专题10 类比归纳专题：一元二次方程的解法与配方法的应用之十大类型(原卷版)

专题10类比归纳专题：一元二次方程的解法与配方法的应用之十大类型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法】 1【类型二当二次项系数为1，且一次项为偶数，可用配方法】 3【类型三若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解】 8【类型四所有一元二次方程均可用公式法求解】 11【类型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】 18【类型六一元二次方程的特殊解法——换元法】 20【类型七完全平方式中的配方】 23【类型八判断代数式的正负或求最值】 26【类型九比较两个代数式的大小】 31【类型十利用配方法构造非负数求值】 33【典型例题】【类型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法】1．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）方程的根为（

）A． B．， C． D．，2．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）方程的根是．3．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）解方程：．4．（2023春·山东济南·八年级校考阶段练习）解方程：．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）解方程：．6．（2023·上海·八年级假期作业）用开平方法解下列方程：(1)；(2)．【类型二当二次项系数为1，且一次项为偶数，可用配方法】1．（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）用配方法解方程时，配方后得到的方程是（）A． B． C． D．2．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程的解为（）A．， B．，C．， D．，3．（2023秋·陕西榆林·九年级绥德中学校考期末）将方程化成的形式是___________．4．（2023秋·广东东莞·九年级校联考期末）解方程：．5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）解方程：6．（2023春·浙江·八年级专题练习）用配方法解方程：．7．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程．（1）；（2）．8．（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【类型三若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解】1．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）一元二次方程的解是（

）A． B． C．， D．，2．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）方程的根是（

）A．3和 B． C．3 D．和3．（2023·全国·九年级假期作业）方程的解为________．4．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）方程的解为_______．5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）解方程：．6．（2023秋·广东湛江·九年级统考期末）解下列方程：．7．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）解方程：8．（2023·陕西西安·校考二模）解方程：．9．（2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟预测）解方程：．【类型四所有一元二次方程均可用公式法求解】1．（2023秋·四川广安·九年级统考期末）解方程：．2．（2023春·浙江·八年级专题练习）公式法解方程：．3．（2023·全国·九年级专题练习）用公式法解下列一元二次方程：(1)．(2)．(3)．4．（2023·全国·九年级专题练习）用公式法解下列方程：(1)．(2)．(3)．5．（2023·全国·九年级专题练习）用公式法解下列方程：(1)．(2)．(3)．(4)．6．（2023·全国·九年级专题练习）用公式法解下列方程：(1)．(2)．(3)．(4)．7．（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）（1）我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式．一般地，对于一元二次方程，当时，它的求根公式是_____，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．（2）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过如下：，，，（第一步）．（第二步）∴．（第三步）∴，．（第四步）小明解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是．（3）请你写出此题正确的解答过程．【类型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】1．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）解方程：．2．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．3．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）解一元二次方程：．4．（2023春·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考开学考试）解方程：5．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．【类型六一元二次方程的特殊解法——换元法】1．（2023春·全国·八年级专题练习）解下列方程：(1)；(2)．2．（2023春·浙江·八年级专题练习）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知，求的值；解：设，则原方程可变形为．即∴得，∴或已知，求的值．3．（2023秋·九年级单元测试）阅读材料，解答问题．解方程：．解：把视为一个整体，设，则原方程可化为．解得，．或．，．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：(1)；(2)．4．（2023春·八年级单元测试）（换元法）解方程：解：设则原方程可化为解得：当时，，解得当时，，解得∴原方程的根是，根据以上材料，请解方程：(1)．(2)【类型七完全平方式中的配方】1．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期中）如果是一个完全平方式，那么_________．2．（2023春·全国·七年级专题练习）如果是一个完全平方式，那么________3．（2023春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）若是完全平方公式，则的值为________．4．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．【知识理解】(1)若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______；A．4

B．8

C．

D．(2)若多项式是一个完全平方式，那么常数m的值为______；(3)配方：______；______；【知识运用】(4)通过配方发现，代数式有最小值，则最小值为______；(5)已知，则______，______．【类型八判断代数式的正负或求最值】1．（2023·江苏扬州·统考一模）已知，则的最小值是（

）A．8 B． C． D．92．（2023春·山东威海·八年级统考期中）已知，，下列结论正确的是（

）A．的最大值是0 B．的最小值是C．当时，为正数 D．当时，为负数3．（2023春·广东清远·八年级校考期中）多项式的最小值是_____．4．（2023春·江苏·七年级期中）阅读材料：求的最小值．解：，∵即的最小值为0，∴的最小值为4．解决问题：(1)若a为任意实数，则代数式的最小值为．(2)求的最大值．(3)拓展：①不论x，y为何实数，代数式的值．（填序号）A．总不小于1B．总不大于1C．总不小于6D．可为任何实数②已知，求．5．（2023春·浙江·七年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求M的最小值：解：因为，所以当时，M有最小值5请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式；(2)用配方法因式分解；(3)若，求M的最小值．【类型九比较两个代数式的大小】1．（2023·江苏·九年级假期作业）若，，则A、B的大小关系为（）A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B2．（2023春·浙江·八年级专题练习）若代数式，，则的值（）A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是负数 D．一定不是正数3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知代数式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，则AB（填＞，＜或＝）．4．（2023春·全国·八年级专题练习）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．例如，求的最小值问题．解：∵，又∵，∴，∴的最小值为．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：；(2)求的最小值．(3)比较代数式：与的大小．【类型十利用配方法构造非负数求值】1．（2023春·广西贵港·七年级统考期末）若，则．1．（2023·全国·九年级假期作业）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：(1)求代数式最值；(2)已知，求的值；(3)比较代数式与的大小．3．（2023·全国·九年级假期作业）阅读下列材料，解答问题．材料：求代数式的最小值．小明同学是这样解答的：我们把这种解决问题的方法叫做“配方法”．问题：(1)请按照