考点10三角函数的概念诱导恒等变换

考点10三角函数的概念、诱导、恒等变换1.【2023新高考Ⅱ卷】已知α为锐角，cosα=1+54，则A.

3−58 B.−1+58 C.【答案】D

【解析】【分析】本题考查倍角公式，属于基础题．观察题干，发现未知角为已知角的一半，考虑倍角公式，即可得证．【解答】解：sin2故选：D．2.【2023新高考Ⅰ卷】已知sin(α−β)=13，cosαsinA.79 B.19 C.−1【答案】B

【解析】本题考查两角和与差的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题．

利用两角和与差的正弦公式先求出sinαcosβ的值，从而可以得到sin(α+β)的值，再结合二倍角的余弦公式即可得出结果．解：因为sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=13，3.【2022新高考Ⅱ卷】若sin(α+β)+cos(α+β)=2A.tan(α+β)=−1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α−β)=−1【答案】C

【解析】【分析】本题考查三角恒等变换的应用

法一：利用特殊值法，排除错误选项即可

法二，利用三角恒等变换，求出正确选项【解答】

解：解法一：设β=0则sinα+cosα=0，取α=34π，排除B，D

再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=π4，排除A;选C．

解法二：由sin(α+β)+cos(α+β)=2sin(α+β+π44.【2021新高考Ⅰ卷】若tanθ=−2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosA.−65 B.−25 C.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，属于基础题．

由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征将其“弦化切”即可求得三角函数式的值．【解答】

解：由题意可得：sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin2θ+cos25.【2021全国乙卷】cos2π12A.12 B.33 C.【答案】D

【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，二倍角的余弦及诱导公式，属于中档题．

直接利用诱导公式及二倍角的余弦化简求值即可．【解答】

解：cos2π12−cos25π12

=cos2⁡6.【2021全国甲卷】若α∈(0,π2)，tan2α=cosα2−A.1515 B.55 C.【答案】A

【解析】【分析】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，属于中档题．

把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，化简求解sinα，进一步求得cosα，再由商的关系可得tanα的值．【解答】

解：由tan2α=cosα2−sinα，得sin2αcos2α=cosα2−sinα，

即2sinαcosα1−2sin2α=cosα2−sinα，

∵α∈(0,π27.【2020全国Ⅱ卷】若α为第四象限角，则

(

)A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0【答案】D

【解析】【分析】本题考查三角函数在各象限的正负，属于基础题．根据所给角是第四象限角，写出角α的范围，求出2α的范围，进而可判断出三角函数值的正负．【解答】解：∵α为第四象限角，

∴−π2+2kπ<α<2kπ,k∈Z，∴2α是第三象限或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上，∴故选D．8.【2020全国Ⅲ卷】已知2tan θ−tan (θ+πA.−2 B.−1 C.1 D.2【答案】D

【解析】【分析】本题考查两角和的正切公式的应用．

利用两角和的正切公式化简即可求解．【解答】解：∵2tan θ−tan∴2tan整理得(tan θ−2)2故选D．9.【2020全国Ⅰ卷】已知α∈(0,π)，且3cos2α−8cosα=5，则A.53 B.23 C.1【答案】A

【解析】【分析】本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，考查了推理能力与计算能力，属基础题．

依题意，利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系求解即可．【解答】解：∵3cos∴3(2cos2α−1)−8(3cos α+2)(cos α−2)=0，又α∈(0,π)，sin α>0∴sin故选A．10.【2023全国乙卷】若θ∈0,π2,tan【答案】−【解析】【分析】本题考查同角三角函数的公式，属于基础题．

根据同角三角函数的公式，联立方程，求出sinθ【解答】解：因为tanθ=12,故有解得sinθ=55故答案为−11.【2022浙江】若3sinα−sinβ=10，α+β=π2，则【答案】3【解析】【分析】本题考查了诱导公式、二倍角余弦公式，属于中档题．

由诱导公式以及同角三角函数关系可得3sinα−cos【解答】解：因为3sinα−sinβ=10，α+β=π2，

所以3sinα−cosα=10，即9sin2α−6sinαcosα+cos2α=10，

设3cosα+sinα=t，即12.【2021北京】若点P(cosθ，

sinθ)与点Q(cos(θ+π6),【答案】5π12．【解析】【分析】本题主要考查了关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标，属于基础题.

根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.【解答】解：与关于轴对称，

即关于轴对称，

，

则，

当时，可取的一个值为.

故答案为：（满足即可）.13.【2020江苏】已知sin2(π4+α)=23【答案】13【解析】【分析】本题考查了二倍角公式，考查计算能力，属于基础题．

根据二倍角公式即可求出．【解答】

解：因为sin2(π4+α)=23，则sin214.【2020浙江】已知tanθ=2，则cos2θ=

；tan(θ−π4)=【答案】−3【解析】【分析】本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应用．

利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问．【解答】

解：tanθ=2，

则cos2θ=cos2θ−sin2θcos2θ+sin15.【2020北京】若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx，(0<φ<π)的最大值为2，则常数φ的一个取值为

．【答案】π2【解析】【分析】本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数最值，以及考查运算能力，属于中档题．

由两角和差公式，及辅助角公式化简得f(x)=cos2φ+(1+sinφ)2sin(x+θ)，其中【解答】

解：f(x)=sin(x+φ)+cosx

=sinxcosφ+cosxsin