山西省朔州市怀仁市重点学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题含答案

怀仁重点中学高一年级2023~2024学年上学期期中考试数学试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第四章第3节。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．函数的定义域为（）A． B． C． D．3．已知幂函数的图象过点，则（）A． B． C． D．4．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．6．已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（）A． B．7 C． D．97．若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知关于x的方程有唯一实数解，则的值为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知，则下列等式一定正确的是（）A． B． C． D．10．若集合A，B，U满足，则（）A． B． C． D．11．函数（，且）的图象可能是（）A． B． C． D．12．若实数且，则下列结论正确的是（）A．存在a，b，使得 B．若，则C．当时，不可能小于零 D．且三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．命题“，”的否定是________．14．函数的单调递增区间为________．15．若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是________．16．已知是上的单调增函数，则实数a的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）已知全集，集合，，．（1）求，；（2）若，求实数a的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数的图象关于原点对称，且当时，．（1）求的解析式；（2）画出的图象，根据图象写出它的单调区间．19．（本小题满分12分）已知函数．（1）若为奇函数，证明：；（2）讨论的单调性．20．（本小题满分12分）（1）设a，b，c为正数，求证：；（2）解关于x的不等式：．21．（本小题满分12分）某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入为95万元．设使用该设备前n年的总盈利额为万元．（1）写出关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理．问哪种方案较为合理？并说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数，．（1）若是关于x的方程的一个实数根，求函数的值域；（2）若对任意，存在，使得，求实数a的取值范围．怀仁重点中学高一年级2023~2024学年上学期期中考试·数学试题参考答案、提示及评分细则1．C集合，，所以．故选C．2．D由题意，得，∴且，∴定义域为．故选D．3．B设，依题意，所以，所以，所以．故选B．4．A因为由，可得，又“”是“”的充分不必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．5．C由得，所以，A正确；，B正确；取，，则，，，C错误；，，所以，D正确．故选C．6．B因为是定义域为的奇函数，所以，，，所以．故选B．7．D因为，且，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即，解得或，所以m的取值范围是．故选D．8．C由题意得，则，令，则上式可化为，令，则，故为偶函数，关于x的方程有唯一实数解，即函数的图象与有唯一交点，结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故．故选C．9．BCD依题意，，即，则且a，，故C正确；对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于D，，故D正确．故选BCD．10．AD由知：，即A正确，∴，即B错误；仅当时，即C错误；，即D正确．故选AD．11．BC据题设分析知，先讨论，再讨论，并将每类情况下函数转化为分段函数研讨实现问题求解．故选BC．12．BCD对于A，当时，，当且仅当时等号成立，此时不存在a，b，使得，当时，，当时等号成立，但此时，所以不存在a，b使得，A错误；对于B，由得，所以，整理得，所以，又，所以，B正确；对于C，由，C正确；对于D，因为，设，代入得，因为，所以，所以，当时，由得，所以，所以；当时，，当且仅当时等号成立，，所以且，D正确．故选BCD．13．，根据“，”的否定是“，”，可得命题“，”的否定是“，．14．（开区间也正确）依题意，，解得，即的定义域为，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在上单调递减，因此，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为．15．因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即a的取值范围是．16．是上的单调增函数，所以．17．解：（1）∵集合，，∴． 2分或，， 3分∴． 4分（2），当时，即时，，此时，满足题意； 6分当时，即时，， 8分若，则或，即或， 9分∴．综上，实数a的取值范围为． 10分18．解：（1）∵的图象关于原点对称，∴是奇函数，∴． 1分又的定义域为，∴，解得． 2分设，则，∵当时，，∴，∴， 5分∴ 6分（2）由（1）可得的图象如图所示．由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为． 12分19．（1）证明：的定义域为，对，都有，又为奇函数，则必有，即，整理可得，命题得证． 5分（2）解：设，，且，， 8分易知，，又在上为增函数，，可得， 9分当时，，为增函数；当时，，为常函数无单调性；当时，，为减函数． 12分20．（1）证明：因为a，b，c为正数，由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，，当且仅当取等号，，当且仅当取等号， 3分以上三式相加有，即，当且仅当时取等号． 6分（2）解：，即， 7分即．①当时，，，的解集为， 9分②当时，，等价于，即； 10分③当时，等价于，即或． 11分综上可得：时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 12分21．解：（1）由题意可得，3分由得，又，所以该设备从第2年开始实现盈利． 5分（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额，当时，取得最大值160，此时处理掉设备，则总利润为万元； 8分方案二：由（1）可得，平均盈利额为，当且仅当，即时等号成立，即时，平均盈利额最大，此时， 11分此时处理掉设备，总利润为万元．综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适． 12分22．解：（1）∵是方程的一个实根，∴，解得， 2分∴， 3