2022年河南省开封市县第一中学高二数学文联考试卷含解析

2022年河南省开封市县第一中学高二数学文联考试卷

含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.用反证法证明：“方程ax2+5x+c=0,且斯瓦c都是奇数,则方程没有整数根”

正确的假设是方程存在实数根而为

A.整数B.奇数或偶数

C.正整数或负整数D.自然数或负整数

参考答案：

C

略

x2y2

2.设双曲线苏。的右焦点为R右顶点为A,过尸作A尸的垂线与双曲线

交于B,C两点，过'C分别作AC,AB的垂线，两垂线交于点O,若。到直线5c的

距离小于a+4+方,则该双曲线的渐近线的斜率的取值范围是().

A(L0)U(0J)B(”「DU(LW)C.(-a.0)U(0.应)

D.(-U(-区+°0)

参考答案：

A

解：如图，比lx轴于尸点，AB1BD,JC1CD,。点在X轴上，由射影定理得

nif——

BF'AFDF,a,AF=c-a,

DF=-=----<a+^oJ+fis=a+c

解得标(c-a)

b

解得力＜fl1,则a,即T<*<1且*#0.

故选A.

——+y=1

3.已知AABC的顶点B,C在椭圆3上，顶点A是椭圆的一个焦点，则椭

圆的另一个焦点在BC边上，则4ABC的周长是（）

A.2乖B.

6C,4君D.12

参考答案：

C

略

4.已知集合”={°㈤石={0工2},则“”1,,是“AqB”的（）条件

A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要

参考答案：

B

5.&4BC的三个内角A、B、C成等差数列，%8+nC）・EC=0,则A4BC一定是

A.直角三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.钝角三角形

参考答案:

B

略

6.某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1,

要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学

生（）

A.A.100B.B.60C.C.80D.

人人人

参考答案:

C

7.若(3x-始=%+%x+町/+……asx\那么|即|+|丐|+|町|+…I的值是

()

A.lB.28C.48D.38

参考答案：

C

略

8.a,从c•表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若”||M,b\\M,则心b

或aClb或a,b异面②若。U”,a]\h,则a||M；③若a_Lc,hlc,则心b；④若

alM,blM,勉a|也其中正确命题的个数有：

A.0个B.1个C.2

个D.3个

参考答案：

C

——T

9.若则“无＞5”是“方程。三冉一表示双曲线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

参考答案：

A

—一_[

若*>5,则5>0,*+2>0,所以方程瓦•莉/一表示双曲线，

若方程二一皿一表示双曲线，则仕-5)代+2)>0,所以*>5或七<—2,

♦-T

综上可知，“无>5”是“方程正行前内一表示双曲线”的充分不必要条件，所以选A.

f(x)=—1-sinx

10.已知函数"J,则/⑴在[0，2殂上的零点个数为()

A.1；B.2；C.3；D.4

参考答案：

B

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.设数列｛%｝的前n项和'=",则出的值为

参考答案：

15

12.如图，四边形ABCD中,ZABC=ZC=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积是

参考答案:

【考点】HP：正弦定理.

【分析】由己知利用余弦定理可求BD,进而利用三角形面积公式可求以加和SABC”从而

求得四边形的面积.

【解答】解：VZABC=ZC=120°,AB=4,BC=CD=2,

...在4BCD中，BD=dBC2+cD2-2BC・CD・Cos以‘+"2X2X2X(=)=之父,

.•.SAABB=2-AB?BD?sin='2.X4X2@«,

o

cyBC-CD'sinl201x2X2X^r-

SABCD=N=Z/二yJ,

.•.四边形的面积S=SAW+SABCI>=:4''/3+A/3=5''/3.

故答案为：

13.如图,正方体ABCD-ABGDi的棱长为4,M为BD的中点,N在AC上,且A,N|=3|NC,|,则

MN的长为.

参考答案：

坛

送题分析：取4cl的中点。，连转的9,则■面所以_L4G,在

RIAMON中,MN=也②+应2=展.

14.给万个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当花工4时，在所有不同的着色方

案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示：

□

HB

n

Rf■□

BBH

lB

BRNn□H-

HBnnT

UHUHnEm

由此推断，当"=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共

有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共

有种.（直接用数字作答）

参考答案：

21；43

15.设集合4=｛（x,y）lr-y=O｝,B=｛（x,y）|2x-3y+4=0｝,则ACB=.

参考答案：

｛（4,4）｝

=*炉=1

16.设椭圆95的左，右焦点分别为品,后,过焦点凡的直线交椭圆于

43M工风与必）两点，若ZiABB的内切圆的面积为兀，则

IM一/21=___________________

参考答案：

3

17.已知｛嘲是等比数列且%>0,又知&%+2a3+a4a6=25,则

4+6=.

参考答案：

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.某客运公司用A、8两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返

一次.A、8两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为

1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求8型车不多

于A型车7辆.若每天运送人数不少于900,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那

么应配备A型车、B型车各多少辆？

参考答案：

设4型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元，贝l」z=1600x+2400y.由题意，得

x,y满足约束条件

x+yCL

y<x+l.

36x+60y>900.

x.y>0,x,y^N.4分

作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为尸(5,12),Q(7,14),

R(15,6)................................2分

y

2*片7

一歹三二打)15靛£天也小

'、、"尸21

.'、、

'2x+3y=O

由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴

上的截距2400最小，即z取得最小值...............5分

故应配备力型车5辆、3型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最

小................1分

19.(本小题满分10分)

如图，在四棱锥尸-43C。中，底面工88是矩形，

%_L平面45cO,AP=AB,E,R分别是F8,产C的中点.

(I)证明：即〃平面％0；

(II)求证：AE1PC.

参考答案：

(I)证明：

E,9分别是P5,FC的中点

EFHBC

..2分

BCIIAD

EFf/AD

<Z平面RAD,&Z)u平面PAD

职〃平面

PAD

,•,4分

(II)证明：

AP=AB,£是干5的中点

.AELPB

...6分

•.•F2j_平面工BCD

PALBC

AB±BC且&=H

BC_L平面

PAB

8分

平面％B

AEJ.BC

•；PBCBC=B

..451平面产8C

AE1PC

.............io分

一/\--4-——二1

20.在平面直角坐标系xOy中，方向向量为*(1,k)的直线1经过椭圆189-'的右

焦点F,与椭圆相交于A、B两点

(1)若点A在x轴的上方，且I欣1=1而I,求直线1的方程；

(2)若k>0,P(6,0)且4PAB的面积为6,求k的值；

(3)当k(k20)变化时，是否存在一点C(xo,0),使得直线AC和BC的斜率之和为

0,若存在，求出X。的值；若不存在，请说明理由.

参考答案:

【考点】直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；直线的一般式方程.

【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】(1)根据椭圆方程，算出右焦点F坐标为(3,0),结合椭圆上位于x轴上方

的点A满足I赢1=1而I算出A(0,3),由此可得直线1的斜率k=-1,即可求出直线1

的方程；

(2)设直线1：y=k(x-3),与椭圆方程联解消去y得(l+2k2)y2+6ky-9k2=0,由根与

系数的关系算出AB的纵坐标之差的绝对值关于k的式子，再根据APAB的面积为6建立关

于k的方程，化简整理得k"-F-2=0,解之得k=l(舍负)；

(3)设直线1方程为y=k(x-3)与椭圆方程联解消去y得(1+2/)x2-12k2x+18(k2-

',_12k2

X1IXQ-9

l+2k2

18(k2-1)

X］七二---------2-

1)=0,由根与系数的关系得到Il+2k‘，然后化简心+媪=0为关于x,、

yi、X2、y2和xo的等式,化简整理得2kxiX2-k(xo+3)(xi+x2)+6kxo=O,再将前面算出的

xi+xz和xixz的表达式代入化简可得x0=6,由此可得存在一点C(6,0),使得直线AC和

BC的斜率之和为0.

22

x_

【解答】解(1)♦.•椭圆方程为189T

a2=18,b2=9,得cXa2-b，，可得F(3,0)•••

•••I赢1=1正值点A在x轴的上方，…

可得A在椭圆上且I赢1=3,得A是椭圆的上顶点，坐标为A(0,3)

由此可得1的斜率k=-1,d-(1>1)…

x-3_y-0

因此，直线1的方程为：1--1,化简得x+y-3=0…

(2)设A(xi,yi)、B(x-2,y2),直线1：y=k(x-3)…

<—

将直线与椭圆方程联列【厂k(x-3),...

消去x,得(l+2k2)y、6ky-9k」0…

6k

了]+旷2=-"""~~2

1'l+2k2

__9k2

yi1-y--------2

由于a>0恒成立，根据根与系数的关系可得'2l+2k*…

61klm(1+k2)6k也(1+k2)

.跖一丫2匕

l+2k2l+2k2

1....16k也(l+k2)

-^X|PF|X|y-y|若X3X3--------—=6

因此，可得SAPABJ/l+2kz

化简整理，得k'-k2-2=0,由于k>0,解之得k=l…

(3)假设存在这样的点C(xo,0),使得直线AC和BC的斜率之和为0,

根据题意，得直线1：y=k(x-3)(k/0)

(22

--+---二1

-189

由[尸k(x-3)消去y,得(i+2k?)x2-12k2x+18(k2-1)=0-

18(k2-1)

x1■x2=2

由于恒成立，根据根与系数的关系可得Il+2kZ(*)-(13

分)

,y

kAD~~~kBD2~~~、

而X1x0,x2x0,…(14分)

,,yi,y2

k仙+kBD=~~~+_

...X]xQx2xQ

k(Xj3)k(x2-3)k(X[-3)(x2-x0)+k(12-3)(x।-x0)

=xi_xox2~x0-(xi_x0)(x2-x0)

由此化简，得2kxiX2・k(xo+3)(xi+x2)+6kxo=O,•••

23

36k(k_1)_12k(x0+3)

on+6kxo-0

将(*)式代入，可得l+2k"l+2kz,解之得x0=6,

.,.存在一点C(6,0),使得直线AC和BC的斜率之和为0.…(16分)

【点评】本题给出椭圆方程，在直线1经过椭圆的右焦点F且交椭圆于A、B两点且满足

lOA1=|0FI的情况下求直线1的方程，并且讨论了x轴上是否存在一点C使得直线AC和

BC的斜率之和为0的问题.着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、一元二次方程根

与系数的关系和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于中档题.

21.已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(I)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(II)已知点B(-3,0),设不垂直于x轴的直线1与轨迹C交于不同的两点P,Q,

若x轴是NPBQ的角平分线，证明直线1过定点.

参考答案：

【考点】轨迹方程；抛物线的简单性质.

【分析】(I)根据勾股定理，建立方程，进而求得动圆圆心的轨迹C的方程；

(H)设P(xi,y。，Q(X””)，由题意，直线PQ的方程代入化简，利用角平分线的

性质可得kpiF-LB,可化为：-16tm+(3+m)8t=0,所以：m=3,1：x=ty+3,即可得到定

点.

【解答】解：(I)设动圆圆心P(x,y),M|PM|2=|PA|2=42+X2BP：(X-4)

2+yM2+x2,

即动圆圆心的轨迹方程为：y2=8x,

(II)设两点P(xi,yi),Q(X2,y2)设不垂直于x轴的直线：1：x=ty+m(tNO),则

x=ty+m

42

y=8K有：y2-8ty-8ni=0,所以：yi+y2=8t,yiy2=-8m,

因为x轴是NPBQ的角平分线，

x+

所以：kBi>+ki?o=OBP：l“2十即：2tyiy2+(m+3)(yi+y2)=0,

则：-16tm+(3+m)8t=0,所以：m=31：x=ty+3所以直线1过定点(3,0).

22.(本小题满分14分)

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班5()人进行问卷调查得到了如

下的列联表：

喜爱打篮球不喜爱打篮球合计

男生5

女生1()

合计5()

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为06

(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；

⑵能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你

的理由；

⑶现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为求自的分

布列与期望.

卜面的临界值表供参考:

P(K2>k)().150.1()().050.0250.0100.005().001

k2.0722.7063.8415.0