2021年吉林省长春市新区中考数学诊断试卷（ 含答案）

2021年吉林省长春市新区中考数学诊断试卷

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.计算6+“的结果是（）

A.B.2V3C.372D.逅

3

2.2020年长春市实现地区生产总值6638.03亿元，同比增长3.6%.总体来看，经济保持平

稳运行.6638.03这个数用科学记数法可以表示为（）

A.6.63803X104B.6.63803X103

C.0.663803X105D.0.663803X104

3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A.长方体B.正方体C.球D.圆柱

4.在平面直角坐标系中，点（-2,-3）到x轴的距离是（）

A.-2B.-3C.2D.3

5.如图，A8是。。的直径，点C、。在。。上.若/A8£>=15°，则NBC。的大小是（)

A.100°B.105°C.110°D.115°

6.如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧02与墙MN平行且距

离为。米，一辆小汽车车门宽AO为6米，当车门打开角度/AO8为a时，车门边缘的

点A处与墙的距离为（）

A.a-/?sinaB.a-4anaD.a...-

tanO.

7.已知直线/及直线/外一点P.如图,

(1)在直线/上取一点A,连接用；

(2)作山的垂直平分线MM分别交直线/,外于点B,0；

(3)以。为圆心，。8长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；

(4)作直线P。.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是()

A./\OPQ^/\OABB.PQ//AB

C.AP=1BQD.若尸Q=B4,则/APQ=60°

2

8.如图，菱形ABCO的两个顶点8、。在反比例函数y=K的图象上，对角线AC与的

交点刚好是坐标原点0，已知点A(1,1),ZABC=60°,则k的值是()

A.-2B.-3C.-273D.-3&

二、填空题(每小题3分，共18分)

9.因式分解：2/-12/+18。=.

10.若亚彘在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

11.若一个多边形内角和为900°,则这个多边形是边形.

12.如图，在半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分)，若将

此扇形围成一个无底的圆锥(不计接头)，则圆锥底面半径为.

13.一副三角板按如图方式摆放，得到△ABO和△BCD,其中乙4。8=/8。。=90°,ZA

=60°,ZCBD=45°,E为AB的中点，过点E作EF_LC£＞于点?若AD=4a〃，则

EF的长为cm.

C

14.在平面直角坐标系中，若抛物线y=-，-2%+机（机为常数）与x轴的交点都在点A（-

4,0）、B（1,0）之间，则用的取值范围是.

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

15.（6分）先化简，再求值：（a+1）2+a（1-a）-1,其中a=遥.

16.（6分）有A、B两个不透明的盒子，A盒子里有三张卡片，分别标有数字1、2、3,B

盒子里有两张卡片，分别标有数字4、5,这些卡片除数字外其余均相同.将卡片摇匀后，

从A、B盒子里各抽取一张卡片，请用画树状图（或列表）的方法，求抽到两张卡片上标

有的数字之积是偶数的概率.

17.（6分）图①、图②均是6X6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,小正方形的

顶点称为格点.点A、B、例、N均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要

求画图.

图①图②

（1）在图①中的格线MN上确定一点P,使南与尸8的长度之和最小；

（2）在图②中的格线MN上确定两点C、。，使CZ）=2且AC+CQ+O8的值最小.

19.(7分)自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情.然

而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松

懈.如图是某国截止2020年5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图.根

据图表信息，回答下列问题:

新冠病毒感染人数扇形统计图

"39岁

/周染快徐感染人数

航79人乙二年0岁以下

色染人数的0岁以［感染人数

\45%感染S

(1)截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为万人，扇形统计图中40-59

岁感染人数对应圆心角的度数为.

(2)请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图.

(3)在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为40岁以下的概

率.

(4)若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%,

求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率.

20.(7分)如图，在nABCQ中，ZACB=90°,过点。作。E_LBC交BC的延长线于点£

(1)求证：四边形ACM是矩形.

(2)连接AE交CD于点F,连接BF.若/A8C=60°,CE=\,则BF的长

为_______________.

21.(8分)甲、乙两人沿笔直公路匀速由A地到3地，甲先出发30分钟，到达8地后原

路原速返回与乙在C地相遇.甲的速度比乙的速度快25%/人甲、乙两人与A地的距离

y(km)和乙行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示.

(1)甲车速度为km/h,"的值为.

(2)求甲车到达8地后y与x之间的函数关系式.

(3)求8c两地相距的路程是多少千米.

图①图②图③

［性质探究］如图①，点尸在△A8C内，将△4PC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点

B处，得到△AQB,连接。P.求证：是等边三角形.

［理解运用］如图②，点尸在内，若NAPC=150°,PA=\,PC=2,求PB的长度.

［类比拓展］如图③，点P在aABC外，若用=1,PB=3,PC=®,则NAPC的度数

为

2021年吉林省长春市新区中考数学诊断试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.计算6+b的结果是（）

*萼&2氏C.372。・李

【分析】将除法转化为乘法计算，然后进行分母有理化即可.

【解答】解：6+遍=£=幽1=2我.

V33

故选:B.

2.2020年长春市实现地区生产总值6638.03亿元，同比增长3.6%.总体来看，经济保持平

稳运行.6638.03这个数用科学记数法可以表示为（）

A.6.63803X104B.6.63803X103

C.0.663803X105D.0.663803X104

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中lW|a|<10,〃为整数.确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值<1时，〃是负整数.

【解答】解：6638.03=6.63803X103.

故选:B.

3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A.长方体B.正方体C.球D.圆柱

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.

【解答】解：根据主视图和左视图为矩形是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体

应该是圆柱.

故选：D.

4.在平面直角坐标系中，点（-2,-3）到x轴的距离是（）

A.-2B.-3C.2D.3

【分析】根据点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，可得答案.

【解答】解：在平面直角坐标系中，点（-2,-3）到x轴的距离为3.

故选：D.

5.如图，AB是。。的直径，点C、。在。。上.若/48D=15°,则NBCO的大小是（：）

【分析】根据圆周角定理及直径所对圆周角为90°求解.

【解答】解：为直径，

AZBCA=90°,

VZABD=\50,

；./ACQ=NA8Z）=15°,

NBCO=NAC£）+NACB=105°,

故选：B.

6.如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧。3与墙平行且距

离为。米，一辆小汽车车门宽AO为6米，当车门打开角度/AOB为a时，车门边缘的

点A处与墙的距离为（）

A.a-/?sinaB.a-Z?tanaC.-___-——D.-___--

sinClatana

【分析】构造直角三角形OAC,通过解直角三角形求出AC长度即可求解.

【解答】解：如图，作ACLO8于点C,

M

*：AO=b,/AOB为a,

.".sina=-^.,

OA

；.AC=6sina,

车门边缘的点A处与墙的距离为a-bsina.

故选:A.

7.已知直线/及直线/外一点P.如图,

(1)在直线/上取一点4,连接雨;

(2)作出的垂直平分线分别交直线/,用于点8,0；

(3)以。为圆心，08长为半径画弧，交直线MN于另一点°；

(4)作直线PQ.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是()

A./\OPQ^/\O\BB.PQ//AB

C.AP=^BQD.若PQ=B4,则/APQ=60°

【分析】连接AQ,BP,如图，利用基本作图得到BQ垂直平分以，OB=OQ,则可根

据“SAS”判断△O4B丝△OPQ,根据全等三角形的性质得/ABO=NPQO,于是可判断

PQ//AB；由BQ垂直平分PA得到QP=QA,若PQ=PA,则可判断△以、为等边三角形，

于是得到/AP0=6O°,从而可对各选项进行判断.

【解答】解：连接A。，BP,如图，

由作法得BQ垂直平分B4,OB=OQ,

.../POQ=NAO8=90°,OP=OA,

.♦.△0A始△OPQ（SAS）；

ZABO=ZPQO,

J.PQ//AB；

：8。垂直平分以，

：.QP=QA,

若PQ=必，则PQ=QA=%,此时△以。为等边三角形，贝叱”。=60°.

故选：C.

8.如图，菱形48C。的两个顶点8、。在反比例函数），=K的图象上，对角线AC与8。的

x

交点刚好是坐标原点O,已知点A（1,1）,NA8c=60°,则k的值是（）

A.-2B.-3C.-2-/3D.-372

【分析】根据OA所在直线解析式求出OA长度及OB所在直线解析式，再通过解直角三

角形求出OB的长度，设出点8坐标，求出坐标即可求出上

【解答】解：•••点A坐标为（1,1）,

所在直线解析式为＞=X，且。4=我，

'：BO±AO,

：.B0所在直线解析式为y=-x,

VZABC=60°,

，/ABO=30°,

80=V^A0=近，

设点B坐标为（“，-in）,

则后舍近，

解得〃7=±J5，

:.k=-m2--3.

故选:B.

二、填空题(每小题3分，共18分)

9.因式分解：2/-12/+18。=2。(”-3)2.

【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，

可采用完全平方公式继续分解.

【解答】解：2a3-解d+i8a

=2a(J-6a+9)

—2a(a-3)2.

故答案为：2a(a-3)2.

10.若亚获在实数范围内有意义，则x的取值范围是x23.

【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.

【解答】解：:使t2x-6在实数范围内有意义，

：.2x-6^0,

解得x23.

故答案为：x23.

11.若一个多边形内角和为900°,则这个多边形是七边形.

【分析】根据多边形的外角和公式(n-2)-180°,列式求解即可.

【解答】解：设这个多边形是〃边形，根据题意得，

(〃-2)780°=900°,

解得n=7.

故答案为：七.

12.如图，在半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分)，若将

此扇形围成一个无底的圆锥(不计接头)，则圆锥底面半径为返.

-2一

【分析】由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形的弧长等于底面周长求得底面半径即可.

【解答】解：连接BC,

VZBAC=90°,

••.8C为。。的直径，

：.BC=4,

在RtZ\ABC中，由勾股定理可得：AB=AC=2A/5,

.•.扇形的弧长为：90兀X2返=扬,

180

设底面半径为r,则2TU*=MTT,

解得：r=返，

2

故答案为：返.

2

13.一副三角板按如图方式摆放，得到△A8D和△BCD,其中乙4。8=/38=90°,ZA

=60°,ZCBD=45°,E为A8的中点，过点E作EF_LCO于点F.若A£）=4c/n,则

EF的长为（、万+\而）cin.

【分析】过A作AGLZJC于G,得到/4OG=45°,进而得到AG的值，在30°的直角

三角形A3。和45°直角三角形3C£）中，计算出BO,CB的值.再由AG〃EF〃BC,E

是AB的中点，得到F为CG的中点，①最后由梯形中位线定理得到EF的长.②连接

DE,根据勾股定理得到A8,根据直角三角形中位线定理得到OE,再根据等腰直角三角

形的性质和线段的和差关系求得DF,根据勾股定理即可求解.

【解答】解：过点A作AGLOC于G.

:,NCDB=NCBD=45°,NADB=90°,

.♦./AOG=45°.

DG=AG=.^=2y/2cm.

V2

VZABD=30°,

BD—V3AO=.

VZCBD=45°,

.♦.C8=g&=2加cm.

V2

：AG_LCG,EFLCG,CBLCG,

J.AG//EF//BC.

又是AB的中点，

尸为CG的中点,

®.-.EF=A（AG+BC）=A（2&+2捉）=（V2+V6）cm.

22

②连接DE,

AB=Scm9

DE=4cm,

CD='ZyJ^cfnf

DF=（2A/6-2V2）4-2=（A/6-V2）cm,

EF={DE2-DF2=cm.

故答案为：（。分

14.在平面直角坐标系中，若抛物线y=-/-2x+m("为常数)与x轴的交点都在点A(-

4,0)、B(b0)之间，则q的取值范围是-.

【分析】根据抛物线开口朝下，△》()时抛物线与x轴有交点，点8距离对称轴更近,

所以将X=1代入抛物线解析式小于0,从而求解.

【解答】解：•••抛物线开口朝下，对称轴为直线x=-l,-1-（-4）>1-（-1）,

2

二抛物线与直线X=1交点在X轴下方，且方程-x-2JC+»7=0,△》（），

即1—0,

14+4m）0

解得"1

故答案为：-lW/n<3,

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

15.（6分）先化简，再求值：（a+1）2+〃（1-°）-1,其中。=遥.

【分析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最

简结果，把a的值代入计算即可求出值.

【解答】解:原式=。2+2。+1+。-/-1

—3a,

当a=泥时，原式=3泥.

16.（6分）有A、B两个不透明的盒子，A盒子里有三张卡片，分别标有数字1、2、3,B

盒子里有两张卡片，分别标有数字4、5,这些卡片除数字外其余均相同.将卡片摇匀后，

从4、8盒子里各抽取一张卡片，请用画树状图（或列表）的方法，求抽到两张卡片上标

有的数字之积是偶数的概率.

【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，抽到两张卡片上标有的数字之积是偶数的

结果有4种，再由概率公式求解即可.

积458101215

共有6种等可能的结果，抽到两张卡片上标有的数字之积是偶数的结果有4种，

...抽到两张卡片上标有的数字之积是偶数的概率为刍=2.

63

17.（6分）图①、图②均是6X6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,小正方形的

顶点称为格点.点4、B、M、N均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要

求画图.

图①图②

（1）在图①中的格线MN上确定一点P,使以与P8的长度之和最小；

（2）在图②中的格线MN上确定两点C、D,使C£）=2且AC+CC+OB的值最小.

【分析】（1）作点4关于直线MN对称点然后连接点8,与MN交点即为所求.

（2）先做点A对称点，然后点B向左移动2个单位连接两点，将点A对称点右移2个

单位连接点8即可求出C,D.

【解答】解：（1）如图，作点A关于直线MN对称点然后连接点B,

交MN于点、P,

（2）先做点A对称点，然后点B向左移动2个单位连接两点，将点A对称点右移2个

单位连接点8即可求出C,D.

19.（7分）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情.然

而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松

懈.如图是某国截止2020年5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图.根

据图表信息，回答下列问题：

新冠病毒感染人额扇形统计图

覆〉\20*39岁

/蹩%・感染人数

’60-79氯乙旦今20岁以下

辞染人数恤岁以］感染人数

\45%感染加

（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为，万人，扇形统计图中40-59

岁感染人数对应圆心角的度数为72。.

（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图.

（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为40岁以下的概

率.

（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%,

求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率.

【分析】（1）由60-79岁的人数及其所占百分比可得总人数，再用3600乘以40-59

岁感染人数所占比例即可得；

（2）先求出20-39岁人数，再补全折线图；

（3）利用频率估计概率即可得；

（4）利用加权平均数的定义求解可得.

【解答】解：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为9945%=20（万人），

扇形统计图中40-59岁感染人数对应圆心角的度数为360°X_?=72°,

20

故答案为：20,72；

（2）20-39岁人数为20*10%=2（万人）,

补全的折线统计图如图所示；

新冠病毒感染人数统计图

20-39岁以下60-79岁以下

(3)该患者年龄为40岁以下的概率为：2+0.5=4

208

(4)该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为：

0.5X1%+2><2.75%+443.5%+9X4%+4.5义20隈100%=10%

~20°°-

20.(7分)如图，在口488中，/ACB=90°,过点。作。E_L8C交BC的延长线于点E.

(1)求证：四边形ACE£>是矩形.

(2)连接AE交C£>于点凡连接BF.若乙48c=60°,CE=1,则B尸的长为

【分析】(1)由DABCD,ZACB=90°可得NACE=/CA£>=90°,再由。E_L8C可得

ZDEC=90°从而证明.

(2)又矩形对角线互相平分且相等及A8〃C£>,ZABC=60°可证明△8FE为直角三角

形，再通过特殊三角函数值可求解.

【解答】(1)证明：•.•四边形ABC。为平行四边形,

J.AD//BC,

VZACB=90°,

...NACE=NCAD=9O°,

XVDE1BC,

N£)EC=90°,

，NACE=ZCAD=ZD£C=90°,

四边形ACE。是矩形.

(2)如图，

,:AB〃CD,

：.ZDCE=ZABC=60°,

<CF=EF,

...△CFE为等边三角形，

:.CF=CE=AD=BC=1,

.../C8F=NCFB=60+2=30°,

/.NBFE=ZCFB+ZEFC=90°,

.♦.△BFE为直角三角形，

/.tan30°=^-=^3-,

BF3

:.BF=«EF=«.

21.(8分)甲、乙两人沿笔直公路匀速由A地到B地，甲先出发30分钟，到达8地后原

路原速返回与乙在C地相遇.甲的速度比乙的速度快25加/力，甲、乙两人与4地的距离

y(km)和乙行驶的时间x(力)之间的函数图象如图所示.

(1)甲车速度为50km/h,〃的值为125.

(2)求甲车到达B地后y与x之间的函数关系式.

(3)求BC两地相距的路程是多少千米.

【分析】(1)由速度=路程+时间，路程=时间X速度求解.

(2)先由甲车速度为50kmih得出y=kx+b中A=-50,再代入点坐标求解.

(3)联立甲乙两车所在直线方程求出y,再用总路程-所求y即可.

【解答】解：(1)由题意可得甲行驶30分钟路程为25姐?，

即甲的速度为25+0.5=50h”//i,

.♦.50X(2+0.5)=125km,

即a=1