八年级数学复习备考高分秘籍（人教版）：全等三角形与角平分线大题专练（解析版）

2022-2023学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.4全等三角形与角平分线大题专练（培优强化30题）一、解答题1．（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学八年级期中）如图，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，AB＝CD，AE＝CF，BD交AC于点M(1)求证：BF=DE(2)求证：MB=MD【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明△AFB≌△CED即可得证；（2）证明△DEM≌△BFM即可得证．（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC∴∠CED=∵AE＝CF∴AE+EF＝CF+EF∴AF＝CE又∵AB＝CD∴△AFB≌△CED∴BF=DE（2）证明：∵∠CED=∠AFB=90°，BF∴△DEM≌△BFM∴BF=DE【点睛】本题考查全等三角形判定和性质的综合应用．充分挖掘题目中的隐含条件证明三角形全等是解题的关键．2．（2021·广西·柳州二十五中八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°(1)作∠CAB的角平分线，交BC于D点（尺规作图，保留作图痕迹）；(2)若CD=5，AB=18，求△ABD的面积．【答案】(1)见解析(2)45【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质定理求出DE，然后根据三角形的面积公式即可求解．（1）解：如图，射线AD即为所求；；（2）解：过点D作DE⊥AB于E，，又∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=DC，又CD=5，∴DE=5，∵AB=18，∴S△ABD【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．（2022·湖南岳阳·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；(1)若B、C在DE的同侧（如图1所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；(2)若B、C在DE的两侧（如图2所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)AB⊥AC，见解析【分析】（1）由已知条件，证明Rt△ABD≌Rt△CAE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE＝90°，即可证明AB⊥AC；（2）同（1），先证Rt△ABD≌Rt△CAE，从而可得结论.（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，∵{AB=AC∴Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°．∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．∴AB⊥AC．（2）AB⊥AC．理由如下：同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，∵∠CAE+∠ECA＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是利用三角形全等的性质证明∠BAD+∠CAE＝90°．4．（2020·湖北·公安县教学研究中心八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，BF⊥AD，交AD的延长线于E，交AC的延长线于F，且AD＝BF．(1)求证：AC＝BC；(2)若CD＝a，BD＝b，试求点D到AB的距离．【答案】(1)见解析(2)点D到AB的距离为a【分析】（1）根据题意证明△ACD≌△BCF(AAS)即可得到答案；（2）过点D作DH⊥AB于H，利用角平分线的性质得出DH＝DC即可得出解答．（1）证明：∵∠ACB＝90°，BF⊥AD，∴∠ACB＝∠BCF＝∠AEF＝90°，∴∠F+∠FBC＝90°，∠F+∠FAD＝90°，∴∠FBC＝∠FAD，在△BCF和△ACD中，∠ACB=∠BCF∴△ACD≌△BCF(AAS)，∴AC＝BC．（2）解：过点D作DH⊥AB于H，∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，∴DH＝DC，∵CD＝a，∴DH＝DC＝a，即点D到AB的距离为a．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解决本题的关键是掌握以上的性质并加以运用．5．（2021·河北·泊头市教师发展中心八年级期中）【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，∠CAD=∠CBD=90°，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．(1)若∠ACD=30°，∠MDN=60°，证明：AM+BN=MN；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长CB到点E，使BE=AM，连接DE，先证明△DAM≌△DBE，再证明△MDN≌△EDN，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；(2)当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图③，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系？证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)AM+BN=MN(3)BN−AM=MN，证明见解析【分析】（1）根据题意得AD=BD，延长CB到E，使BE=AM，连接DE，利用全等三角形的判定得出△DAM≌△DBESAS，△MDN≌△EDN（2）证明方法与（1）一致，证明即可；

（3）在CB截取BE=AM，连接DE，利用全等三角形的判定得出△DAM≌△DBESAS，△MDN≌△EDN（1）证明：根据题意得：AD=BD，延长CB到E，使BE=AM，连接DE∵∠A=∠CBD=90°，∴∠A=∠EBD=90°，在△DAM和△DBE中AM=BE∠A=∠DBE∴△DAM≌△DBESAS∴∠BDE=∠MDA，DM=DE，∵∠MDN=∠ADC=60°，∴∠ADM=∠NDC，∴∠BDE=∠NDC，∵∠NDC+∠NDB=60°∴∠BDE+∠NDB=∠NDE=60°∴∠MDN=∠NDE，在△MDN和△EDN中DM=DE∴△MDN≌△EDNSAS∴MN=NE，∵NE=BE+BN=AM+BN，∴AM+BN=MN．（2）由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°，证明方法同（1）类似，∴AM+BN=MN；（3）BN−AM=MN，证明：在CB截取BE=AM，连接DE，∵∠B=∠CAD=90°，∴∠B=∠DAM=90°，在△DAM和△DBE中AM=DE∠DAM=∠DBE∴△DAM≌△DBESAS∴∠BDE=∠ADM，DM=DE，∵∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD=90°，∴∠MDN=∠CDA，∴∠MDN−∠ADN=∠CDA−∠ADN，即∠MDA=∠CDN，∴∠BDE=∠CDN，∵∠ADC=∠BDC∴∠ADC−∠CDN=∠BDC−∠BDE即∠NDA=∠EDC∴∠NDA+∠MDA=∠EDC+∠CDN即∠MDN=∠EDN，在△MDN和△EDN中DM=DE∠MDN=∠NDE∴△MDN≌△EDNSAS∴MN=NE，∵NE=BN−BE=BN−AM，∴BN−AM=MN．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，找出各角之间的关系是解题关键．6．（2021·福建省泉州实验中学八年级期中）求证：有两边和其中一边上的高分别对应相等的两个锐角三角形全等．（要求：根据题意补全图形、写出已知、求证并证明）【答案】见解析【分析】根据题意先写出已知和求证，利用全等三角形的判定与性质得出Rt△ABD≌Rt△A′【详解】解：已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B求证：△ABC≌△A证明：在Rt△ABD和Rt∵{∴Rt∴∠B=∠B在△ABC与△A∵{∴△ABC≌△【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练应用全等三角形的判定方法是解题的关键．7．（2021·广东湛江·八年级期中）学校美术社团为学生外出写生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐得舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为36cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出CB的长度；如果不能，请说明理由．【答案】能，CB=36cm【分析】根据中点定义求出OA=OB，OC=OD,然后利用“边角边”证明△AOD≌△BOC，根据全等三角形对应边相等即可证明【详解】能，理由如下：∵AB=CD，O是它们的中点∴AO=BO，DO=CO在△AOD与△BOC中AO=BO∴△AOD≌△BOC(SAS)∴CB=AD=36cm【点睛】本题考查了全等三角形的应用，证明得到三角形全等是解题关键．8．（2021·福建·泉州市第六中学八年级期中）如图，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)若AB=21,AD=9，求DF的长．【答案】(1)见解析(2)DF=6【分析】（1）根据角平分线的性质可以得出CF=CE，根据HL证明Rt△BCE≅（2）先证明△CAF≅△CAE，就可以得出AF=AE，设DF=BE=x，就可以得出8+x=10-x，求出方程的解即可．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE=CF，∵在Rt△BCE和Rt△DCF中CE=CFBC=CD∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），即△BCE≌△DCF．（2）解：由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF，∴DF=EB，设DF=EB=x，∵在Rt△CAF和Rt△CAE中CF=CEAC=AC∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），∴AF=AE，即：AD+DF=AB-BE，∵AB=21，AD=9，DF=EB=x，∴9+x=21-x，解得：x=6，∴DF=6．【点睛】本题主要考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL．9．（2022·湖南·双牌县第一中学八年级期中）如图，AD是ΔABC的中线，DE⊥AB，DF⊥AC，且BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线．【答案】见详解【分析】先证明Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），再证明Rt△ADE≌Rt△ADF（（HL），即可得证．【详解】∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DEA=∠DFC=∠DFA=90°，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∵BE=CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF，又∵AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴∠DAE=∠DAF，∴AD平分∠BAC．【点睛】本题主要考查了全等三角形判定与性质、角平分线的定义，掌握直角三角形的全等判定方法是解答本题的关键．10．（2021·甘肃·庄浪县阳川中学八年级期中）如图所示，在△ABD中，∠BAD=40°，C为BD延长线上一点，∠BAC=110°，∠ABD的角平分线与AC交于点E，连接DE．求证：点E到DA、DC的距离相等；【答案】证明见解析【分析】过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，根据角平分线的性质可得EF=EG=EH，进而解答即可．【详解】证明：过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABD，∴EH=EF，∵∠BAC=110°，∠BAD=40°，∴∠FAE=∠CAD=70°，∴EF=EG，∴EG=EH，∴ED平分∠CDG，∴点E到DA、DC的距离相等．【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定，正确作辅助线是本题的关键，有难度．11．（2021·黑龙江·肇源县第二中学八年级期中）已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE和BF相交于D，且BD=CD．求证：点D在∠BAC的平分线上【答案】见解析【分析】首先根据已知条件证明△BDE≌△CDF（AAS），得到DE＝DF，再由角平分线的判定定理得出结论．【详解】证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BDE和△CDF中，∠BED=∠CFD=90°∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE＝DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，证明△BDE≌△CDF得出DE＝DF是本题的关键．12．（2021·辽宁·大连市第十七中学八年级期中）如图，AB=12，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC=4，点P从点B向点A运动，每秒走1，点Q从点B向点D运动，每秒走2；P，Q两点同时出发，运动多少秒后，△CPA与△PQB全等？【答案】4【分析】分当△CPA≌△PQB时和当△CPA≌△QPB时，两种情况进行讨论，求得BQ和BP的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立．【详解】解：（1）当△CPA≌△PQB时，BP＝AC＝4，则BQ＝AP＝AB﹣BP＝12﹣4＝8，A的运动时间是：4÷1＝4（秒），Q的运动时间是：8÷2＝4，则当t＝4秒时，两个三角形全等；（2）当△CPA≌△QPB时，BQ＝AC＝4，AP＝BP＝12AB则P运动的时间是：6÷1＝6（秒），Q运动的时间是：4÷2＝2（秒），故不能成立．总之，运动4秒后，△CPA与△PQB全等．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意分△CPA≌△PQB和△CPA≌△QPB两种情况讨论是关键．13．（2021·河南·濮阳市绿城中学八年级期中）如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．【答案】证明过程见详解【分析】依据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质构造EF⊥AD，从而得出EC=EF．再通过E是BC的中点，得出EF=EB，最终得出结论．【详解】证明：过点E作EF⊥AD，垂足为F．∵∠B=∠C=90°，∴BC⊥CD，CB⊥AB．∵DE平分∠ADC，∴EC=EF．∵E为BC的中点，∴EC=EB，∴EF=EB，∵EF⊥AD，CB⊥AB，∴AE平分∠DAB．【点睛】本题考查角平分线的性质及判定方法，能熟记并运用角平分线上的点到角两边的距离相等，并以此判定角平分线是解题关键．14．（2021·广西·柳州二十五中八年级期中）如图（1），AB=4cm，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP△BPQ是否全等？PC与PQ是否垂直？请分别说明理由；(2)如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB于A，BD⊥AB于B”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)△ACP≌△BPQ，线段PC与线段PQ垂直，理由见解析(2)存在t=1x=1或t=2x=32，使得△【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由∠A=∠B，△ACP和△BPQ全等，则分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．（1）解：当t=1时，AP=BQ=1cm，∵AB=4cm，∴BP=AB-AP=3cm，又AC=3cm，∴BP=AC又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，AC=BP∠A=∠B∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）存在，理由：由题意，得AC=3cm，AP=tcm，BP=(4-t)cm，BQ=xtcm.①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，则3=4−tt=xt解得t=1x=1②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，则3=xtt=4−t解得：t=2x=综上所述，存在t=1x=1或t=2x=32，使得△【解答】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．15．（2021·广东汕头·八年级期中）如图，△ABC≌△ADE，∠CAD=10°，∠B=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【答案】∠DFB=90°，∠DGB=65°【分析】由△ABC≌△ADE，可得∠DAE=∠BAC=12∠EAB−∠CAD，根据三角形外角性质可得∠DFB=∠FAB+∠B，因为∠FAB=∠CAD+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形外角的性质可得∠DGB=∠DFB−∠D【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∵∠EAB=120°，∠CAD=10°，∠B=25°，∴∠D=∠B=25°，∠DAE=∠BAC===55°，∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠CAD+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°，∴∠DGB=∠DFB−∠D=90°−25°=65°．∴∠DFB=90°，∠DGB=65°．【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，采用了数形结合的思想方法．找到相应等量关系的角是解题的关键．16．（2021·河南南阳·八年级期中）下面是某数学兴趣小组探究作一个角的平分线的方法，请仔细阅读，并完成下面的任务．(1)完成作图：①以O为圆心，以任意长为半径画弧分别交OA、OB于C、D．以O为圆心，以不等于OC的任意长为半径画弧分别交OA、OB于E、F．②连接DE、CF，交点为P．③作射线OP则射线OP即为∠AOB的平分线(2)根据（1）的作图，证明：①△CPE≌△DPF②OP为∠AOB的平分线【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析【分析】（1）根据题意作图步骤作图即可；（2）①由作图利用“SAS”可证明△EDO≌△FCO，即得出∠CEP=∠DFP．再根据OE=OF，OC=OD，即可求出CE=DF，即可利用“AAS”证明△CEP≅△DFP．②由△CEP≅△DFP得EP=PF，从而可利用“SSS”证明△OPE≌△OPF，即得出∠AOP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线．（1）作图（2）①证明：由作图，在△EOD与△FCO中OC=OD，OE=OF，∠AOB=∠BOA∴△EDO≌△FCO(SAS)∴∠CEP=∠DFP．∵OE=OF，OC=OD∴CE=DF又∵在△ECP与△FDO中，∠CEP=∠DFP，∠CPE=∠DPF∴△CEP≌△DFP(AAS)．②由①得：△CEP≅△DFP∴EP=PF在△OPE与△OPF中OE=OF，OP=OP，EP=PF∴△OPE≌△OPF(SSS)∴∠AOP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线．【点睛】本题考查作图—角平分线，三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定条件是解题关键．17．（2022·广西贵港·八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．求证：(1)CF＝EB；(2)AF+EB＝AE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC=DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案；（2）根据全等三角形的性质定理得到AC=AE，根据（1）的结论得到答案．（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴DC=DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中，DC＝∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），∴CF=EB；（2）∵Rt△DCF≌Rt△DEB，∴DC=DE，∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），∴AC=AE，∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE．【点睛】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法．18．（2022·辽宁锦州·八年级期中）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E．(1)请你在图中找出一对全等三角形，并进行证明．(2)如果将直线l绕点C进行旋转，其它条件不变，（1）中的两个三角形还全等吗？请在备用图上画出图形并用斜线勾画出全等的两个三角形．【答案】(1)△ACD≌△CBE，见解析(2)全等，见解析【分析】（1）利用AAS证明△ACD≌△CBE即可；（2）先画出图形，再用AAS证明△ACD≌△CBE即可．（1）解：全等三角形为：△ACD≌△CBE.证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ACD与△CBE中，∠CAD=∠BCE∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）解：（1）中的两个三角形还全等，即△ACD≌△CBE，如图，理由：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵AD⊥l，BE⊥l，∴∠ADC=∠CEB=90°，，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ACD与△CBE中，∠CAD=∠BCE∴△ACD≌△CBE（AAS）；【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．19．（2020·湖北荆门·八年级期中）如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F．(1)求证：△BDE≌△ADC；(2)求证：BE⊥AC；(3)求EF与AE的长．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)EF＝35，AE【分析】（1）利用直角三角形的判定定理证明即可；（2）利用全等三角形的性质证明∠EBD＝∠CAD，再利用对顶角相等证明∠BED＝∠AEF，进一步可证明∠AFE＝∠ADB＝90°，即BE⊥AC；（3）利用三角形面积求出BC＝7，进一步求出CD＝3，利用Rt△BDE≌Rt△ADC，证明ED＝CD＝3，进一步求出AE＝AD－ED＝4－3＝1，再利用三角形面积求出BF＝285，即可求出EF＝BF－BE＝285－5＝（1）证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△BDE和Rt△ADC中，BE=ACBD=AD∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)．（2）证明：∵Rt△BDE≌Rt△ADC，∴∠EBD＝∠CAD，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AFE＝∠ADB＝90°，∴BE⊥AC．（3）解：∵S△ABC＝12AD•BC＝14，AD∴BC＝7，∵BD＝4，∴CD＝3，∵Rt△BDE≌Rt△ADC，∴ED＝CD＝3，∴AE＝AD－ED＝4－3＝1，∵S△ABC＝12BF•AC＝14，BE＝AC∴BF＝285∴EF＝BF－BE＝285－5＝3【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，对顶角相等，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质．20．（2021·贵州毕节·八年级期末）如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，点G为BC的中点，DG⊥BC交∠BAC的平分线AD于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．(1)求证：BE=CF；(2)求AE的长．【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】（1）如图所示，连接BD，CD，先利用SAS证明△BGD≌△CGD得到BD=CD，再由角平分线的性质得到DE=DF，即可利用HL证明Rt△DEB≌Rt△DFC则BE=CF；（2）证明Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），得到AF=AE，由（1）得BE=CF，则AE=AF=AC+CF，据此求出BE的长，即可求出AE的长．（1）解：如图所示，连接BD，CD，∵G是BC的中点，DG⊥BC，∴BG=CG，∠BGD=∠CGD=90°，又∵DG=DG，∴△BGD≌△CGD（SAS），∴BD=CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，又∵DB=DC，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE=CF；（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=ADDE=DF∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AF=AE，由（1）得BE=CF，∴AE=AF=AC+CF，∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=8，AC=4，∴BE=2，∴AE=AB-BE=6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．21．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，∠MON=70°，点A，B为边OM,ON上的动点（点A，B不与点O重合），在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且PA=PB,∠APB=110°．求证：点P在∠MON的平分线上．【答案】见解析【分析】过点P分别作PC⊥OM于点C，PD⊥ON于点D，证明△APC≌△BPD可推导PC=PD，即可证明点P在∠MON的平分线上．【详解】证明：过点P分别作PC⊥OM于点C，PD⊥ON于点D，∴∠PCO=∠PDO=90°，∵∠PCO+∠MON+∠PDO+∠CPD=360°，∠MON=70°，∴∠CPD=360°−90°−90°−70°=110°，∵∠APB=110°，∴∠CPD=∠APB，∴∠CPD−∠APD=∠APB−∠APD，∴∠CPA=∠DPB，在△APC和△BPD中，∠CPA=∠DPB∠PCA=∠PDB=90°∴△APC≌△BPD（AAS），∴PC=PD，又∵PC⊥OM，PD⊥ON，∴点P在∠MON的平分线上．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．22．（2022·江西吉安·八年级期末）如图，AD平分∠MAN，DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C，E为线段AB上一点，在射线AN上有一点F，并使得△CDF与△BDE全等，若BE=3，则线段AE与AF的有怎样的数量关系，并说明理由．【答案】AE=AF或AE=AF−6，理由见解析【分析】分点F在C点左侧时和点F在C点右侧时两种情况，根据全等三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：有两种情况：AE=AF或AE=AF−6，理由：∵AD平分∠MAN，DB⊥AM，DC⊥AN，∴DB=DC，∠DCA=∠DCN=∠DBE=90°，当CF=BE=3时，△CDF≌△BDESAS此时，点F可在C点左侧，也可在C点右侧，如图，当点F可在C点左侧时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，∵DB=BC,AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴AB=AC，∴AE=AF；当点F可在C点右侧时，由（1）知，AC=AB=AE+3，∴AE+6=AF，即AE=AF−6；∴线段AE与AF的数量关系是：AE=AF或AE=AF−6．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，利用角平分线的性质证得DB=DC是解题关键，注意分类讨论思想的运用．23．（2021·黑龙江黑河·八年级期末）已知点D为∠EAF平分线上一点，DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，点M，N分别是射线AE，AF上的点，且DM=DN．(1)如图①，当点M在线段AB上，点N在线段AC上时，易证得BM=CN；（要证明）(2)如图②，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由；(3)在（2）的条件下，直接写出线段AM，AN与AC之间的数量关系______；(4)如图③，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，若AC:DC=2:1，且DC=4，求四边形ANDM的面积．【答案】(1)证明见解析(2)BM=CN仍成立，见解析(3)AN+AM=2AC(4)四边形ANDM的面积为32【分析】（1）根据DB=PC，∠DBM=∠DCN=90∘，利用直角三角形的判定方法证明△DBM≅△DCN，即可得到（2）D为∠EAF平分线上一点，又DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，得到∠DBA=∠DCA=90°，DB=DC再证明△DBM≌（3）先由已知条件得到AD平分∠CDB，再根据DB⊥AB,DC⊥AC，得到AB=AC，再由BM=CN，得到AM+AN=AB−MB（4）AC:DC=2:1，且DC=4，即可得到AC的长，又由∴S四边形ANDM（1）如图1：由D为∠EAF平分线上一点，DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，∴DB=DC,∠DBM=∠DCN=90在Rt△DBM中，DM=DNDB=DC∴△DBM≅△DCN，∴BM=CN；（2）（2）BM=CN仍成立∵点D为∠EAF平分线上一点，又DB⊥AE于D，DC⊥AF于C，∴∠DBA=∠DCA=90°，DB=DC又DM=DN∴Rt△DBM∴BM=CN（3）（3）AN+AM=2AC；∵∠ADB=90又∵点D为∠EAF平分线上一点，∴∠ADC=∠ADB,即AP平分∠CDB，∵DB⊥AB,DC⊥AC，∴AB=AC，∵BM=CN，∴AM+AN=（4）（4）四边形ANDM的面积为32∵点D为∠EAF平分线上一点，∴∠DAB=∠DAC又DB⊥AE于D，DC⊥AF于C，∴∠DBA=∠DCA=90°又DA=DA∴△ABD∴∵△DBM≌∴又S∴∵AC:DC=2:1，且DC=4∴AC=8∴【点睛】本题考查四边形的综合题，主要考查角平分线的的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积问题，运用全等三角形的性质与转化思想将四边形ANDM转化为四边形ABDC的面积是关键．24．（2022·山西临汾·八年级期末）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=α．(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．①如图1，若∠BCA＝90°，α=90°，则BE_________CF．②如图2，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件__________________，使①中的结论仍然成立，并说明理由；(2)如图3．若线CD经过∠BCA的外部，α=∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由【答案】(1)①BE＝CF；②α+∠BCA=180°，理由见解析(2)EF＝BE＋AF，理由见解析【分析】（1）①由∠BCA=90°，∠BEC=∠CFA=α=90°，可得∠CBE=∠ACF，从而可证△BCE≌△CAF，故BE=CF．②若BE=CF，则可使得△BCE≌△CAF．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，△BCE≌△CAF便可得证．（2）题干已知条件可证△BCE≌△CAF，故BE=CF，EC=FA，从而可证明EF=BE+AF．（1）①∵∠BEC=∠CFA=α=90°，∴∠BCE+∠CBE=180°-∠BEC=90°．又∵∠BCA=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF．在△BCE和△CAF中，∠BEC=∠CFA∠CBE=∠ACF∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE=CF．②α+∠BCA=180°，理由如下：∵∠BEC=∠CFA=α，∴∠BEF=180°-∠BEC=180°-α．又∵∠BEF=∠EBC+∠BCE，∴∠EBC+∠BCE=180°-α．又∵α+∠BCA=180°，∴∠BCA=180°-α．∴∠BCA=∠BCE+∠ACF=180°-α．∴∠EBC=∠FCA．在△BCE和△CAF中，∠CBE=∠ACF∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE=CF．故答案为：①BE＝CF；②α+∠BCA=180°（2）EF=BE+AF，理由如下：∵∠BCA=α，∴∠BCE+∠ACF=180°-∠BCA=180°-α．又∵∠BEC=α，∴∠EBC+∠BCE=180°-∠BEC=180°-α．∴∠EBC=∠FCA．在△BEC和△CFA中，∠EBC=∠FCA∴△BEC≌△CFA（AAS）．∴BE=CF，EC=FA．∴EF=EC+CF=FA+BE，即EF=BE+AF．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．25．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．求证：(1)AD平分∠BAC；(2)AC=AB+2BE.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)先根据HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，则可得DE=DF，根据角平分线的判定方法即可得证；(2)先根据AAS证明△AED≌△AFD，则可得AE=AF，又由于BE=FC，则结论得证．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△BDE与Rt△CDE中BD=CD∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE=DF，∴AD平分∠BAC；（2）证明：由(1)可知AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFA=90°又∵AD=AD，∴△AED≌△AFD(AAS)，∴AE=AF，∵CF=BE，∴AC=AF+CF=AE+BE=AB+BE+BE=AB+2BE．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质.熟练掌握以上知识是解题的关键．26．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期末）如图所示，在△ABC中，DE⊥AB交AB于E，DE=CD，F在AC上，BD=DF，CF=BE，(1)求证：∠C=90°；(2)若AF=3，FC=2，求AB的长．【答案】(1)证明见解析(2)AB＝7【分析】（1）证明△FCD≌△BED，即可证明出结论；（2）证明Rt△ACD≌Rt△AED，即可得出AE=AC=5，即可算出结果．（1）在△FCD和△BED中，DF=BDCF=EBCD=DE，∴△FCD≌△BED（SSS），∴∠C＝∠DEB，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠（2）∵DE⊥AB，∠C＝90°，∴∠C＝∠AED＝90°，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADCD=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∵AF＝3，FC＝2，∴AE＝AC＝AF+FC＝3+2=5，∵CF＝BE，∴BE=2，∴AB＝AE+BE【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是本题的关键．27．（2022·吉林四平·八年级期末）如图，已知BN平分∠ABC，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．(1)求证：∠PCB+∠BAP=180°；(2)线段BF、BC、AB之间有怎样的数量关系？请直接写出你探究的结论：_____________________．【答案】(1)见解析(2)2BF=AB+BC【分析】（1）过作PD⊥AB于点D，由角平分线的性质可得PD=PF，由“HL”可证RtΔADP≌RtΔCFP，可得∠1=∠BAP，即可得结论；（2）由Rt△ADP≌Rt△CFP可得出AD=CF，PD=PF，结合PB=PB即可证出Rt△BPD≌Rt△BPF，进而得出BD=BF，再根据边与边之间的关系即可得出2BF=AB+BC．（1）证明：作PD⊥AB于点D，∵BN平分∠ABC，PF⊥BC，∴PD=PF．又∵PA=PC，∴Rt△ADP≌Rt△CFP(HL)，∴∠1=∠BAP，∵∠PCB+∠1=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）解：2BF=AB+BC．由（1）知：Rt△ADP≌Rt△CFP，PD=PF，∴AD=CF，∵BP=BP，∴Rt△BPD≌Rt△BPF（HL），∴BD=BF，∴2BF=BD+BF=AB-AD+BC+CF=AB+BC，∴2BF=AB+BC．故答案为：2BF=AB+BC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定于性质、角平分线的性质以及邻补角，解题的关键是：（1）利用HL证明Rt△ADP≌Rt△CFP；（2）利用HL证明Rt△BPD≌Rt△BPF．28．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在∠AOB的平分线上取点E，连接AE并延长与OB交于点D，连接BE并延长与OA交于点C，使∠ACB=∠BDA，连接OE．(1)求证：CE=DE．(2)若∠CED=110°，∠A=30°，求∠AOB的度数．【答案】(1)见解析(2)50°【分析】（1）利用AAS证明△OCE≌△ODE即可；（2）由△OCE≌△ODE，得∠CEO＝∠DEO＝12∠CED（1）∵∠ACB=∠BDA，∴∠OCE=∠ODB，∵OE平分∠AOB，∴∠COE=∠DOE在△OCE和△ODE中，∠OCE=∠ODE∠COE=∠DOEOE=OE∴△OCE≌△ODE∴（2）∵△OCE≌△ODE，∴∠CEO=∠DEO=12∠CED=55°，∠DEO=∠A+∠AOE，