2023届福建省南安高考数学四模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=g（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）

2-1

A，B，CC'I?'?]D・卜,5

2,《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、

艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“■一”表示一个阳爻，表示一个阴爻）.若从含有两个及以上阳

爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）

4

i-i

3.设2=「+方,则|z|=

1+1

1

A.0B.-C.1D.J2

2

4.设beR*,数列｛%｝满足4=2,an+i=a-a~+b,〃eN*，贝！J（）

A.对于任意。，都存在实数M,使得4恒成立

B.对于任意。，都存在实数M，使得区,<M恒成立

C.对于任意人£（2-都存在实数使得恒成立

D.对于任意匕e（0,2-4a）,都存在实数〃，使得<M恒成立

5,已知集合4={工G川炉＜8》},B={2,3,6},C={2,3,7},则BU(备。)=()

A.[2,3,4,5}B.[2,3,4,5,6}

C.{1,2,3,4,5,6}D.{1,3,4,5,6,7}

6.设函数/(x),g(无)的定义域都为R,且/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()

A.〃x>g(x)是偶函数B.|/(x)|g(x)是奇函数

c./(x)・|g(x)|是奇函数D.是奇函数

7.已知复数二满足|z|=l,则|z+2-i|的最大值为()

A.2+3B.1+V5C.2+A/5D.6

8.圆心为(2,1)且和K轴相切的圆的方程是()

A.(x-2)2+(y-l)2=1B.(x+2)~+(_y+l)'=1

C.(X-2)2+(J-1)2=5D.(x+2)2+(y+l)2=5

9.已知AA5C中，忸4=2,84-8。=一2.点P为5c边上的动点，则PC-(PA+PB+尸C)的最小值为()

325

A.2B.-----C.—2D.------

412

10.如图，在AA3C中，点。为线段AC上靠近点A的三等分点，点尸为线段8Q上靠近点3的三等分点，则

PA+PC=()

|25727

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.-BA+—BCD.-BA+-BC

33999999

11.已知函数=g(x)=ln1+l,若/(w)=g(〃)成立，则〃一加的最小值为()

5+In6

A.()B.4C.3e--D.

22

12.点0在AA3C所在的平面内，|。4卜|°a=|岳|,|而|=2,AO=AAB+MC^,jueR),且

42一4=2(4彳0),则悭卜()

V7

D.V7

V

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

99

13.已知正项等比数列｛〃〃｝中，=亍？，则。］3=.

14.函数，(幻=虹口的极大值为.

X

15.已知数列｛4｝满足：％=1,a“M=：a；+〃?(〃eN*),若对任意的正整数〃均有4<4,则实数”的最大值是

8

16.已知。>6>0,椭圆G的方程为:+与=1,双曲线C方程为5-4=1,G与C,的离心率之积为也,

a~b~a~b~2

则G的渐近线方程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设等比数列伍“｝的前”项和为S“，若/川=2S,+15GN*)

(I)求数列伍“｝的通项公式；

(n)在%和an+y之间插入"个实数，使得这〃+2个数依次组成公差为4的等差数列，设数列｛；｝的前«项和为T„,

求证：7；,<2.

18.(12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面A8CD是边长为2的菱形，ND4B=60°,ZADP=90°,平面，

平面ABCD,点尸为棱PD的中点.

(I)在棱A8上是否存在一点E,使得平面PCE,并说明理由；

(II)当二面角。一尸。一3的余弦值为注时，求直线必与平面ABC。所成的角.

4

19.(12分)已知数列｛0“｝满足q=2,a,m=2a“+2”(〃eN*),其前〃项和为S”.

(1)通过计算*,1=-,玄，猜想并证明数列｛a,,｝的通项公式；

⑵设数列也｝满足仇=1,“用=二"(〃€"),=若数列｛c,J是单调递减数列，

求常数f的取值范围.

2

20.(12分)已知椭圆C：—+/=1,不与坐标轴垂直的直线/与椭圆C交于M，N两点.

4

(I)若线段MN的中点坐标为11,；)求直线/的方程；

(II)若直线/过点(4,0),点P(Xo,O)满足⑥M+即N=0怎N分别为直线PM,PN的斜率)，求X。的值.

21.(12分)“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，

讨论学习.甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，现要从这9人的

两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.

(1)设事件A为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A发生的

概率；

(2)用X表示抽取的4人中乙组女生的人数，求随机变量X的分布列和期望

22.(10分)(江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题)在平面直角坐标系.Mb中，已知平行于x轴的动直线/交

抛物线C：y2=4尤于点p,点尸为C的焦点.圆心不在)，轴上的圆”与直线/,pF,x轴都相切，设”的轨

迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)若直线4与曲线E相切于点Q(SJ)，过。且垂直于4的直线为4,直线4，4分别与》轴相交于点A，B.当

线段A8的长度最小时，求s的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得出答案.

【详解】

1-z（l-i）（2+z）31.

解：Z=-----=---------------=-------1,

2-i（2-i）（2+i）55

z在复平面内对应的点的坐标是

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

2.B

【解析】

基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率.

【详解】

解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，

取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的

基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个，

31

所以，所求的概率P=-=—.

62

故选：B.

【点睛】

本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题.

3.C

【解析】

分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共施复数，化简复数二，然后求解复数的模.

详解:"1币-i+"高曷+公

=—i+2i=i,

则z=l,故选c.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共

辗复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式

相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

4.D

【解析】

取。=匕=1,可排除AB；由蛛网图可得数列｛4｝的单调情况，进而得到要使明＜用，只需2＜匕业也立,由此

2a

可得到答案.

【详解】

取。=/?=1,&+1=a；+l,数列｛叫恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项;

因为当0＜4＜%时，数列｛为｝单调递增，则an＜x,；

当王＜q＜々时，数列｛4,｝单调递减，则玉

所以要使4＜M,只需要（）＜4＜々，故2＜5二4"J化简得人＜2—4。且b＞0.

2a

故选：D.

【点睛】

本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题.

5.C

【解析】

根据集合的并集、补集的概念，可得结果.

【详解】

集合A=｛xe8x｝=｛xeN|0VxV8｝,

所以集合4=｛1,2,3,4,5,6,7）

B=[2,3,6},C={2,3,7},

故"C={1,4,5,6),

所以8u(aC)={l,2,3,4,5,6}.

故选：C

【点睛】

本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.

6.C

【解析】

根据函数奇偶性的性质即可得到结论.

【详解】

解：/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

f(-x)=-/(X),g(一幻=g(x),

/(-x)・g(-x)=-/(x).g(x),故函数是奇函数，故A错误，

|/(-x)|.g(-x)H/(x)必(x)为偶函数，故B错误，

/(-x),|g(-x)|=-/(x)dg(x)|是奇函数，故C正确.

|/(-x).g(-x)Hf(x),g(x)I为偶函数，故。错误，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.

7.B

【解析】

22

设2=”+历,41右7?,|z+2-z|=A/(a+2)+0-l),利用复数几何意义计算.

【详解】

设2=”+加,。力€火，由已知，a2+b2=\,所以点(a,切在单位圆上，

而|z+2-i|=|(a+2)+(Z?-l)i|=^/(a+2)2+0-1)2，^(a+2)2+0-1)2表示点3b)

到(—2,1)的距离，故(+2-怔J(-2)2+『+1=1+石.

故选：B.

【点睛】

本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式|Z+2-i区zI+12-i|来解决.

8.A

【解析】

求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.

【详解】

圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的半径为1,因此，所求圆的方程为(X-2)2+()-1)2=1.

故选：A.

【点睛】

本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.

9.D

【解析】

以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得3(-1,0),。(1,0),设P(a,O),A(x,y),运用向量的坐标表示,

求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值.

【详解】

以8c的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，

可得O),C(1,0),设P(a,0),A(x,y),

由BABC=-2，

可得(x+l,y>(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,y^O,

贝!|PO(PA+P8+PC)=(l—a,0>(x—a—l—a+l—a,y+0+0)

=(1_a)(x_3a)=(1—a)(—2—3a)—3tz~—a—2

"iY25

I6j12

当a=J■时，PC•(尸A+PB+PC)的最小值为—空.

故选D.

y

BqPC

【点睛】

本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题.

10.B

【解析】

PA+PC=BA-BP+BC-BP=BA+BC-BQ,将8。=%+4。=64+；4。，40=80_&4代入化简即

可.

【详解】

----2■

PA+PC=BA-BP+BC-BP=BA+BC--BQ

_7-..

=BA+BC-§(34+AQ)

=-BA+BC--x-AC

333

1257

=—BA+BC——(BC-BA)^-BA+-BC.

3999

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.

11.A

【解析】

令./■(，〃)=g(〃)=/，进而求得〃-加=2e"-21n-2,再转化为函数的最值问题即可求解.

【详解】

n

/W)=g(〃)=r二#'"-I=In1+1=r(f>0),一加=2*1-21nt-2,

令：〃(r)=〃'T-21nr—2,h'(t)=2e'-',〃'(r)在(0,+”)上增，

且〃'⑴=0,所以/z⑺在(0,1)上减，在(1,+8)上增，

所以〃(。,而=〃(1)=2—2=0,所以〃-〃7的最小值为().故选：A

【点睛】

本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，恰当的用一个未知数来表示〃和，〃是本题的

关键，属于中档题.

12.D

【解析】

54

确定点。为AABC外心，代入化简得到4=工，〃=彳，再根据8C=AC—A8计算得到答案.

63

【详解】

由|。4卜|。目=口4可知，点0为AABC外心，

12121

则==2,ACAO=-AC=-,又AO=2A8+〃AC,

AO-A3=AAB2+/JACAB=42+〃AC-AB=2,

所以彳21①

AOAC-AABAC+^AC^AABAC+^i^-,

因为4/1一〃=2,②

54

联立方程①②可得几=:，〃=二，ABAC=-\＞因为3C=AC-A8，

63

所以8C?=AC?+A3?—2AC.A8=7，即阳=近•

故选：D

【点睛】

本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

3

利用等比数列的通项公式将已知两式作商，可得4=2,再利用等比数列的性质可得生=方，再利用等比数列的通

项公式即可求解.

【详解】

由=吩，。7，。9=尸，

所以g必=q5p5=1_L],解得g=

。2f42

92印、,3

a2*a4-^4=a3>所以。3=合，

所以43=%/°=白出=奈.

3

故答案为：

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题.

,1

14.f

【解析】

先求函的定义域，再对函数进行求导，再解不等式得单调区间，进而求得极值点,即可求出函数/(X)的极大值.

【详解】

函数/(x)=lnx-1，xe(0,+oo),

X

,l-</nx-l)2-lnx

「•/(x)=2=2，

XX

令r(%)=。得，了=/,

・•・当X£(0,/)时，/(X)>0,函数/(x)单调递增；当X£(/,+8)时，f\x)<：0,函数.f(x)单调递减，

二当x=e?时，函数"X)取到极大值，极大值为/(/)=*」==.

e~e

故答案为：—7.

6一

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意定义域

优先法则的应用.

15.2

【解析】

根据递推公式可考虑分析-%，再累加求出关于凡关于参数〃4〃的关系，根据表达式的取值分析出“W2,再用数

学归纳法证明m=2满足条件即可.

【详解】

|12

因为4+1=-a--an+m^-(an-4)-+m-2>m-2,

oo

?一!

累加可得。“=q+Z(%+|-a)Nl+W-2)(〃一1).

k=]

若根>2,注意到当〃f+x>时,(加―2)(〃—1)—,不满足对任意的正整数〃均有％,<4.

所以m<2.

当"2=2时,证明：对任意的正整数"都有。<4<4.

当〃=1时，«,=1<4成立.

假设当〃=仁(攵21)时结论成立，即。<4,

贝！|0<%+[=2+，。；<2+-x42=4,即结论对力=2+1也成立.

88

由数学归纳法可知，对任意的正整数"都有0<%<4.

综上可知,所求实数，〃的最大值是2.

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查了根据数列的递推公式求解参数最值的问题,需要根据递推公式累加求解，同时注意结合参数的范围问题

进行分析.属于难题.

16.x±=0

【解析】

求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的关系，然后推出。力关系，即可求解双曲线的渐近线方程.

【详解】

22

a>b>0,椭圆G的方程为之+==1，

G的离心率为：一”,

a

22

双曲线G方程为二一==1，

。2的离心率：如辿,

&与C,的离心率之积为业,

2

aa2

hj_12_立

-2，a-V

C的渐近线方程为：/=±也'，即8±及旷=0.

2

故答案为：尤±0y=O

【点睛】

本题考查了椭圆、双曲线的几何性质，掌握椭圆、双曲线的离心率公式，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)a“=3"T；(II)详见解析.

【解析】

(I)%+|=2S“+l,4=2S,T+1(*2),两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出.

/<,1〃+1拉+1

(II)由题设可得知+]=%+(〃+1)4,,可得7=------=7^77,利用错位相减法即可得出.

【详解】

解：(I)因为％M=2S〃+1,故a.=2S,i+l(〃N2),两式相减可得，

a

4+1-n=2(S“一S"T)=2a.(n>2),故an+l=3an(n>2),

因为⑷｝是等比数列，.••。2=34,又％=24+1,所以3al=2q+l,

故4=1,所以4=3"、

1〃+1n+l

<n)由题设可得=%+(〃+1)4,所以丁=-------=丁石-

<%一42-3

所以y+2+合++*，①

nJ.13n〃+1

贝！J_=1--------~+H-----------H------,---②

3〃32-322・3'i2・3"

2111n+1

①一②得：-I[=1T----------1----------1--------T2^3"

3〃2-32-322・3〃T

一口而"？^)〃+]

2-3"

1--1

3

,e152〃+515小加一

所以(，=&—记诃<&<2,得证•

OO•JO

【点睛】

本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

18.(1)见解析(2)60°

【解析】

(I)取PC的中点。，连结EQ、FQ,得到故AE/AFQ且AE=FQ,进而得到AF7/EQ,利用线面平行的判

定定理，即可证得Ab//平面PEC.

(H)以。为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设ED=a,求得平面EBC的法向量为〃?，和平面。尸C的法向量

〃，利用向量的夹角公式，求得a=6,进而得到NP8D为直线PB与平面ABC。所成的角，即可求解.

【详解】

(I)在棱上存在点E，使得A///平面PCE,点E为棱AB的中点.

理由如下：取PC的中点。，连结EQ、FQ,由题意，FQHDCaFQ=；CD,

AE//CD且AE=、CD,故AE//EQ且AE=FQ.所以，四边形AEQE为平行四边形.

2

所以，AF//EQ,又EQ，平面PEC,/尸，平面PEC,所以，Ab//平面PEC.

(D)由题意知为正三角形，所以田_LAB,亦即EDLCD,

又NAT>P=90°,所以且平面ADPL平面ABCD,平面ADPc平面ABCD=A£>,

所以平面ABCD,故以。为坐标原点建立如图空间直角坐标系，

设FD=a,则由题意知。(0,0,0),E(0,0,a),C(0,2,0),B(V3,l,0),

FC=(O,2,-«),CB=(6,-1,O),

设平面FBC的法向量为加=(x,y,z),

m•FC=0,2y-az=0-九C

则由，得《

r,令x=l,则y=z=—

mCB=073x-y=0a

所以取，〃=1,瓜,显然可取平面DEC的法向量〃=(1,0,0),

由题意:所以a=也.

由于PD,平面ABC。，所以依在平面ABC。内的射影为80,

所以NPBD为直线PB与平面ABC。所成的角，

易知在RfAPBO中，tanZPBD=—=a=y/3,从而NP3£>=60°,

BD

所以直线A5与平面ABCD所成的角为60°.

【点睛】

本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理

能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构

成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

19.(1)a“=(〃+l>2"T,证明见解析；(2)|1,+oo

IJ/

【解析】

(1)首先利用赋值法求出生争墨的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；⑵首先利用叠乘法求出数列的通

项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数/的范围.

【详解】

(1)数列伍“｝满足q=2,an+l=2%+2"(〃eN*),其前〃项和为S,,.

所以外=2q+2=6,%=2a2+2,=16,

A-

畤=2,畀，

所以猜想得：4=(〃+1)・2"，

证明：由于。用=2勺+2",

所以4号=2+工，

2"+,2"2

贝的爵-(常数)，

所以数列｛妥｝是首项为1，公差为;的等差数列.

所以祟=[+；(〃_l)=g+^,整理得%=(〃+l)・2"T.

>7

(2)数列｛〃｝满足4=1,6向=—b“(neN*),

n+2

所以行n

〃+2

h_n-\n-221

贝u—­——2—----•----...—•一

人J%履2b[n+1n43

22

所以口

〃(〃+1)z?(n+l)

7747

所以％…=2向大-。-2“宣-，)=2“大-2”而+力

G422n2

4712_t>--------------=-------------=-------

所以-------1---------<0,整理得〃+2n+1iv+3n+22

〃〃〃+二

+2+1n

2211

由于〃+*+3..6,所以3「3,即，>—.

n"+一+33

n

【点睛】

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的

应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型.

20.(I)x+2y—2=0(H)%=1

【解析】

(I)根据点差法，即可求得直线的斜率，则方程即可求得;

（n）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，根据即M+%V=O,即可求得参数的值.

【详解】

r2

”%2=11,

⑴设N（x,y）,则<

222

两式相减，可得（尤/尤2）国+々）

+（弘一必）（乂+）'2）=。・（*）

4

因为线段MN的中点坐标为I1,J

,所以玉+Z=2,%+%=1•

代入（*）式，得（「二

”2>2+（y_%）=o.

4

.y一必1

所以直线/的斜率左=

所以直线/的方程为y_g=_g（x—l）,即x+2y-2=0.

x=my+4,

（II）设直线/：x=my+40）,联立

—+y=1.

14•

整理得（加2+4）y2+8冲+12=0.

所以八=64m2-4X12X（/??+4）>0,解得/川>12.

g、i8机12

所以X”中.

所以%+%=/一+一二晔R卢3

X.—尢、尤—-无八IY—YIIY.—XI

々X+3%—（弘+）‘2）工0_（冲2+4）X+（团%+4^2—（y+%）玉）

（x1-x0）（x2-x0）（内一天）（工2—玉））

2阳跖+（4—%）（乂+必）=0

（王一工0）（马一七）

所以2mxy2+（4-彳0）（凹+%）=8

所以2冲跖+（4_/）（乂+必）==”坐空=0.

m+4/篦+4m+4

因为/“RO,所以X。=1.

【点睛】

本题考查中点弦问题的点差法求解，以及利用代数与几何关系求直线方程，涉及韦达定理的应用，属中档题.

24

21.(I)-；(II)分布列见解析，一.

73

【解析】

.C2362

(I)直接利用古典概型概率公式求尸(4)=3：*==.(H)先由题得X可能取值为0,1,2,3,再求X

C91267

的分布列和期望.

【详解】

C\-C\-Cl362

(I)p(>

126