专题1.4 求二次函数解析式常考类型（六大题型）（原卷版）

专题1.4求二次函数解析式常考类型（六大题型）重难点题型归纳【题型1开放型】【题型2一般式】【题型3顶点式】【题型4两根式】【题型5平移变换型】【题型6对称变换型】【题型1开放型】【典例1】（2023•上海）一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是．【变式1-1】（2023•锡山区校级模拟）写出一个顶点坐标是（1，2）且开口向下的抛物线的解析式．【变式1-2】（2023•静安区校级一模）请写出一个以直线x＝3为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）【题型2一般式】【方法点拨】当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；【典例2】一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．【变式2-1】（春•大连期末）已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．【变式2-2】（秋•埇桥区期末）二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式．【变式2-3】（秋•荔城区校级期中）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式．【题型3顶点式】【方法点拨】若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（h，k），对称轴直线x=h，最值为当x=h时，y最值=k来求出相应的系数.【典例3】（2022秋•澄海区期末）已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），且与y轴的交点坐标为（0，5），则该抛物线的解析式为．【变式3-1】（2022秋•济南期末）已知二次函数的最小值为﹣3，这个函数的图象经过点（1，﹣2），且对称轴为x＝2，则这个二次函数的表达式为．【变式3-2】（2023•肃州区校级开学）抛物线和y＝2x2的图象开口方向、开口大小都相同，对称轴平行于y轴，顶点为（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．【变式3-3】（2022秋•黄骅市校级期中）若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为（0，﹣2），则它的表达式为．【题型4两根式】【方法点拨】已知图像与x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值．【典例4】（2022秋•雄县期末）已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象过点（﹣1，0），（3，0）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差；（3）若点P（﹣3，y1），Q（q，y2）在该二次函数的图象上，且y1＜y2，请直接写出q的取值范围．【变式4-1】（2023•荔湾区校级一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线BC于E．（1）求此二次函数解析式及点D坐标．（2）连接CD，求三角形CDE的面积．（3）ax2+bx+c＞0时，x的取值范围是．【变式4-2】（2023•南山区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点D是抛物线的顶点，求△BCD的面积．【变式4-3】（2023•雁塔区校级模拟）如图，抛物线L：y＝ax2+x+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线L表达式及顶点坐标；（2）设抛物线L'与L关于x轴对称．平移线段OC，使得点O恰好平移至抛物线L上一点P，点C恰好平移至抛物线L'上一点Q，请求出此时P、Q的坐标．【题型5平移变换型】【方法点拨】将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y=a(x–h)2+k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x–h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．【典例5】将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式．【变式5-1】（秋•普陀区校级期中）将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．【变式5-2】已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式．【变式5-3】抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移2个单位，求平移后的解析式．【题型6对称变换型】【方法点拨】根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．【典例6-1】（2022秋•上城区月考）已知y＝﹣3（x﹣2）2﹣7将它的图象沿着x轴对折后的函数表达式是．【典例6-2】（2022秋•汉阳区校级月考）抛物线y＝x2﹣6x+7绕其顶点旋转180°后得到抛物线y＝ax2+bx+c，则a＝，b＝，c＝．【变式6-1】（2022秋•萧山区月考）抛物线y＝（x+3）2﹣4关于y轴对称的抛物线解析式为．【变式6-2】（2022秋•汉川市月考）若抛物线y＝ax2+c与y＝﹣4x2+3关于x轴对称，则a+c＝．【变式6-3】（2021秋•镇海区期末）把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象关于y轴对称后得到的图象的函数关系式为．【变式6-4】（2021秋•闽侯县期中）二次函数y＝2（x﹣3）2+1图象绕原点旋转180°得新图象的解析式为．【变式6-5】（202