直角（）

3一个等腰三角形一定是锐角三角形（）

4一个三角形最少有一个角不大于60°（)

§H.2.2三角形的外角

教学目标

1使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质

2利用学过的定理论证这些性质

3能利用三角形的外角性质解决实际问题

重点：（1）三角形的外角的性质；（2）三角形外角和定理

难点：三角形外角的定义及定理的论证过程

教学过程

一、想一想

1三角形的内角和定理是什么？

二、做一做

把2L4BC的一边AB延长到D,得N48,它不是三角形的内角，那它是三角形的

什么角？

它是三角形的外角。

定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角

想一想：三角形的外角有几个？

每个顶点处有两个外角，但这两个是对顶角

三、议一议

/工8与A/BC的内角有什么关系？

（1）=4+

（2）^ACD>Z.A,AACD>Z5

再画三角形ABC的外角试一试，还会得到这个性质吗？

同学用几何语言叙述这个性质：

三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和；

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

你能用学过的定理说明这些定理的成立吗？

已知：/工CO是4的外角

说明：

（1）ZACD=ZA+ZB

（2）ZACD>ZA,ZACD>Z5

结合下面图形给予说明

四、练一练：

课本P15,练习

五、作业：

课本P16-17,2,6,1,8,9

备选题

1如图，N1，N2,N3是三角形ABC的不同三个外角，则Nl+N2+N3=

2三角形的三个外角中最多有锐角，最多有个钝角，最多有个直角

32UBC的两个内角的一平分线交于点E,乙4=52°,则/用T=

4已知443C的28,/C的外角平分线交于点口，乙4=40°,那么/D=

5如图，NBDC是外角，乙BDC=+,NMC是外角,

乙EFC=+,NBFC是外角，ZBFC=+,/BFC>,

ABFC>

6在&4BC中4等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于的两倍，那么

Z-A=,Z,B=,NC=

§11.3.1多边形

教学目标

1.了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念.

2.区别凸多边形与凹多边形.

重点难点

1.重点：

(1)了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念.

(2)区别凸多边形和凹多边形.

2.难点：

多边形定义的准确理解.

教学过程

一、新课讲授

投影：图形见课本P19图—

你能从投影里找出几个由一些线段围成的图形吗？

上面三图中让同学边看、边议.

在同学议论的基础上，老师给以总结，这些线段围成的图形有何特性？

(1)它们在同一平面内.

(2)它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的.

这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形，那么什么叫做多边形呢？

提问：三角形的定义.

你能仿照三角形的定义给多边形定义吗？

1.在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形.

如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形.(一个多边形由几条

线段组成，就叫做几边形.)

2.多边形的边、顶点、内角和外角.

多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的

角叫做多边形的外角.

3.多边形的对角线

连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

让学生画出五边形的所有对角线.

4.凸多边形与凹多边形

看投影：图形见课本P19.11.3-6.

在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线

的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足

上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我

们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形.

5.正多边形

由正方形的特征出发，得出正多边形的概念.

二、课堂练习

课本P21练习1.2.

三、课堂小结

引导学生总结本节课的相关概念.

四、课后作业

课本P24第1题.

备用题：

一、判断题.

1.由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形.（）

2.由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形.（）

3.由不在一直线上四条线段首尾顺次接组成的图形,且其中任何一条线段所在的直线、

使整个图形都在这直线的同一侧，叫做四边形.（）

4.在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形.（）

二、填空题.

1.连接多边形的线段，叫做多边形的对角线.

2.多边形的任何—所在的直线，整个多边形都在这条直线的,这样的多边形

叫凸多边形.

3.各个角,各条边的多边形，叫正多边形.

三、解答题.

1.画出图（1）中的六边形ABCDEF的所有对角线.

2.如图（2）,0为四边形ABCD内一点，连接OA、OB、OC、0D可以得几个三角

形？它与边数有何关系？

3.如图（3）,0在五边形ABCDE的AB上，连接OC、OD、OE,可以得到几个三

角形？它与边数有何关系？

4.如图（4）,过A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有

何关系？

§11.3.2多边形的内角和

教学目标

1.使学生了解多边形的内角、外角等概念.

2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算.

重点难点

1.重点：

（1）多边形的内角和公式.

（2）多边形的外角和公式.

2.难点：多边形的内角和定理的推导.

教学过程

一、探究

1.我们知道三角形的内角和为180°.

2.我们还知道，正方形的四个角都等于90°,那么它的内角和为360°,同样长方形

的内角和也是360°.

3.正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°,那么一般的四边形的内角

和为多少呢？

画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的

结果.从中你得到什么结论？

同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性

认识，是否成为定理要进行推导.

二、思考几个问题

1.从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么

四边形的内角和等于多少度？

2.从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这

五边形的内角和为多少度？

3.从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n

边形的内角和等于多少度？

综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？

设多边形的边数为n,则

n边形的内角和等于(n—2)«180°.

想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一

个多边形分成几个三角形.除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？

你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？

由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：(以五边形为例)

分法一：在五边形ABCDE内任取一点O,连结OA、OB、OC、OD、OE,则得五个

三角形.其五个三角形内角和为5X180°,而Nl,Z2,Z3,Z4,/5不是五边形的内角

应减去，，五边形的内角和为5X180°-2X180°=(5—2)X1800=540°.

如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，

即可得：n边形内角和=nX180°—2X180°=(n—2)X180°.

分法二：在边AB上取一点O,连OE、OD、OC,则可以(5-1)个三角形，而N1、

N2、/3、N4不是五边形的内角，应舍去.

，五边形的内角和为(5—1)X180°—180°=(5—2)X1800

用同样的办法，也可以把n边形分成(n—l)个三角形，把不是n边形内角的NAOB

舍去，即可得n边形的内角和为(n-2)X18O0.

三、例题

例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

已知：四边形ABCD的/A+NC=180°.求：/B与/D的关系.

分析：本题要求NB与ND的关系，由于己知/A+NC=180°,所以可以从四边形的

B

内角和入手，就可得到完满的答案.

解：如图，四边形ABCD中，ZA+ZC=180°«

VZA+ZB+ZC+ZD=(4-2)X360°=180°,

/.ZB+ZD=360°-(ZA+ZC)=180°

这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.

例2如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角

和.六边形的外角和等于多少？

6

F

B

5

已知：Zl,Z2,N3,Z4,Z5,N6分别为六边形ABCDEF的外角.

求：N1+N2+/3+/4+/5+N6的值.

分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上

它相邻的内角的总和为6X180°.由于六边形的内角和为(6—2)X1800=720°.

这样就可求得/1+/2+/3+/4+/5+/6=360°.

解：•.•六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°.

二六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6X180°.

由于六边形的内角和为(6—2)X1800=720°

,它的外角和为6X180°—720°=360°

如果把六边形横成n边形.(n为不小于3的正整数)

同样也可以得到其外角和等于360°.即

多边形的外角和等于360°.

所以我们说多边形的外角和与它的边数无关.

对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°.

如下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后

转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得

的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.

四、课堂练习

课本P24练习1、2、3题.

P24习题11.3第2、3题

五、课堂小结

引导学生总结本节课主要内容.

六、课后作业

课本P24习题11.3第4、5、6题.

备选题：

A

B

D\

一、判断题.

i.当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.（）

2.当多边形边数增加时.它的外角和也随着增加.（）

3.三角形的外角和与一多边形的外角和相等.（）

4.从n边形一个顶点出发，可以引出（n—2）条对角线，得到（n—2）个三角形.（）

5.四边形的四个内角至少有一个角不小于直角.（）

二、填空题.

1.一个多边形的每一个外角都等于30°,则这个多边形为边形.

2.一个多边形的每个内角都等于135。，则这个多边形为边形.

3.内角和等于外角和的多边形是边形.

4.内角和为1440°的多边形是.

5.一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最小角

为100°,最大的是140。，那么这个多边形是边形.

6.若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是边形.

7.五边形的对角线有条，它们内角和为.

8.一个多边形的内角和为4320°,则它的边数为.

9.多边形每个内角都相等，内角和为720°,则它的每一个外角为.

10.四边形的NA、NB、NC、ND的外角之比为1：2：3：4,那么NA：ZB：ZC：

ZD=.

11.四边形的四个内角中，直角最多有个，钝角最多有个，锐角

最多有个.

12.如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加,外角和

增加.

三、选择题.

1.多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（）

A.互为余角B.互为邻补角C.两个角相等D.外角大于内角

2.若n边形每个内角都等于150°,那么这个n边形是（）

A.九边形B.十边形C.十一边形D.十二边形

3.一个多边形的内角和为720。，那么这个多边形的对角线条数为（）

A.6条B.7条C.8条D.9条

4.随着多边形的边数n的增加，它的外角和（）

A.增加B.减小C.不变D.不定

5.若多边形的外角和等于内角和的号，它的边数是（）

A.3B.4C.5D.7

6.一个多边形的内角和是1800°,那么这个多边形是（）

A.五边形B.八边形C.十边形D.十二边形

7.一个多边形每个内角为108°,则这个多边形（）

A.四边形B,五边形C.六边形D.七边形

8,一个多边形每个外角都是60°,这个多边形的外角和为（）

A.180°B.360°C.720°D.1080°

9.n边形的n个内角中锐角最多有（）个.

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（）

A.八边形B.九边形C.十边形D,十一边形

四、解答题.

1.一个多边形少一个内角的度数和为2300°.

（1）求它的边数；（2）求少的那个内角的度数.

2.一个八边形每一个顶点可以引几条对角线？它共有多少条对角线？n边形呢？

3.已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数.

工

4.若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的2,求这个多边形的边数.

5.多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°,求这个多边形的边数.

6.n边形的内角和与外角和互比为13：2,求n.

7.五边形ABCDE的各内角都相等，且AE=DE,AD〃CB吗？

8.将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？

9.四边形ABCD中，ZA+ZB=210°,/C=4ND.求：/C或/D的度数.

10.在四边形ABCD中，AB=AC=AD,ZDAC=2ZBAC.求证：ZDBC=2ZBDC.

§数学活动一镶嵌

一、教学目标

1.会用正多边形无缝隙、不重叠地覆盖平面。

2.让学生在应用已有的数学知识和能力，探索和解决镶嵌问题的过程中，感受数学知

识的价值，增强应用意识，获得各种体验。

二、教学活动的建议

探究性活动是一种心得学习方式，它不是老师讲授、学生听讲的学习方式，而是学生自

己应用已有的数学知识和能力，去探索研究生活中有趣而富有挑战问题的活动过程。

建议本节教学活动采用以下形式：

（1）（1）学生自己提出研究课题；

（2）（2）学生自己设计制订活动方案；

（3）（3）操作实践；

（4）（4）回顾和总结.

教学活动中，教师提供必要的指点和帮助。引导学生对探究性活动进行反思，不仅关注

学生是否能用已有的知识去探究和解决问题，并更多地关注学生自主探究、与他人合作的愿

望和能力。

三、关于镶嵌

1.1.镶嵌，作为数学学习的一项探究性活动，主要有以下两个方面的原因：

(1)如果用“数学的眼光”观察事物，那么用正方形的地砖铺地，就是“正方形”

这种几何图形可以无缝隙、不重叠地拼合。

(2)“几何”中研究图形性质时，也常常要把图形拼合。比如，两个全等的直角三

角形可以拼合成一个等腰三角形，或一个矩形，或一个平行四边形；又如，六个全等的

等边三角形可以拼合成一个正六边形，四个全等的等边三角形可以拼合成一个较大的等

边三角形等。

2.2.各种平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件，是图形拼合后同一个顶点的若

干个角的和恰好等于360°。

(1)用同一种正多边形镶嵌，只要正多边形内角的度数整除360°,这种正多边形就

能作平面镶嵌。比如正三角形、正方形、正六边形能作平面镶嵌，而正五边形、正七边

形、正八边形、正九边形、……的内角的度数都不能整除360°,所以这些正多边形都

不能镶嵌。

(2)用两种或三种正多边形镶嵌，详见163〜166页内容。

(3)用一种任意的凸多边形镶嵌。

从正多边形镶嵌中可以知道：只要研究任意的三角形、四边形、六边形能否作平面镶嵌,

而不必考虑其他多边形能否镶嵌(这是因为：假如这类多边形能作镶嵌，那么这类正多边形

必能作镶嵌，这与上面研究的结论矛盾)

练习

一、填空题

如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷技铺设正方形地面,观察

图形并猜想填空：当黑色堂码为20块时,白色瓷传为埃,

当白色瓷稀为n«(n为正整数)块时，黑色资砖为;块.

晶效器

漏■逅

1、露君期

2、当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个

时，就拼成一个平面图形。

3、用一种正多边形铺满整个地面的正多边形只有三种。

二、选择题

4、某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状

的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形

状是

A正方形B正六边形C正八边形D正十二边形

5、某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖

形状不可以是

A正方形B矩形C正八边形D正六边形

6、右图是一块正方形地板砖，上面的图案由一个小正方形和四个等腰梯形组成，小明

家的地面是由这样的地板砖镶嵌而成的，小明发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两

个正八边形图

案需要这样的地板砖至少

A8块B9块C11块D12块

7、下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是

A、正三角形B、正五边形C、正六边形D、正八边形

8在综合时间活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形坐垫，坐垫的

图案如图所示，应该选下图中的哪一块布料才能使其与图(1)拼接符合原来的图案模式？

()

9、请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图

案。

10、试着用两种不同的正多边形设计一个密铺的方案，你能想出几种方法?

答案

4n+42、周角

3、正三角形、正四边形、正六边形

4、C5、C6、A7、B,8、C

9、

（1）S二也!好（2）正三角形、正四边in

JI1U

形（或正方形）,正六边形（3）如正八边形和正方形，草图如图.设在一个顶

点的周周有m个正方形的角.n个正八边形的角，那么m、n应是方程mx

W+nx1350=360P的整数解.因为这个方程的整数解只有m=l、n=2一

组，所以符合条件的图形只有一组

12、方法如图所示：（还有很多）

11、

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

教学内容

本节课主要介绍全等三角形的概念和性质.

教学目标

1.知识与技能

领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念.

2.过程与方法

经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角.

Q，售咸太府片价值欢

养观鼠蜀乍、一分析能力，体会全等三角形的应用价值.

重点难点

一

占

国

La一

小

一:会确定全等三角形的对应元素.

3占

2.(:掌握找对应边、对应角的方法.

工

r、键

\:找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是

对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，两条对应边

所夹的角是对应角.

教具准备

四张大小一样的纸片、直尺、剪刀.

教学方法

采用“直观——感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深

认识.

教学过程

一、动手操作，导入课题

1.先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，思考得到的图形有何

特点？

2.重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，思考得到的图形有何

特点？

【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论.

【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形.

学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两张纸,

注意整个过程要细心.

【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合.这

样的两个图形叫做全等形，用“好”表示.

概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运

动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？

【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等.

【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形

的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边.

【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）

何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？

【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论：

1.任意放置时，并不一定完全重合，只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重

合.

2.这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了.

3.完全重合说明三条边对应相等，三个内角对应相等，对应顶点在相对应的位置.

【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范.

1.概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边

叫做对应边，重合的角叫做对应角.

2.证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如果本

图11.1—24ABC和aDBC全等，点A和点D,点B和点B,点C和点C是对应顶点，

记作AABC丝△DBC.

课本图

【问题提出】课本图11.1—1中，^ABC咨ADEF,对应边有什么关系？对应角呢？

【学生活动】经过观察得到下面性质：

1.全等三角形对应边相等；

2.全等三角形对应角相等.

二、随堂练习，巩固深化

课本P4练习.

【探研时空】

1.如图1所示，Z\ACF且ZXDBE,ZE=ZF,若AD=20cm,BC=8cm,你能求出线段AB

的长吗？与同伴交流.（AB=6）

2.如图2所示，/XABC丝△AEC,ZB=30°,ZACB=85°,求出aAEC各内角的度数.

（ZAEC=30°,ZEAC=65°,ZECA=85°）

三、课堂总结，发展潜能

1.什么叫做全等三角形？

2.全等三角形具有哪些性质？

四、布置作业，专题突破

课本P33习题12.1第1,2,3,4题.

板书设计

把黑板分成左、中、右三部分，左边板书本节课概念，中间部分板书“思考”中的

问题，右边部分板书学生的练习.

疑难解析

由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不

同的位置关系，寻找对应边、角的规律：（1）有公共边的，公共边一定是对应边；（2）

有公共角的，公共角一定是对应角：（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等

三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）

是对应边（或角）.

12.2三角形全等的判定（1）（SSS）

教学内容

本节课主要内容是探索三角形全等的条件（SSS）,及利用全等三角形进行证明.

教学目标

1.知识与技能

了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等.

2.过程与方法

经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，解决简单的问题.

3.情感、态度与价值观

培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识.

重点难点

1.重点：掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法.

.难点：理解证明的基本过程，学会综合分析法.

教具准备

一块形状如图1所示的硬纸片，直尺，圆规.

教学方法

采用“操作——实验”的教学方法，让学生亲自动手，形成直观形象.

教学过程

一、设疑求解，操作感知

【教师活动】（出示教具）

问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图2所示的残片，你对图中的残

片作哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流.

【学生活动】观察，思考，回答教师的问题.方法如下：可以将图1的玻璃碎片放

在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形.如图2,剪下模板就

可去割玻璃了.

【理论认知】

如果AABC丝Z\A'B'C,那么它们的对应边相等，对应角相等.反之，如果△

ABC与B'C'满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A'B',BC=B'C,

CA=CZA',ZA=ZAZ,NB=/B',ZC=ZC,.

这六个条件，就能保证aABC丝Z\A'B'C',从刚才的实践我们可以发现：只要

两个三角形三条对应边相等，就可以保证这两块三角形全等.

信不信？

【作图验证】（用直尺和圆规）

先任意画出一个△ABC,再画一个AA'B'C',使A'B'=AB,B'C=BC,CA'

=CA.把画出的4A'B'C'剪下来，放在aABC上，它们能完全重合吗？（即全等吗）

【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的要求作图，并验证.（如课本图11.2-2所示）

AA'

画一个AA'B'C,使A'B'=AB',A'C=AC,B'C=BC：

1.画线段取B'C=BC；

2.分别以B'、C为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A'；

3.连接线段A，B'、A，C'.

【教师活动】巡视、指导，引入课题：“上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什

么规律？”

【学生活动】在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的定理.

（1）判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）.

（2）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等.

【评析】通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等，逐步探索出最后的结论一

一边边边，在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时增强了数学体

验.

二、范例点击，应用所学

【例1】如课本图11.2—3所示，^ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接点A与BC

中点D的支架，求证aABD丝4ACD.（教师板书）

【教师活动】分析例1，分析：要证明AABD丝Z\ACD,可看这两个三角形的三条边

是否对应相等.

证明：是BC的中点，A

.\BD=CD/

在4ABD和4ACD中