第04讲二次根式（讲义）（原卷版）

第04讲二次根式目录TOC\o"13"\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一二次根式的相关概念题型01二次根式有意义的条件题型02判断最简二次根式题型03判断同类二次根式考点二二次根式的性质与化简题型01利用二次根式的性质化简 题型02常见二次根式化简的10种技巧技巧一数形结合法技巧二估值法技巧三公式法技巧四换元法技巧五拆项法技巧六整体代入法技巧七因式分解法技巧八配方法技巧九辅元法技巧十先判断后化解考点三二次根式的运算题型01二次根式的乘除运算题型02二次根式的加减运算题型03二次根式的混合运算题型04二次根式的化简求值题型05二次根式的应用考点要求新课标要求命题预测二次根式的相关概念了解二次根式、最简二次根式的概念中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题.二次根式的性质与化简掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简二次根式的运算了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算考点一二次根式的相关概念二次根式的概念：一般地，我们把形如a（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：49都是2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式a有意义.3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用．4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.[补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等.5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：2、8、12题型01二次根式有意义的条件【例1】（2023·黑龙江绥化·中考真题）若式子x+5x有意义，则x的取值范围是【变式11】（（2023·江西·中考真题）若a-4有意义，则a的值可以是（

）A．-1 B．0 C．2 D．6【变式12】（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式1-x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（

）A．

B．

C．

D．

【变式13】（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y=1x-1+1x-2解决二次根式有无意义的关键：1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．题型02判断最简二次根式【例2】（2023·上海青浦·二模）下列二次根式中，最简二次根式的是（

）A．0.2 B．8 C．6 D．1【变式21】（2022·河南南阳·二模）写出一个实数x，使x-3是最简二次根式，则x可以是．题型03判断同类二次根式【例3】（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【变式31】（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）A．8与3 B．2与12 C．5与15 D．75与27【变式32】下列各式中，能与2合并的是（

）A．4 B．24 C．12 D．8判断同类二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加以判断，要注意同类二次根式与根号外的因式无关．【变式33】若最简根式-2m+9与5m-5是同类二次根式，则m=判断同类二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加以判断，要注意同类二次根式与根号外的因式无关．考点二二次根式的性质与化简二次根式的化简方法：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a•b（a≥0，b≥0），化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；1.1.根据二次根式的性质化简时，a前无“”,a化简出来就不可能是一个负数.2.利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．3.化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．题型01利用二次根式的性质化简【例1】（2023·江苏泰州·中考真题）计算(-2)2等于（

A．±2 B．2 C．4 D．2【变式11】（2022·广西桂林·中考真题）化简12的结果是（

）A．23 B．3 C．22 D．2【变式12】（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得8m是整数；m=．【变式13】（2022·四川南充·中考真题）若8-x为整数，x为正整数，则x的值是．题型02常见二次根式化简的10种技巧技巧一数形结合法方法简介：利用数轴和数学表达式相结合，达到快速化简的目标.【例2】（2022·内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a-1|的化简结果是（A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【变式21】实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：(m-2)2=【变式22】（2022遂宁中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1-b-1技巧二估值法方法简介：先运用二次根式的运算法则化简，再将最后的化简结果化成根式再确定取值范围.【例3】（2023·重庆·中考真题）估计28+10A．7和8之间 B．8和9之间C．9和10之间 D．10和11之间【变式31】（2023·山东临沂·中考真题）设m=515-45，则实数A．m<-5 B．-5<m<-4 C．-4<m<-3 D．m>-3【变式32】若将三个数-3，7，11表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示），则这个被覆盖的数是技巧三公式法方法简介：根据题目已知条件，通过变形、凑元等方法，凑成可用乘法公式，快速求解.【例4】（2022·天津红桥·三模）计算23+32【变式41】（2023·河北保定·校考一模）已知：2+32=5+2【变式42】计算：3+1【变式43】计算：(5+6【变式44】10032技巧四换元法方法简介：根据已知条件，利用未知变量替换有规律表达式，寻找规律，快速求解.【例5】已知n＝2＋1，求n+2+n2-4n+2-技巧五拆项法方法简介：分子为多项式的和，分母为多项式的积，将分子拆出与分母相同或相似的项.【例6】计算：6+43+326+33+2.[提示：6＋43＋32＝(技巧六整体代入法方法简介：由已知条件，通过加减乘除运算，得到与求解表达式相关的表达数值，整体代入.【例7】已知x=15+2，y=1【变式71】已知x=15-2，y=【变式72】已知：x=110+3(1)x+y(2)x【变式73】已知a=5+35-技巧七因式分解法方法简介：与分式的化简相同，代数式的化简也要“变肥为瘦”.此题分母较为复杂，结合分子可将分母进行因式分解，约去公因式从而达到“瘦身”的效果.【例8】计算：2+技巧八配方法【例9】若a，b为实数，且b＝3-5a＋5a-3＋15，试求ba【变式91】可以用配方法化简二重根式，例如：4-23请化简式子：5-26+技巧九辅元法方法简介：所谓辅元法，就是引入一个新的未知数把其他未知数表示出新的未知数的代数式，然后再代入求值.【例10】已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求x+yx+z【变式101】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=14c2a2-c技巧十先判断后化解【例11】已知a＋b＝－6，ab＝5，求bba＋aa【变式111】先化简再求值(1)已知：y>3x-2+2-3x(2)已知a=12+31.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽.2.如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简.3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简.考点三二次根式的运算乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：ab=a•b（除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：ab=ab（a≥0，b加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.【口诀】一化、二找、三合并.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.【分母有理化方法】1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：12）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.即：1a混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．1.1.在使用ab=a•b（a≥02.在使用ab=ab（a≥0，b＞3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变．4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并．5二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式．6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式.题型01二次根式的乘除运算【例1】（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有a⋅b=A．a>0,b>0 B．a<0,b<0 C．a≤0,b≤0 D．a≥0,b≥0【变式11】（2023·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（

）A．2+3=5C．(3-2)2【变式12】（2023·河北·中考真题）若a=2，b=7，则A．2 B．4 C．7 D．2【变式13】（2022·广东广州·广东番禺中学校考三模）计算：abA．1|a|b2ab B．1abab【变式14】（2023益阳市中考）计算：20×5二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用.在运算时要明确运算符号和运算顺序.若被开方数是带分数,则要先将其化为假分数.题型02二次根式的加减运算【例2】（2023·辽宁盘锦·中考真题）计算：9-4=【变式21】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算3+313【变式22】（2023·广西玉林·一模）下列运算正确的是（）A．2+5=C．5-3=【变式23】（2023淄博市一模）已知实数m、n满足m-3+n-12=0，则m二次根式的加减与整式的加减相比，可将被开方数相同的二次根式看作整式加减中的同类项进行合并.另外有理数的加法交换律、结合律,都适用于二次根式的运算.【变式24】（二次根式的加减与整式的加减相比，可将被开方数相同的二次根式看作整式加减中的同类项进行合并.另外有理数的加法交换律、结合律,都适用于二次根式的运算.题型03二次根式的混合运算【例3】（2023·山东聊城·中考真题）计算：48-31【变式31】（2022·湖北荆州·中考真题）若3-2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式2+2a【变式32】（2023·湖北荆州·中考真题）已知k=25+A．2 B．3 C．4 D．5【变式33】（2023·甘肃武威·中考真题）计算：27÷题型04二次根式的化简求值【例4】（2023·湖南湘西·中考真题）先化简，再求值：1+1a-1÷【变式41】（2022·湖北襄阳·中考真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a2b）+2a（ba），其中a＝32，b＝3+2．【变式42】（2021·北京·一模）已知m+2n=5，求代数式4n【变式43】（2021·江苏苏州·苏州市景范中学校校考二模）先化简，再求值：x2+xx【变式44】（2022淄博市一模）已知：m＝2+1，n＝2﹣1，则m2A．±3 B．﹣3 C．3 D．5题型05二次根式的应用【例5】（2023·黑龙江绥化·模拟预测）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=pp-ap-bp-c，∠A，∠B，b，c，若a=5，b=6，【变式51】（2022·江苏无锡·校联考一模）按一定规律排列的一列数：3，82，153，244，……其中第5个数为，第n个数为【变式52】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）观察下列各式：①1+13=213，②2+14=314，③3+15=41【变式53】（2023·河南洛阳·二模）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a>0，b>