17.1 一元二次方程（解析版）

17.1一元二次方程学习目标：1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数；2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.知识点一一元二次方程1.一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。2.一元二次方程必须同时满足的条件(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2例如3x2-x+1=0,即学即练下列选项中，关于x的一元二次方程的是（）答案：C判断一元二次方程的方法先看方程等号两边是不是整式，如果是整式，再移项、合并同类项，使方程等号右边为0,最后观察其是否还同时具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若同时具备了，则方程是一元二次方程，否则不是.定义中“等号两边都是整式”是指原方程中等号两边都是整式，而不是“整理合并(整理合并是指去分母、去括号、移项和合并同类项)”之后都是整式，定义中“只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)”这句话，是对将方程“整理合并”之后而言的，当方程中二次项系数含有字母时，若字母的取值范围不明确，则这个方程不一定是一元二次方程。知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0):其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项注意：（1）a≠0是一元二次方程的必要条件.（2）如果明确指出方程ax²+bx+c=0是关于x的一元二次方程，那么就隐含了a≠0这一重要条件。学生：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？老师：即学即练将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.解：去括号，得：3x²－3x=5x+10.移项、合并同类项，得该方程的一般形式为3x²－8x－10=0.其中二次项是3x²，系数是3；一次项是－8x，系数是－8；常数项是－10.(1)一元二次方程一般形式的特点为方程右边是0,方程左边是关于x的二次整式(2)“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，也是考查一元二次方程的定义的重点，但b,c可以为0.(3)要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项，必须先将一元二次方程化为一般形式，二次项系数、一次项系数与常数项都包括它们前面的符号.如4x²-3x-2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为4,-3,-2.(4)通常情况下，方程整理为一般形式时，将二次项系数化为正数.知识点三一元二次方程的解(根)1.一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.2.判断一个数是不是一元二次方程的解的方法将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解。即学即练下面哪些数是方程x2–x–6=0的解?-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4x–4–3–2–101234x2

–

x

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6x－4－3－2－101234x2

–

x

–

61460－4－6－6－406所以x=－2，x=3是方程x2–x–6=0的解.题型一一元二次方程的定义例1（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x2=5x-1C．x-3x+1=x【答案】A【分析】利用一元二次方程的定义，即可找出结论．【详解】解：A．方程2xB．方程x+1C．原方程整理得2x-D．3x-故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．举一反三1（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2=2 B．1x2+x=2 C【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．【详解】解：A．x2B．1xC．x2D．x2故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：（1）一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；（2）一元二次方程的一般形式是ax举一反三2（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（

）．A．ax2+bx+c=0（其中a、b、c是常数）C．2x2+5x-7=x【答案】B【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．【详解】解：A、当a=0时，方程axB、x2C、2x2+5xD、1x故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，一般形式为：ax题型二一元二次方程的一般形式例2（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）当m时，方程mx【答案】m【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般式，再使二次项系数不为0即可求解．【详解】解：将方程mx2-∵方程mx∴m-1≠故答案为：m≠【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0举一反三1（2021秋·上海杨浦·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m的值为．【答案】-3【分析】根据题意可得：m2-9=0【详解】解：将一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9整理得：（m﹣3）x2﹣3x+m2-9=0，∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，∴m2-9=0解得：m=-故答案为：-3【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式ax举一反三2（2020秋·上海·八年级统考期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（

）A．x-1x+3=0 B．ax2+bx+c=0（其中aC．1x2-【答案】A【分析】先将各选项一元二次方程不是一般形式的化为一般形式，然后根据一元二次方程的定义逐一判断即可．【详解】解：A．(x-1)(x+3)=0，整理，得B．当a=0时，ax2+bx+c=0（其中a、bC．1xD．(x-3)(x-故选A．【点睛】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题关键．题型三一元二次方程的解例3（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）若x=-1是方程x2-mx-3=0的一个根，则m【答案】2【分析】根据一元二次方程的解的定义将x=-1代入方程【详解】解：∵x=-1是方程∴1+m-解得：m=2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是根据题意得出1+m-举一反三1（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）关于x的方程2x2-(m+4)x+m-6=0有一个根为零，那么【答案】6【分析】将x=0代入原方程，得到新的方程，求解即可得到m的值．【详解】解：关于x的方程2x2-∴m-6=0，解得：故答案为：6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解是能使方程两边左右相等的未知数的值．举一反三2（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m-3=0的一个根是0，那么【答案】3【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1≠【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m-∴m-3=0，且解得，m=3，故答案是：3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意二次项系数不等于零．题型四一元二次方程的解的估算例4（2023秋·陕西西安·九年级西安市第八十五中学校考开学考试）根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是x3.233.243.253.26a-0.06-0.020.030.09A．3<x<3.23 B．3.23<x<3.24 C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.26【答案】C【分析】方程ax2+bx+c=0【详解】解：由表中数据可知：ax2+bx+c的值接近0时对应的x的值在3.24所以方程的一个解的范围为3.24<x<3.25．故选：C．【点睛】此题主要考查方程的近似解，解题的关键是熟知方程近似解的判定方法．举一反三1（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）根据如表中代数式ax2+bx的取值情况，可知方程ax……-3-2-10123……a……12620026……x1=0，x2=1 B．x2C．x1=-2，x2=3 D．x1【答案】C【分析】将ax2+bx-6=0【详解】解：由ax2+bx从表格看，当x=-2或x=3时，ax故方程ax2+bx-6=0故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根及代数式的值，解题的关键是将ax2+bx举一反三2（2023春·广东茂名·八年级统考期末）根据下列表格对应值：x3.243.253.26a-0.020.010.03判断关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0的一个解xA．x<3.24 B．3.24<x<3.25C．3.25<x<3.26 D．3.25<x<3.28【答案】B【分析】利用x=3.24和x=3.25所对应的ax2+bx+c的值可判断关于x的方程a【详解】解：∵当x=3.24时，ax2+bx+c=-0.02<0∴关于x的方程ax2+bx+c=0a故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程解的估算，解题的关键是根据表格中的数据，找出一元二次方程一个解的范围．一、单选题1.（2022秋·上海宝山·八年级统考期末）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x-1x-1=0C．x2=0 D【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【详解】解：A．x-B．7xC．x2D．(x+1)(x-2)=x(x+1)化简得：故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．2．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）下列方程是一元二次方程的是（

）A．ax2+2x+1=0（a为常数）C．x(2x-1)=2x2-2x-1【答案】B【分析】利用一元二次方程的定义逐项判断即可得出答案．【详解】解：ax2+2x+1=0x2x(2x-1)=2xx3故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的识别，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．3．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）下列方程中不是一元二次方程的是（

）A．x2-2x+3=0 BC．3x2+x-1=0【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．【详解】解：A．x2B．y2C．3x2+xD．x-故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：（1）一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；（2）一元二次方程的一般形式是ax4．（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（

）A．3x2=-3x； BC．3y2-3=3x；【答案】A【分析】利用一元二次方程的定义：ax【详解】解：A、3xB、5xx+1=x5xC、3y2-D、1x故选：A．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．5．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（

）A．3x2=2-12x； C．x2=0； D．【答案】C【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：A、它是分式方程，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；B、当a=1时它不含有二次项，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；C、x2D、它最高次项是三次项，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程．二、填空题1．（2022秋·上海宝山·八年级统考期末）若关于x的方程(a-2)x4-a+7x-1=0是一元二次方程，则a【答案】6【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可．【详解】解：∵(a-4-解得a=6，故答案为：6．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．2．（2022秋·上海·八年级校考期中）若方程m2-1x2+2mx=9【答案】m≥0【分析】根据一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式求解集，即可求解．【详解】解：根据题意得，m2-1∴m≠±1且∴m