二次函数与一元二次方程

22.2二次函数与一元二次方程第二十二章二次函数学习目标1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.(难点）2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.（重点）3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.导入新课情境引入问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：

h=20t-5t2，考虑以下问题：讲授新课二次函数与一元二次方程的关系一（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？Oht1513∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.解：解方程15=20t-5t2，

t2-4t+3=0,

t1=1，t2=3.你能结合上图，指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？h=20t-5t2（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？Oht202解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.h=20t-5t2（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？Oht你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度吗?20.5解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5m.h=20t-5t2（4）球从飞出到落地要用多少时间？Oht0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.即0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面.h=20t-5t2

从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?

一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.如：y=5时，则5=ax2+bx+c（a≠0）就是一个一元二次方程.为一个常数（定值）一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.

利用二次函数深入讨论一元二次方程二思考观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2-2x+3；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2+2x-3.1xyOy=x2－6x＋9y=x2－2x＋3y=x2＋2x－3观察图象，完成下表：抛物线与x轴公共点个数公共点横坐标相应的一元二次方程的根y=x2－2x＋3y=x2－6x＋9y=x2＋2x－30个1个2个x2-2x+3=0无解3x2-6x+9=0，x1=x2=3-3,1x2+2x-3=0，x1=-3，x2=1知识要点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2-4ac

=0没有交点没有实数根b2-4ac<0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系分析：一元二次方程x²-2x-2=0的根就是抛物线y=x²-2x-2与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.利用二次函数求一元二次方程的近似解二例利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).解：画出函数y=x²-2x-2的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间，另一个在2与3之间.例

已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(

)A．x1≈－2.1，x2≈0.1B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9D．x1≈－3，x2≈1解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则

＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.B二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)三问题1函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=0的根是_____

_____；不等式ax2+bx+c>0的解集是___________；不等式ax2+bx+c<0的解集是_________.

3-1Oxyx1=-1，x2=3x<-1或x>3-1<x<3合作探究拓广探索：1.函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=2的根是______________;不等式ax2+bx+c>2的解集是___________;不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.

3-1Ox2(4，2)(-2，2)x1=-2，x2=4x<-2或x>4-2<x<4y2.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；当k≠3时，y＝(k－