第一章勾股定理教案北师大版八年级数学上册

第一单元《勾股定理》整体分析教学内容勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值.勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科的基础性与广泛的应用.本课时教学是复习课，强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，强化应用意识，培养学生多方面的能力.让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受数学的美，以提高学习兴趣.学科素养目标能把握知识的本质，及其内容、形式的变化；能从实际问题中抽象出数学模型或作归纳假设进行探索，能把具体现象上升为本质联系，从而解决问题；会对数学内容进行扩展或对数学问题进行延伸，会对解决问题过程中的合理性、完整性、简捷性的评价和追求作有效的思考明了知识的来龙去脉，领会知识的本质，能用自己的语言或转换方式正确表达知识内容；在一定的变式情境中能区别知识的本质属性与非本质属性，会把简单变式转换为标准式，并解决有关的问题。教学重难点①回顾本章知识，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用.②在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力.③在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣.通过对勾股定理历史的再认识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量.所需总课时（共5个课时）§1认识勾股定理2课时§2一定是直角三角形吗？1课时§3勾股定理的应用1课时§4知识与回顾1课时教案课题：1.1.1探索勾股定理授课时数：共2课时教学目标：1．用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．3．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理.难点：计算以斜边为边长的大正方形面积以及割补思想的理解和应用.教学准备：PPT教学过程：（要有导入新课、合作探究、当堂检测、课堂小结、作业布置、板书设计、教学反思这些环节）导入新课：3min合作探究：15min当堂检测：20min课堂小结：1min作业布置：1min教材分析及教学过程第一环节课前自学 自学活动：阅读课本25页解决下列问题：1.运用勾股定理进行计算分三步：第一步：注意应用的前提，即看是不是__________;第二步：分清求解的对象，即看是求直角边长，还是求斜边长或者两种均有可能；第三步：运用勾股定理进行计算。2．求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度3．如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处.大树在折断之前高多少？自学质疑：你还有什么问题？你最想与大家交流讨论的问题是什么？请写出来。。第二环节课上研学一、自学反馈1.反馈、答疑（1）小组交流：小组内成员依次展示自己的自学活动作业，说一说自己方法。（2）选一个小组汇报交流方法，其他组学生提问、补充。2.小组内交流解决自己的困惑和问题，不能解决的组长汇报聚焦问题课内解决。二、聚焦问题问题：你发现直角三角形三边长度之间存在什么关系？研究分享探究活动一自主探究：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？学生通过观察，归纳发现：结论1以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.探究活动二合作探究：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？（1）观察下面两幅图：（2）填表：A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）左图右图（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）图1图2图3（4）分析填表的数据，你发现了什么？学生通过分析数据，归纳出：结论2以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论2.探究活动三合作探究：（1）你能用直角三角形的边长，，来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.通过作图培养学生的动手实践能力.第三环节深度构建当堂检测1.P3随堂练习1、2(做在书上)2．在△ABC中，∠C＝90°，（l）若a＝5，b＝12，则c＝.（2）若c＝41，a＝9，则b＝.3．等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为。4.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？第四环节归纳小结1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流．在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．2．方法：（1）观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；（2）“割、补、拼、接”法.3．思想：（1）特殊—一般—特殊；（2）数形结合思想．意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动．效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.第五环节布置作业习题1.11,2第六环节板书设计第七环节教学反思教学理念补充资料教学反思教案课题：1.1.2探索勾股定理授课时数：共2课时教学目标：知识目标：掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.能力目标：1在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.2通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题培养学生应用数学解决实际问题意识和能力3.情感目标：在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重点.难点：应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值教学准备：PPT教学过程：（要有导入新课、合作探究、当堂检测、课堂小结、作业布置、板书设计、教学反思这些环节）导入新课：3min合作探究：15min当堂检测：20min课堂小结：1min作业布置：1min教材分析及教学过程一、第一环节：复习设疑，激趣引入教师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.第二环节：小组活动，拼图验证.活动1：教师导入，小组拼图.教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.） 活动2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：22图图1在此基础上教师提问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×ab+c2.并得到）从而利用图1验证了勾股定理.活动3：自主探究，完成验证教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）第三环节 延伸拓展，能力提升1.议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2__b_a_a_c_b_c1.一个直角三角形的斜边为20cm

,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长。第四环节：例题讲解初步应用例题：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？第五环节：回顾反思提炼升华教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.第六环节：布置作业，课堂延伸教师布置作业1．习题1．21，2，3 2．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评.第七环节：板书设计一、

复习勾股定理:勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．第八环节：教学反思教学理念补充资料教学反思教案课题：1.2一定是直角三角形吗授课时数：共1课时教学目标：1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念.2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形.3．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力.4．体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.重点：用三边关系判断一个三角形是否为直角三角形.难点：熟练应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.教学准备：PPT教学过程：（要有导入新课、合作探究、当堂检测、课堂小结、作业布置、板书设计、教学反思这些环节）导入新课：3min合作探究：15min当堂检测：20min课堂小结：1min作业布置：1min教材分析及教学过程课前自学自学活动：自学课本第9—10页，回答下列问题：1、下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由。=1\*GB3①9，12，15=2\*GB3②15，36，39=3\*GB3③12，35，36=4\*GB3④12，18，22请写出几组勾股数:3.古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗?自学质疑：你还有什么问题？你最想与大家交流讨论的问题是什么？请写出来。。课上研学一、自学反馈、聚焦问题1.反馈、答疑小组交流：小组内成员依次展示自己的自学活动作业，说一说自己方法。二、研究分享探究活动一下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.回答下列问题:1.这三组数都满足a2+b2=c2吗？2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？实验结果：①5,12,13满足a2+b2=c2,构成直角三角形;②7,24,25满足a2+b2=c2构成直角三角形;③8,15,17满足a2+b2=c2,构成直角三角形.思考：从上述问题中，能发现什么结论？意图：通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长，满足，则这个三角形是直角三角形”这一结论；在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。效果：经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：①5，12，13满足，可以构成直角三角形；②7，24，25满足，可以构成直角三角形；③8，15，17满足，可以构成直角三角形。从上面的分组实验很容易得出如下结论：如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形探究活动二提问：有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现。你认为这个发现正确吗？你能给出一个更有说服力的理由吗？意图：让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方式使学生确信结论的可靠性，同时明晰结论：如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形满足的三个正整数，称为勾股数。注意事项：为了让学生确认该结论，需要进行说理，有条件的班级，还可利用几何画板动画演示，让同学有一个直观的认识。探究活动三合作探究：1.一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,DC=13,BC=12，DB=5。这个零件符合要求吗？2.如果将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,得到的三角形还是直角三角形吗？填写下表，并计算第一列数是否为勾股数，它们的2倍、3倍、4倍、10倍呢？如果是任意倍呢？说说你的理由。2倍3倍4倍10倍3、4、56、8、105、12、1315、36、398、15、1732、60、687、24、2570、240、250四、深度构建当堂检测若线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可能是（）A.3:5:7;B.5:4:3;C.1:2:3;D.1:4:9.2.将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形()A.是直角三角形;B.可能是锐角三角形;①②①②③⑥⑤④3．如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？FDFDABCE课堂小结通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.课后拓学巩固知识1.习题1.3第、2题2.三角形的三边分别是a,b,c,且满足等式(a+b)2c2=2ab,则此三角形是()A.直角三角形;B.锐角三角形;C.钝角三角形;D.等腰直角三角形3.已知∆ABC中BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_____三角形,___是最大角.4.以∆ABC的三条边为边长向外作正方形,依次得到的面积是25,144,169,则这个三角形是______三角形.5.下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。①9，12，15；②15，36，39；③12，35，36；④12，18，22ADCB6ADCB面积.解：二、拓展提升1、若△ABC的三边a、b、c满足（a－b）（＋－）＝0，则△ABC是（）2、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A.b2=c2－a2B.a∶b∶c=3∶4∶5C.∠C=∠A+∠BD.∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4第四环节：布置作业必做题：习题1.3，知识技能第２，３，４题．第七环节板书设计第八环节教学反思教学理念补充资料教学反思教案课题：1.3勾股定理的应用授课时数：共1课时教学目标：观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．重点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.难点：运用勾股定理求最短路径问题.教学准备：PPT教学过程：（要有导入新课、合作探究、当堂检测、课堂小结、作业布置、板书设计、教学反思这些环节）导入新课：3min合作探究：15min当堂检测：20min课堂小结：1min作业布置：1min教材分析及教学过程课前自学自学活动：阅读课本P13～14，完成自学探究．(用矩形纸片做成的圆柱、画出图形说明)如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？自学检测：若此圆柱高等于12cm底面圆的周长等于18cm,蚂蚁从A处爬向B处,爬行的最短距离是多少？自学质疑：你还有什么问题？你最想与大家交流讨论的问题是什么？请写出来。。课上研学一、自学反馈、聚焦问题1.反馈、答疑小组交流：小组内成员依次展示自己的自学活动作业，说一说自己方法。二、研究分享探究活动一学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．效果：A’A’A’A’（1）（2）（3）（4）学生很容易算出：情形（1）中A→B的路线长为：，情形（2）中A→B的路线长为：所以情形（1）的路线比情形（2）要短．学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A→B是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可．如图：（1）中A→B的路线长为：．（2）中A→B的路线长为：>AB．（3）中A→B的路线长为：AO+OB>AB．（4）中A→B的路线长为：AB．得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算AB？在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，则．注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能．但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条．因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上．方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：1．审题——分析实际问题；2．建模——建立相应的数学模型；3．求解——运用勾股定理计算；4．检验——是否符合实际问题的真实性．探究活动二李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？意图：运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题．效果：先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．探究活动三自主探究：如图，是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长。四、深度构建当堂检测1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）(A)(B)(C)(D)2．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙两人相距多远？课堂小结通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.课后拓学巩固知识1.课本p14~15习题1.4问题解决1、3、4、52．如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是如图所示，有一高4cm，底面直径为6cm的圆锥。现有一只蚂蚁在圆锥的顶A，它想吃到圆锥底部B点处的食物，需爬行的最短路程是多少？二、拓展提升1．如图，在高3m、坡面线段距离AB为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需_____m.2．如图是延安某地一个农家的窑洞的洞门示意图，其上方为半圆形．若长方形的对角线AC＝2.5m，AD＝1.5m，则洞口的面积为_____m2(π取3)．3．(本课时T9变式)如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm.板书设计课后反思教学理念补充资料教学反思教案课题：第一章复习课授课时数：共1课时教学目标：1.让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．2.在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力．3.在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．通过对勾股定理历史的再认识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量．重点：勾股定理及其逆定理的广泛应用.难点：运用勾股定理解决实际问题.教学准备：PPT教学过程：（要有导入新课、合作探究、当堂检测、课堂小结、作业布置、板书设计、教学反思这些环节）导入新课：3min合作探究：15min当堂检测：20min课堂小结：1min作业布置：1min教材分析及教学过程课前自学自学活动：请同学们回顾与思考中的问题并自己梳理本章的知识点、绘制思维导图.自学质疑：在梳理本章时你还有什么问题？你最想与大家交流讨论的问题是什么？请写出来。课上研学一、自学反馈、聚焦问题1.反馈、答疑小组交流：小组内展示自己总结的知识框图，相互交流完善知识框图；每个小组选取一名代表，展示本组的知识框图．二、研究分享探究活动一利用勾股定理求边长已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方．解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长的平方为25；（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长的平方为7．注意事项：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两