第5章二次函数讲义苏科版数学九年级下册-答案

二次函数题型一：二次函数的定义1．下列函数中，属于二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成，，为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意；B．当时是一次函数，故不符合题意；C．是二次函数，故符合题意；D．是一次函数，故不符合题意故选：C．2．已知函数．(1)若这个函数是关于的一次函数，求的值．(2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围．【答案】(1)当时，这个函数是关于的一次函数(2)当且时，这个函数是关于的二次函数【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；（2）根据二次函数的定义即可解决问题．【详解】（1）解：依题意，得，解得，∴当时，这个函数是关于的一次函数．（2）解：依题意，得，解得且，∴当且时，这个函数是关于的二次函数．3．已知函数，(1)当为何值时，此函数是一次函数？(2)当为何值时，此函数是二次函数？【答案】(1)(2)且【分析】（1）一般地，形如（，为常数）的函数，叫做一次函数，根据一次函数的定义进行作答即可．（2）形如（为常数，且）的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义进行作答即可．【详解】（1）解：若函数为一次函数，则有，解得，所以，当时，此函数是一次函数；（2）解：若函数为二次函数，则有，解得且，所以，当且时，此函数是二次函数．题型二：求二次函数解析式1．已知二次函数的图象经过，两点．(1)求和的值；(2)试判断点是否在此函数图象上？(3)求该二次函数的对称轴及顶点坐标．【答案】(1)(2)不在在此函数图象上(3)顶点坐标为，对称轴为直线【分析】（1）已知了抛物线上两点的坐标，可将其代入抛物线中，通过联立方程组求得、的值；（2）将点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出点是否在抛物线的图象上．（3）将解析式化为顶点式，即可求解．【详解】（1）解：把，两点代入二次函数得，解得，；（2）解：由（1）得，把代入，得，点在不在此函数图象上．（3）解：∵∴顶点坐标为，对称轴为直线．2．已知抛物线的对称轴是直线，且过点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．【答案】(1)(2)当时，y随x的增大而减小，抛物线有最大值0【分析】此题考查的是二次函数的综合题，（1）根据对称轴为直线可知抛物线为，将代入解析式中，即可求出结论；（2）根据二次函数的图象及性质由对称轴位置、顶点坐标和开口方向，即可求出结论．【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，∴抛物线为又∵抛物线过点，∴，即，解得，所以该抛物线的解析式为．（2）∵，∴开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∴当时，y随x的增大而减小，抛物线有最大值，∵抛物线的顶点为，∴当时，函数有最大值．3．二次函数图象的顶点坐标是，且抛物线经过点．(1)求此抛物线的解析式；(2)写出它的开口方向，对称轴、最值．【答案】(1)(2)开口向下，对称轴为直线，最大值为5【分析】（1）设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可；（2）根据二次函数图象与性质求解即可．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，将代入上式得，，解得，∴抛物线的解析式为；（2）根据抛物线，∵，则抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时函数的最大值为5．4．根据下列条件分别求出抛物线的解析式（最后结果要化成一般式）．(1)抛物线过点，，，三点；(2)抛物线的顶点坐标是，且过点．【答案】(1)(2)【分析】（1）设出抛物线一般形式，确定出的值，即可得到解析式；（2）设出抛物线顶点形式，确定出a的值，即可得到解析式．【详解】（1）抛物线过点，，三点解得：∴所求抛物线的解析式为:．（2）∵抛物线的顶点坐标是∴设所求抛物线的解析式为:∵设所求抛物线过点解得：∴所求抛物线的解析式为：化成一般式为：．5．已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为．【答案】或【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果．【详解】解：设这条抛物线的解析式为：，∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同，∴，，又∵这条抛物线与抛物线形状相同，∴，即，∴这条抛物线的解析式为：或，故答案为：或．题型三：函数的图像和性质1．已知二次函数，解答下列问题：(1)根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）；(2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由；(3)求当时对应的函数图象上的点的坐标（写详细过程）．【答案】(1)见解析(2)不在，理由见解析(3)，【分析】（1）根据抛物线的对称性，描点画图即可；（2）将点横坐标代入中判断即可；（3）令，解方程即可求解．【详解】（1）解：∵的对称轴为y轴，∴当时，，当时，，当时，，在图中描点、、，连线，如图所示：（2）解：不在，理由为：∵当时，，∴点不在这个函数图象上；（3）解：令，由得，∴，∴当时对应的函数图象上的点的坐标为，．2．已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据对称轴求出点关于对称轴的对称点是，根据二次函数增减性进行比较即可．【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，，，是抛物线上的三点，点关于对称轴的对称点是，，．故选：．3．设，，是抛物线上的三点．则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得．【详解】解：∵抛物线，∴对称轴为直线，，∴当时，随着的增大而减小，∴点关于对称轴对称的点坐标为，∵，∴，故选：A．4．已知二次函数的图象过点，若点，也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．由于的纵坐标相等，所以点与点是抛物线上的对称点，所以抛物线的对称轴为直线，然后通过比较点、、到直线的距离的大小来判断的大小．【详解】∵二次函数的图象过点，注意到两点的纵坐标都是m，∴二次函数的图象是开口向上，且对称轴为直线，即的抛物线，∵点也在二次函数的图象上，∴．故选：B．5．已知二次函数（为常数，且）下列结论：①顶点在第一象限；②对称轴在轴左侧；③当时，随增大而减小；④当时，随增大而增大．其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】B【分析】本题主要考查二次函数的性质，确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点位置是解题的关键．由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．【详解】解：对称轴为直线，顶点可能在第二象限，也可能在第三象限，故①不正确；时，抛物线开口向下，对称轴为直线对称轴在y轴左侧，故②正确；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故③正确，④错误．故选：B．6．已知函数，下列结论错误的是（

）．A．当时，随的增大而增大B．当时，函数图象的顶点坐标是C．当时，若，则随的增大而减小D．无论取何值，函数图象部经过同一个点【答案】C【分析】此题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性，求二次函数顶点坐标的方法是解题的关键．【详解】解：A、当时，，随的增大而增大，故A正确，不符合题意；B、当时，，函数图象的顶点坐标是，故B正确，不符合题意；C、当时，，∴若，则随的增大而增大，故C错误，符合题意；D、，当时，的值与m无关，此时，即该函数经过点，故D正确，不符合题意；故选：C．7．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设A（m，m2），则B（m，m2），根据题意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得＝．【详解】设A（m，m2），则B（m，m2），∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，∴C（2m，m2），D（m，m2），∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，.故选C．8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是()A．B．C． D．【答案】D【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象．【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确．故选D．题型四：二次函数对称轴的求法1．已知抛物线经过和两点，则的值为（

）A．4 B．－2 C．2 D．1【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线经过和两点，可以求得抛物线的对称轴，从而可以求得的值，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【详解】∵抛物线经过和两点，∴的对称轴为直线，∴，解得，故选：．2．抛物线（a，b，c是常数，）经过，，三点，则a与b的关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把代入，求出的值，判断，是抛物线上的对称点，计算得出，把代入，整理即可得出答案．【详解】解：把代入，得：，∵，纵坐标相等，∴是抛物线上的对称点，∴，∴，∴把代入，得：，整理得：，故选：D．3．若点，，是二次函数（，是常数，且）图象上的三个点，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案．【详解】，是常数，且，图象的开口向下，对称轴是直线，时，随的增大而减小，点关于直线的对称点是，且，，故选：D．4．对于二次函数，如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值．【答案】【分析】当时的函数值与时的函数值相等，可求出函数的对称轴，根据函数的对称性即可求解．【详解】解：二次函数，∵，∴二次函数图象开口向上，∵当时的函数值与时的函数值相等，∴二次函数的对称轴为，即二次函数对称轴为，∴设关于对称轴的对称点为，∴，解得，，∴当时与的值相等，∴当时，，即当时的函数值为，故答案为：．5．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：则的值是．【答案】【分析】根据表格数据可得对称轴为直线，则，当时，，代入代数式，即可求解．【详解】解：根据表格数据可得对称轴为直线，则，当时，，∴故答案为：．6．已知抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：…0123……500…那么该抛物线的顶点坐标是．【答案】【分析】根据二次函数图象上点的对称性，可得对称轴为，即可求解．【详解】解：由表格可得，点和点对称，∴对称轴为，∴顶点坐标为，故答案为：．7．在平面直角坐标系中，设二次函数，其中．（1）此二次函数的对称轴为直线；（2）已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是；【答案】【分析】（1）根据二次函数，经过和，是对称点，算出对称轴即可；（2）根据对称轴为直线，点和在二次函数的图象上，画出函数图象，点关于对称轴的对称点，分析图象，写出的取值范围即可．【详解】（1）二次函数，函数经过和，是对称点，对称轴为直线，故答案为：（2）二次函数，二次项系数为，函数图象开口向上，又和在此函数的图象上，对称轴为直线，画出图象如下图，点关于对称轴的对称点横坐标，，点应在线段下方部分的抛物线上（包括点、），，故答案为：题型五：二次函数的平移1．将抛物线向左移动2个单位长度，向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为．【答案】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线向左平移2个单位所得直线解析式为：；再向下平移1个单位为：．故答案为：．2．将抛物线沿轴向下平移个单位，得到的抛物线的解析式为．【答案】【分析】本题考查的是二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接求得平移后的解析式．【详解】解：将抛物线沿轴向下平移个单位，根据平移规律可得：∴，故答案为：．3．将二次函数化为的形式，则，．【答案】21【分析】利用配方法将函数解析式化成顶点式即可解答．【详解】解：∵，∴．故答案为①2，②1．4．抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为．【答案】【分析】易得抛物线的顶点坐标，进而可得到平移后的新坐标，也就得到了平移后的抛物线的解析式，绕抛物线顶点旋转180°得到新抛物线的解析式的二次项系数互为相反数，顶点坐标不变，即可解答．【详解】解：所以原抛物线的顶点为，向左平移3个单位，再向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为；可设新抛物线的解析式为，代入得：，把抛物线绕顶点旋转180°，可得新抛物线的解析式的二次项的系数为，顶点不变，所以，所求的抛物线解析式为：，故答案为：．5．如果抛物线沿轴向左平移个单位长度后经过原点，那么．【答案】1或2【分析】本题考查了抛物线的平移，抛物线的性质，先把抛物线写成顶点式，再求平移后抛物线的解析式，把代入可得：，再解方程即可．【详解】解：，∴抛物线沿轴向左平移个单位长度，平移后抛物线解析式为：，把代入可得：，解得：，；故答案为：1或2．6．对于函数，请回答下列问题：(1)对于函数的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？(2)函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？【答案】(1)由向左平移个单位，再向上平移个单位得到(2)对称轴为直线，顶点为【分析】（1）化成顶点式，由二次函数解析式在平移中的变化规律：左加右减，上加下减；据此即可求解．（2）由二次函数的对称轴为直线，顶点，即可求解．【详解】（1）解：，可以由向左平移个单位，再向上平移个单位得到．（2）解：由可得对称轴为直线，顶点为．题型六：一次函数和二次函数1．如果一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图像的顶点，则．【答案】【分析】把代入求得，根据二次函数的顶点坐标为，把代入求得，把，代入，即可求得a值．【详解】解：∵一次函数过点，∴，解得，∴，∵一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点，∴另一个交点为，把代入，得，把，代入，得∴，故答案为：．2．已知二次函数图象的最低点坐标为，则一次函数图象可能在（

）A．一、二、三象限B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限【答案】A【分析】根据图象有最低点可知，把代入函数表达式可得，根据最低点坐标可得到抛物线与x轴有两个交点，从而得，从而根据一次函数的性质即可判断得解．【详解】解：∵二次函数图象有最低点，∴，把代入得：，∴，∵，且最低点坐标，∴与轴有两个交点，∴，∴一次函数在一二三象限．故选∶．3．在同一直角坐标系中，函数和函数是带数，且的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】首先先确定的正负，对于二次函数的开口方向以及对称轴分析．【详解】解：由函数的图像可知，即函数开口方向朝上，对称轴，故对称轴在轴左侧，故选项A正确；由函数的图像可知，即函数开口方向朝上，与图像不符，故选项B错误；由函数的图像可知，即函数开口方向朝上，对称轴，故对称轴在轴左侧，与图像不符，故选项C错误；由函数的图像可知，即函数开口方向朝下，与图像不符，故选项D错误；故选：A．4．抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（

）．A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】D【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．【详解】解：抛物线与直线交于，两点，，．，∵，．当，时，直线经过第一、三、四象限，当，时，直线经过第一、二、四象限，综上所述，一定经过一、四象限．故选：D．5．已知函数(1)用描点法画出此函数的图象；(2)根据图象，直接写出当x为何值时，y随着x的增大而减小?(3)当时，对应的自变量x的值有2个，直接写出k的取值范围．【答案】(1)见解析(2)或(3)或【分析】（1）根据函数关系式描点连线即可；（2）结合图象即可得出x的取值范围；（3）结合图象即可得出k的取值范围．【详解】（1）函数经过的点有，，，，函数图象如下：（2）函数的对称轴为，由图象可得，当或时，y随着x的增大而减小，（3）当时，对应的自变量x的值有2个，此时或．题型七：反比例函数和二次函数1．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即在第四象限可得，从而得到反比例函数的图象分布在二、四象限，由抛物线的开口方向和与的交点个数得到，从而得到一次函数的图象经过一、二、三象限，即可得到答案．【详解】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即在第四象限，，反比例函数的图象分布在二、四象限，抛物线的开口向上，，抛物线与轴有两个交点，，一次函数的图象经过一、二、三象限，故选：C．2．在同一直角坐标系中，反比例函数与二次函数的大致图像可能是（

）A．B．C．D．

【答案】B【分析】根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质进行判断即可．【详解】解：当时，反比例函数的图像经过一、三象限，二次函数的图像开口向上，其对称轴在轴右侧，且与轴交于负半轴，故选项C、D不符合题意；当时，反比例函数的图像经过二、四象限，二次函数的图像开口向上，其对称轴在轴左侧，且与轴交于正半轴，故选项A不符合题意，选项B符合题意．故选：B．3．如图，曲线是抛物线的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线是双曲线（）的一部分，A，C两点的纵坐标相等，曲线与组成“小波浪”，由点C开始不断重复出现“小波浪”，若点和是波浪线上的点，则的最大值为（

） B．5 D．6【答案】A【分析】由抛物线求出点A、点B，由点B求出双曲线的k，再求出点C，得到3个单位为一个循环，求出q，再结合顶点的纵坐标得到的最大值．【详解】解：∵曲线是抛物线的一部分，∴当时，；当时，，∴，，把点代入双曲线（），得：，∴双曲线的解析式为：，∵A、C两点的纵坐标相等，∴，∵，∴点P的纵坐标和时的纵坐标相等，当时，，∴，要使取到最大值，则q取最大值3，∴的最大值．故选：A．4．如图所示，若双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域（即图中阴影部分，不含边界）内的整点（点的横、纵坐标都是整数）只有4个，则k的值可能是（

）A．1 C．3 D．4【答案】B【分析】利用图象可得满足题意的k的临界值，进而求解．【详解】解：抛物线与x轴所围成的区域（不含边界）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数是7个，坐标分别为：，，，，，，，要使双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域（即图中阴影部分，不含边界）内的整点（点的横、纵坐标都是整数）只有4个，结合图象可得：当双曲线恰好经过点时，k取临界值3，当双曲线恰好经过点时，k取临界值2，∴双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域（即图中阴影部分，不含边界）内的整点（点的横、纵坐标都是整数）只有4个，k的范围为：，故选：B．题型八：二次函数和方程1．根据下列表格的对应值，判断方程（，为常数）一个解的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格可知，当时，的值小于零，当时，的值大于零，可知当，会有一个的值使得的值为零，即可得出结论，解题的关键是理解二次函数图形与一元二次方程解的关系．【详解】解：由表格可知：当时，的值小于零，当时，的值大于零，∴的一个解的范围是；，故选：．2．已知二次函数的图象的对称轴为直线，则抛物线在轴上截得的线段长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线与轴的交点，一元二次方程的解法，理解二次函数与相应一元二次方程间的关系“二次函数与x轴的交点横坐标是对应的一元二次方程的解”是解题的关键．先求出的值，再求出抛物线与轴的两个交点，即可求出抛物线在轴上截得的线段长．【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，解得，∴抛物线的解析式为：，当时，，解得，∴抛物线与轴的两个交点为，∴抛物线在轴上截得的线段长为．故选：A．3．若抛物线的顶点在轴上，且不等式的解集为或，则的值为．【答案】【分析】本题考查了二次函数与不等式以及二次函数与一元二次方程的关系，根据抛物线的顶点在轴上得出，再根据不等式的解集为或可以得出或是关于的方程的解，然后解方程组即可求出的值．【详解】解：抛物线的顶点在轴上，，，不等式的解集为或，或是关于的方程的解，，解得，的值为4，故答案为：4．4．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是．【答案】【分析】根据题意，先求出新函数图象的顶点坐标，根据已知条件和结合函数图象，即可求出m的取值范围．【详解】解：∵，∴原函数图象的顶点坐标为：，如图，根据折叠的性质，可得新函数图象G的顶点坐标为：，即点D的坐标为，当直线与新图象有4个交点时，根据图象可知：m的取值范围是：．故答案为：．5．抛物线过，两点，且一元二次方程，当时无实数根，当时有实数根，则抛物线的顶点坐标是．【答案】【分析】根据抛物线过，两点，得出顶点坐标的横坐标为3，根据一元二次方程，当时无实数根，当时有实数根，得出顶点的纵坐标为7，即可得出答案．【详解】解：∵抛物线过，两点，∴抛物线的对称轴为直线，即顶点坐标的横坐标为3，∵一元二次方程，当时无实数根，当时有实数根，∴一元二次方程时，方程只有一个解，∴直线与抛物线只有一个交点，该点为抛物线的顶点，∴顶点的纵坐标为7，∴顶点坐标为．故答案为：．题型九：二次函数和不等式1．二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根此题考查了二次函数的图象，据，则函数图象在轴的下方，所以找出函数图象在轴下方的的取值范围即可，利用了数形结合的思想，准确识图是解题的关键．【详解】由图象可知，当时，函数图象在轴的下方，，故选：．2．已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表：…01234……500…(1)二次函数图象的开口方向_____________，的值_____________；(2)点在函数图象上，_____________（填）；(3)方程无解，则n的范围是_____________．(4)关于的不等式的解集为_____________．【答案】(1)上；5(2)(3)(4)或【分析】（1）根据表格中的数据，并结合二次函数图象的性质求解即可；（2）根据二次函数的图象与性质进行求解即可；（3）根据题意可得二次函数的图象与直线没有交点，即可求解；（4）根据题意可得该部分二次函数的图象在直线的上方，再由二次函数的图象过点和，即可求解．【详解】（1）解：由表格中的数据可得，函数值先减小后增大，∴二次函数图象的开口向上，∴顶点坐标是，∵抛物线经过点，且，∴抛物线经过点，∴；故答案为：上；5；（2）解：由表格可得，对称轴为直线，二次函数图象的开口向上，∴二次函数图象上的点离对称轴越远，函数值越大，∵离对称轴较远，∴，故答案为：；（3）解：∵方程无解，∴二次函数的图象与直线没有交点，∵二次函数图象的开口向上，顶点坐标是，∴；故答案为：（4）解：∵，∴该部分二次函数的图象在直线的上方，∵二次函数的图象过点和，二次函数图象的开口向上，∴或，即关于的不等式的解集为或．故答案为：或3．如图，直线和抛物线都经过点A、点B，且，点是抛物线与y轴的交点．(1)求两个函数的表达式；(2)求点B的坐标；(3)直接写出不等式的解集．【答案】(1)直线的表达式为：；抛物线的表达式为：(2)点(3)或【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，待定系数法求函数解析式、二次函数与一元一次不等式：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式求得，再将点A、C的坐标代入抛物线表达式得即可求解；（2）联立方程组得，解方程组得，根据函数图象将代入一次函数表示式中即可求解；（3）由（2）得一次函数与二次函数的交点的横坐标为：，，根据函数图象即可求解；熟练掌握待定系数法求函数解析式及数形结合思想解决问题是解题的关键．【详解】（1）解：将点A的坐标代入一次函数表达式得：，解得：，故直线的表达式为：，将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，抛物线的表达式为：．（2）依题意得：，解得：，，点B在点A的右侧，，，故点．（3）由（2）得：一次函数与二次函数的交点的横坐标为：，，由函数图象可得：不等式的解集为：或．4．如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题：(1)写出方程的解为________，________；(2)当时，直接写出的取值范围为________；(3)方程有实数根，的取值范围是________；(4)当时，直接写出的取值范围是________．【答案】(1)，1(2)(3)(4)【分析】（1）利用因式分解法，即可求解；（2）根据二次函数图象在x轴上方部分所对自变量的取值范围解答即可；（3）根据二次函数图象即可求解；（4）把解析式转化成顶点式，可得时，y的最小值为，再把代入得，，即可求解．【详解】（1）解：∴，，故答案为：，1；（2）解：∵的根为，1，∴二次函数的图象与x轴交于点，，由图象可得，时，的取值范围为，故答案为：；（3）∵方程有实数根，∴方程有实数根，∴，即：；故答案为：；（4）解：∵，∴时，y的最大值为，把代入得，，把代入得，，∴当时，y的取值范围是．5．二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．(1)求的面积；(2)当时，求函数y的最大值与最小值的和；(3)直接写出不等式的解集是______．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（1）先求出，得到，再求出，即可求出的面积，熟练掌握求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标是解题的关键；（2）根据的对称轴为，得到抛物线开口向下，则抛物线的上的点离对称轴越远，函数值越小，求出函数的最大值和最小值，即可得到答案，熟练掌握利用二次函数的性质求出最大值和最小值是解题的关键：（3）根据图象和x轴的交点坐标和抛物线的开口方向求出不等式的解集，数形结合是解题的关键．【详解】（1）解：，当时：，解得：，∵点A在点B左侧，∴，∴，当，，∴，∴；（2）解：的对称轴为：，∵，∴抛物线开口向下，∴抛物线的上的点离对称轴越远，函数值越小，∵，，∴当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，∴函数y的最大值与最小值的和为；（3）二次函数的图象如下：∵，∴抛物线开口向下，∵抛物线与x轴相交于点，∴当或时，，即，∴不等式的解集是或．故答案为：或题型十：图像与坐标轴的交点个数问题1．如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据二次函数图像的特点进一步求解即可.【详解】∵二次函数的图像为抛物线，∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个，故选：B.2．若关于x的函数（k为常数）的图象与x轴只有一个交点（）A．0 B． C．0或1 D．0或【答案】D【分析】分两种情况：当时，函数为一次函数，满足题意；当时，利用判别式的意义得到当，抛物线与轴只有一个交点，求出此时的值．【详解】当时，函数为一次函数，函数解析式变形为，此一次函数与轴只有一个交点；当时，函数为二次函数，抛物线与轴只有一个交点，，解得，综上所述，的值为0或．故选：D．3．已知二次函数（m是常数）(1)求证，不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点；(2)把该函数的图像沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）当时，得出一元二次方程，求出根的判别式，即可得出答案．（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．【详解】（1）解：当时，∵，∴方程没有实数解．∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．（2）∵，∴把函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数的图象，它的顶点坐标是．∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点．∴把函数的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．题型十一：二次函数的最值问题1．已知抛物线有最大值7，则．【答案】【分析】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了抛物线的顶点坐标，要注意判断出抛物线的开口向下，且顶点的纵坐标为7，然后列式求解即可．【详解】∵抛物线有最大值7，∴，解得，，∴m的值是．故答案为：2．汽车刹车后行驶的距离(单位：米)关于时间(单位：秒)的函数关系式是，则汽车从刹车到停止滑行的距离为m．【答案】【分析】本题考查二次函数性质的应用，将二次函数一般式化为顶点式，求出距离最大值即可．读懂题意，利用顶点式的性质求解是解决问题的关键．【详解】解：汽车刹车后行驶的距离(单位：米)关于时间(单位：秒)的函数关系式是，，，当时，汽车行驶距离最大值为米，汽车从刹车到停止滑行的距离为米，故答案为：．3．已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为．【答案】4或【分析】由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得，即可求解答案．【详解】解：的对称轴为直线，顶点坐标为，当时，在，函数有最小值，∵的最小值为，∴，∴；当时，在，当时，函数有最小值，∴，解得；综上所述：的值为4或．故答案为：4或．4．已知，平面直角坐标系中，直线与抛物线的图象如图，点P是上的一个动点，则点P到直线的最短距离为．【答案】【分析】设过点P平行直线的解析式为，当直线与抛物线只有一个交点P时，点P到直线的距离最小，如图设直线交x轴于A，交y轴于B，直线交x轴于C，作于D，于E，求出的长即可解决问题．【详解】解：设过点P平行直线的解析式为，当直线与抛物线只有一个交点P时，点P到直线的距离最小，由，消去y得到：，当时，，∴，∴直线的解析式为，如图设直线交x轴于A，交y轴于B，直线交x轴于C，作于D，于E，则，，，∴，，，∴，∴，∵，，，∴．故答案为：．题型十二：图像和系数之间的关系1．二次函数的图像如图所示，给出下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出，，的符号，再利用特殊值法分析得出各选项即可．【详解】解：抛物线开口方向向下，，，对称轴，，抛物线与轴交于负半轴，，，故①正确；对称轴，，，则，故②错误；，则，对称轴，，，故选项③正确；当时，，故④正确，综上所述，①③④正确，共有3个，故选：．2．抛物线经过点，，其对称轴在y轴右侧，有下列结论：①抛物线经过点；②开口向下；③方程有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论为．【答案】②③④【分析】将点，代入解析式得到，，从而得到，结合对称轴在y轴右侧得到，，即可判断②，当时得到即可判断①，根据最高点大于3，平移即可判断③，根据及过点即可判断④，【详解】解：∵抛物线经过点，，∴，，∴，∵对称轴在y轴右侧，∴，，故②正确，当时，故①错误，∵抛物线过，开口向下，∴抛物线最大值大于3，∴方程有两个不相等的实数根，故③正确，当时，，∵，∴，∵，∴，故④正确，故答案为：②③④；3．已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③(m为任意实数)；④；⑤若且，则其中正确有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①根据开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，进行判断；②令，利用抛物线的对称性进行判断；③利用最值进行判断；④根据抛物线与x轴有两个交点，则二次方程的判别式大于0进行判断；⑤利用对称性进行判断．【详解】①∵抛物线开口向下，∴，∵对称轴为：，∴，又抛物线与y轴交于正半轴，则，∴；故①错误．②令，由抛物线的对称性可知，与的函数值相同，∴，即，故②正确．③由图象可知，当时，函数有最大值：，∴m为任意实数，则，即，，当时，；故③错误．④∵抛物线与x轴有两个交点，∴二次方程的两个不相等的实数根，∴，即，故④正确．⑤当关于对称时，即：时，的函数值相同，即，∴，∴若且，则，故⑤正确．综上，②④⑤正确，共3个，故选：C．4．如图，二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，3，则下列结论：①）；②；③；④对于任意均有；⑤方程一定有实数根．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由图可知，，，，即可判断①；根据二次函数图象与轴的交点的横坐标为，3，得出对称轴为直线，即可判断②；把代入得：，由图可知，当时，，即可判断③；根据该二次函数对称轴为直线，得出当时，y取最小值，则，即可判断④；结合④可得当时，方程有实数根，即可判断⑤．【详解】解：由图可知，∵开口向上，∴，∵对称轴在y轴右侧，∴，∵与y轴相交于负半轴，∴，∴，故①正确，符合题意；∵二次函数图象与轴的交点的横坐标为，3，∴对称轴为直线，∴，则，故②正确，符合题意；把代入得：，由图可知，当时，，∴，故③不正确，不符合题意；把代入得：，∵该二次函数对称轴为直线，∴当时，y取最小值，∴，即，故④不正确，不符合题意；∵，∴当时，方程有实数根，故⑤不正确，不符合题意；综上：正确的有①②，共2个，故选：B．5．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，给出下列四个结论：①当时，y随x的增大而减小；②；③；

④；其中，正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据函数图象及对称轴，得到，当时，y随x的增大而减小，判断①和②；当，，即，判断③；当，，即，由得到，判断④即可．【详解】解：由函数图象开口向上，且关于直线对称，，当时，y随x的增大而减小；故①错误；，即，故②正确；由函数图象可以看出，当，，即，故③错误；由函数图象可以看出，当，，即，，，即，故④正确；正确的有2个，故选：B．6．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点．其对称轴为直线下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③若关于x的一元二次方程没有实数根．则；④满足的x的取值范围为．⑤对于任意实数m，总有；其中正确结论的个数为（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；将方程整理后，可得，利用根的判别式求解，可得，故③正确；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确；根据当时，y有最大值，即对于任意实数m，总有，即，故⑤错误．【详解】①∵抛物线开口向下，∴．∵抛物线的对称轴为直线，∴，由图象可得时，，即，而，∴．故①错误；②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线．故当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，∵，，即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，故，故②正确；③整理可得，若无实数根，则，∵，∴即，故③正确；④∵函数图象经过，对称轴为直线，∴二次函数必然经过点，∴时，的取值范围，故④正确；⑤由开口向下且对称轴为直线，可知当时，y有最大值，即对于任意实数m，总有，即，故⑤错误．综上，②③④正确，共3个，故选：B．7．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（

）A．①② B．②④ C．③④ D．②⑤【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二