全等三角形中辅助线的添加解析

10全等三角形中关心线的添加一.教学内容：全等三角形的常见关心线的添加方法、根本图形的性质的把握及娴熟应用。二．学问要点：1、添加关心线的方法和语言表述〔1〕作线段：连接……；〔2〕作平行线：过点……作……∥……；〔3〕作垂线〔作高：过点……作……⊥……，垂足为……；〔4〕作中线：取……中点……，连接……；延长并截取线段：延长……使……等于……；截取等长线段：在……上截取……，使……等于……；作角平分线：作……平分……；作角……等于角……；作一个角等于角：作角……等于……。2、全等三角形中的根本图形的构造与运用常用的关心线的添加方法：倍长中线〔或类中线〕法：假设遇到三角形的中线或类中线〔与中点有关的线段线，构造全等三角形。截长补短法：假设遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下局部等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部等于另一条较短线段。一线三等角问题”字图、弦图、三垂图直角边。角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。角含半角、等腰三角形的〔绕顶点、绕斜边中点〕旋转重合法：用旋转构造三角形全等。构造特别三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特别三角形来构造全等三角形。三、根本模型：〔1〕AB CD△ABCADBCDADB CE1AD到E，使DE=AD，连接BEFBFBDCE2：间接倍长，作CF⊥ADF，作BE⊥AD的延长线于E，连接BEMBMBDCN3MD到N，使DN=MD，连接CD〔2〕由△ABE≌△BCD由△ABE≌△BCD由△ABE≌△BCDBC=BE+ED=AB+CDED=AE-CDEC=AB-CD〔3〕角分线，分两边，对称全等要记全角分线+垂线，等腰三角形必呈现〔三线合一〕〔4〕①旋转：方法：延长其中一个补角的线段〔延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF〕结论：①MN=BM+DN②CCMN2AB ②翻折：ABM和△ADN以AM和ANNB=1800且AB=A〕〔5〕手拉手模型①△ABE和△ACF均为等边三角形〔1〕ABAE〔2〕B0E∠BAE=6°“八字型”模型证明〔OA拓展：条件：△ABC和△CDE均为等边三角形〔1AD=BE〔2ACBAOB〔PCQ为等边三角形〔4PAE〔5、AP=BQ〔6、COAOE〔7、OA=OB+OC〔8OE=OC+OD〔78〕需构造等边三角形证明〕②△ABD和△ACE均为等腰直角三角形〔1BCD〔B⊥CD③ABEF和ACHD均为正方形〔1B⊥CF〔、B=CF变形一：ABEFACHD均为正方形，AS⊥BCFDT，FDS S .FD求证：①T为 的中点.②ABC ADF方法一：方法二：方法三：变形二：ABEFACHD均为正方形，M为FD的中点，求证：AN⊥BC180

360④当以AB、AC为边构造正多边形时，总有：∠1=∠2= n.IF EHH G J GP FP1A2I A D K EA2B C B C D四、典型例题：考点一：倍长中线〔或类中线〕法：核心母题，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是 .A练习：

B D C1、如图，△ABCE、F分别在AB、AC，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CFEFAEFB D EF2、如图，△ABCBD=DC=AC，EDCADBAE.AB D E C3、如图，CE、CBABCADCACB=∠ABC，求证：CD=2CE。44、：如图，在正方形ABCD中，EBC的中点，点FCD上，∠FAE=BAEAF=BC+FC．5、如图，D是ABACB=90°,求证：2CD=AB.6、在△ABCAB=AC，DABEACDEBCF，且DF=EF，求证：BD=CE。DFDFCBE7、在△ABCADBCEAD上一点，且BE=AC，延长BE交ACF，求证：AF=EF。FEFEB D C8、：如图，在ABCABAC，D、EBC上，且DE=EC，过DDF//BAAEF，DF=AC.求证：AEBAC。AFB D E CF1题图9、以ABC的两边ABAC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90〔1〕问中得到的两个结论是否发生转变？并说明理由．10、：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DEECECM，联BMDM．如图假设点DE分别在边ACAB上那么BMDM的数量关系与位置关系是 ；1ADE绕点A2〔1〕中的结论是否仍旧成立，并说明理由．EMB EMACMA ACMD E1：：在Rt△ABCAB=BC，在Rt△ADEAD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DMBM．假设点D在边AC上，点E在边AB上且与点BBM、DM假设将图①中的△ADE绕点A45°的角，如图②，那么〔1〕中的结论是否仍成立？假设不成立，请举出反例；假设成立，请赐予证明．EEBDMA D C ABEMBEMC变式:2：：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90MCE的中点，连接BM.如图①点D在AB上连接D并延长DM交BC于点可探究得出BD与BM的数量关系为 ；如图②，点D不在AB〕EDMDEDMDMNEA C A C3：四边形ABCDBEFBEF90BEEFDFG为DFEGCGEC。24-1E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及EC的值；GC2将图24-1中的BEFB24-2所示位置，请问〔1〕中所得的结论是否仍旧成立？假设成立，请写出证明过程；假设不成立，请说明理由；2〔3〕将图24-1中的BEF绕点B顺时针旋转〔09，假设BE1，ABDF的长及∠ABF

EFD三GGFA D GGFF

A DB24-1

EC B24-2

C B C备用图ADBCADBCEAEBDABCBACDEAB=AD+BC．练习：1、①如图a，△ABCCEFC，连接AFBE.线段AFBE将图a中的△CEF绕点Cb，(1)中的结论还成立吗?作出推断并说明理由；BBEAFF CCB图bEABCBDC120ADBDCD.AB CD③、四边形ABCD中，ABBCABC60°，P为四边形ABCD的对角线BD上一点，且APD120PAPDPCBDAPAPBC113、如图，在ABCABC60，AD，CEBACACB的平分线，求证：AC=AE+CDAEOB D C4、如图，在△ABC，AB=AC，DABCABD=60°，∠ACD=60°求证：BD+DC=AB15、：如图在△ABCAB=AC，DABCABD=60°，∠ADB=90°－2

∠BDC，求证：AB=BD＋DC。考点三：一线三等角问题“K”字图〕12练习：1、：如图，在矩形ABCD1、：如图，在矩形ABCDE、F分别是边BCAB上的点，且EF=EDEFEDAE平22、两个全等的含3060°角的三角板ADE和三角板ABC如下图放置，EAC三点在一条直线上，连接BDBD的中点MMEMCEMC的外形，并说明理由．3、如图，在ABCACB90,ACBC，直线MNCADMN于点D，BEMN于点E。当直线MNC〔1〕的位置时，求证：DE=AD+BE；当直线MNC〔2〕的位置时，求证：DE=AD—BE；当直线MN绕点C旋转到图〔3〕的位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加以证明。CDACDAEBMCEDDCDCENBA BNN44、如下图，AEABBCCD且AB=AEBC=CDF、A、G、C、H在同始终线上，如依据图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？6、小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l∥l∥l，ll1，ll

2，试画出1 2 3 1 2 2 3一个等腰直角三角形ABCl、l、l1 2 3l1l2

上，并求出所画等腰直角三角形ABC的面积．CDA E H CD1l2lll3 B 3图1 图2旋转的方法构造全等三角形解决问题2l任取一点A⊥l于点DA=90°，AH上截取AE=AD，过点EEB⊥AEl3

1B，连接AB，作∠BAC=90°，交直线l2

2于点C，连接BC，即可得到等腰直角三角形ABC．请你答复：图2中等腰直角三角形ABC的面积等于 ．参考小雨同学的方法，解决以下问题：3，直线l∥l∥l,ll2，ll

之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC，使1 2 3 1 2 2 3三个顶点分别在直线ll、l上，并直接写出所画等边三角形ABC的面积〔保存画图痕迹．1 2 3l l1 1l l2 2l l3 3图3 图37、如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在P〔5,5〕处，两条直角边与坐标轴分别交于点AB.当点A、点B分别在xyOA+0B点AxByOA-OB9、：在平面直角坐标系中，等腰直角△9、：在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC顶点A、C分别在y轴、xACB=90°，AC=BC〔1〕如图1，当A〔0，-2，C〔1，0，点B在第四象限时，先写出点B的坐标，并说明理由．〔2〕如图2，当点Cx轴正半轴上运动，点A〔0a〕在y轴正半轴上运动，点B〔mn〕在第四象限时，作BDy轴于点Damn之间的关系，请证明你的结论．考点四：角平分线、中垂线法核心母题1、在ABCABACAD是BACPAD上任意一点．ABACPBPC．PAPB D C22、等腰直角三角形ABCBC是斜边．∠B的角平分线交ACD，过CCEBD垂直且交BD延长线于EBD=2CE．3、如图，△ABC的边BC的中垂线DFBAC的外角平分线AD于D，FDE⊥ABE，且AB＞AC，求证：BE-AC=AE练习1、如下图，在ABCAD是BACPADAPBPC与ABAC的大小，并说明理由．PAPB C D22、如下图：∠ABC的平分线BFABCACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过FDFBCABDACE〔1〕写出图中的等腰三角形并说明理由．〔2〕BD=8cmDE=3cmCE的长．3ABCAB2AC,AD平分BACEAD中点，连结CEBD2CE44ABCABC=2BEABC交ACE、ADBED〔1〕AC-BE=AE；〔2〕AC=2BD．55、如图，在△ABC中，ABACEBC边的中点，ADBAC的平分线，过EAD的平行线，交ABFCA的延长线于G．BF=CG变式一：如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB 点G，假设BGCF，求证：AD为BAC的角平分线．GAGAB E D C△ABCAD是△ABCM为BCM作M∥AAC于点NAN+AB=NC.变式三：在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．1，过CCE∥ADBA延长线于点E，假设FCE的中点，连结AF，求证：AF⊥AD；2，MBC的中点，过MMN∥ADACN，假设AB=4，AC=7，NC的长．图1 图26、如图，△ABCAB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交ACD，D求证：AD＋BD＝BC ADB C7、如图，在△ABCAD⊥BCD，CD＝AB＋BD，∠B的平分线交ACE，求证：点E恰好在BC线上。AEB D C81，在△ABCACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点HAOH作直线l⊥AOH，分别交直线AB、AC、BCN、E、M．当直线l经过点C时〔如图2BN=C；当MBC中点时，写出CE和CD请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．9、如下图，在△ABCABC=3∠C，ADBACBE⊥ADF，求证：2BE=AC-AB变式：如图，在ABCABC3C12BEAEACAB2BE2121EB C10、如下图，在ABCAD平分BACADABCMADMABAC2AM．BDBDCM1变式一：如图∠1=∠2，BACCM⊥FBM，AN⊥FBN，求证：①EF=2BM；②FB=2〔FM+FN〕变式二：如图，在△ODC中，D900，EC是DCO的角平分线，且OECE ，过点E作EFOC交OC于点F.猜测：线段EF与OD之间的关系，并证明.变式三：如下图，在△ABCAC＞AB，MBCADBACCF⊥ADAD1F，MF=2〔ACAB。DMDMCBF考点五：角含半角、等腰三角形的〔绕顶点〕旋转重合法核心母题如图，在正方形ABCDE、F分别是BC、CDEAF=45°，求证：EF=BE+DF.变式一：如图，E、F1的正方形ABCD的边BC、CDECF2，求∠EAF变式二：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAQ=45°，AH⊥EF，求证：AH=AB.综合：在正方形ABCD中，假设M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+DN，求证：①.∠MAN=45 ②.CCMN2AB③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.练习1、如图，在四边形ABCDAB=BC,∠A=∠C=90°，∠B=135°，K、N分别是AB、BCBKNAB2KDN2、：正方形ABCD中，∠MAN=45MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CBDC〔们的延长线〕于点M、N．当∠MAN绕点2、：正方形ABCD中，∠MAN=45MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CBDC〔们的延长线〕于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时〔如图1，易证BM+DN=MN．〔1〕当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时〔如图2，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜测，并加以证明；〔2〕MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BMDN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜测．求证：EF=BE+FD假设E、F分别是边BC、CD5、如下图，在五边形ABCDE，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°求证：ADCDE.226、如图，AB=CD=AE=BC+DE=2ABC=AED=90°，求五边形ABCDE的面积．77、如图1．在四边形ABCD中．AB=ADB+D=180゜，E、F分别是边BCCD上的点