2022-2023学年八年级数学常考点精练（苏科版）：专题39 一次函数中的等腰直角三角形（原卷版）

专题39一次函数中的等腰直角三角形1．如图，一次函数l：y＝﹣x+2的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以A为直角顶点在第一象限作等腰直角三角形ABC，则直线BC的解析式是（）A． B． C． D．2．在平面直角坐标系中，已知A（1，2）、B（7，10），C为一次函数y＝x+9的图象上动点，若以A、B、C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为_____．3．如图，△OA1B1，△A1A2B2都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2都在x轴上，点B1，B2都在一次函数的图象上，则点B2的坐标为______．4．如图，一次函数y=－x＋3的图像分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，（1）求过B，C两点的直线的解析式．（2）作正方形ABDC，求点D的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点（0，4），与直线在第四象限相交于点B，连接OB，的面积为6．（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）已知点M在直线AB右侧，且△MAB是以AB为直角边的等腰直角三角形．请求出符合条件的点M的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象的交点为．(1)求一次函数的解析式；(2)若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，直接写出点D的坐标．7．如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D，过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）[模型应用]若一次函数y＝kx+4（h≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．(1)如图2，当k＝﹣1时，若B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求A到直线l的距离AD的长．(2)如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标．(3)当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，当Q在第一象限落在直线y＝0.5x+1上时，在x轴上求一点H，使HQ+HB的值最小，请求出H的坐标．8．（1）问题解决：①如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，点A、B的坐标分别为A、B．②求①中点C的坐标．小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点C向x轴作垂线交x轴于点D．请你借助小明的思路，求出点C的坐标；（2）类比探究数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题，如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标（0，﹣3），点B坐标（4，0），过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y＝﹣2x+2图像上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．9．如图，正比例函数y＝x与一次函数y＝ax＋7的图像相交于点P（4，n），过点A（t，0）作x轴的垂线l，且0＜t＜4，交一次函数的图像于点B，交正比例函数的图像于点C，连接OB．(1)求a值；(2)设△OBP的面积为s，求s与t之间的函数关系式；(3)当t=2时，在正比例函数y＝x与一次函数y＝ax＋7的图像上分别有一动点M、N，是否存在点M、N，使△CMN是等腰直角三角形，且∠CNM=90º，若存在，请直接写出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．10．【模型建立】（1）如图一，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于D，过点B作BE⊥ED于E．求证：AD＝CE．【模型应用】（2）如图二，直线l1：y＝x＋4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°得到直线l2，求直线l2的函数表达式；【拓展探究】（3）如图三，一次函数的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数的图象上，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值．11．(1)问题解决：如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，点A、B、C的坐标分别为______、______、______．(2)综合运用：①如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y＝﹣2x+2图像上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．②如图2，在⑵的条件中，若M为x轴上一动点，连接AM，把AM绕M点逆时针旋转90°至线段NM，ON+AN的最小值是______．12．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点，．点是线段上的一个动点（不与，重合），连接．设点的横坐标为．(1)求一次函数的解析式：(2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)当的面积时：①判断此时线段与的数量关系并说明理由；②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．13．（1）基本图形的认识：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形．（2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标；（3）基本图形的应用：如图3，一次函数y＝－2x＋2的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标．14．在平面直角坐标系xOy中，给出以下定义：对于x轴上点M（a，0）（其中a为正整数）与坐标平面内一点N，若y轴上存在点T，使得，且，则称点N为a宝点，如示例图，我们可知点N（，0）为1宝点，理由如下：在x轴上取点M（1，0），以MN为斜边作等腰直角三角形MNT，可以算得一个点T（0，1），它是在y轴上的，因此点N（，0）为1宝点．(1)如图①，在点A（2，0），B（2，），C（0，1），D（，0）中，2宝点是点________；（填“A”“B”“C”或“D”）(2)如图②，若一次函数的图象上存在2宝点，求这个2宝点的坐标；(3)若一次函（）的图象上存在无数个3宝点，求该一次函数的解析式．15．一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（a，0），点B（0，b）．过B点作垂直于直线AB的直线交x轴于点C，过A点的直线交线段OB于点D，交直线BC于点E．其中实数a、b满足b2+8b+16＝0．(1)求直线AB解析式；(2)如图1，当BE＝DE时，求E点坐标；(3)如图2，当BD＝DE时，F为直线AC上一点，且位于E点右侧，过点F作平行于y轴的直线交直线AD于点G，点H为直线AB上的动点，当△FGH为等腰直角三角形时，求点H坐标．16．一次函数y＝﹣x+2的图象经过A（0，a）、B（b，0）两点．(1)求a、b的值，并画出一次函数的图象；(2)点C是第一象限内一点，△ABC为等腰直角三角形且∠C＝90°，求点C的坐标；(3)在（2）的条件下，将直线BC向左平移恰好经过点A时与x轴交于点D．求直线AD、AB与x轴所围成的三角形的面积．17．已知，一次函数y=2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，正方形BOCD的顶点D在第二象限内，直线DE交AB于点E，交x轴于点F，（1）求点D的坐标和AB的长；

（2）若△BDE≌△AFE，求点E的坐标；

（3）若点P、点Q是直线BD、直线DF上的一个动点，当△APQ是以AP为直角边的等腰直角三角形时，直接写出Q点的坐标．18．已知一次函数y=x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线y=x相交于点C，过B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点．（1）直接写出点A、B的坐标：A______、B______；（2）若S△AOC=S△BCP，求点P的坐标；（3）若点E是平面内的一个动点，当△ABE是AB为直角边的等腰直角三角形，则点E的坐标为________．19．如图，正比例函数与一次函数的图像相交于点，过点作轴的垂线，且，交一次函数的图像于点，交正比例函数的图像于点，连接．（1）求值；（2）