信号分析与处理（修订版） 课件 吴京 【ch03】连续时间信号的频域分析

高等院校公共课系列精品教材第三章高等院校公共课系列精品教材连续时间信号的频域分析电子信息科学与工程类任意信号分解为正交函数0101任意信号分解为正交函数一、确定性信号和随机性信号第2章内容可以概括为求解任意信号作用于LTI系统的时域响应问题。解决的方法就是以冲激信号为基本信号，将任意信号分解成无穷多个不同时刻、不同强度的冲激信号的叠加。以冲激响应为基本响应，将系统响应表示为不同延时、不同强度的冲激响应的叠加(卷积积分)。数学上对任意函数进行分解，必须保证有一个可以表示该函数的完备的正交函数集。如果将此用于信号分解上，则可以说一个完备的正交函数集构成了信号空间，在这个空间中任意信号可以用这样一完备正交信号集合来表示。在常用函数中完备的正交的函数集有很多种，如三角函数集、虚指数函数集、切比雪夫多项式的集合、沃尔什函数集，等等。周期信号的傅里叶级数0202周期信号的傅里叶级数傅里叶级数的理论为周期信号的分解给出了严格的数学证明。按照傅里叶级数理论，任何一个周期为T的周期信号，可以在一个完备的正交信号集上分解，即傅里叶展开，正交分解的信号应满足下述荻里赫勒条件：即在(t0，t0

十T)区间有定义，并且；x(t)绝对可积，即x(t)的极大值和极小值的数目应有限；x(t)如有间断点，间断点的数目应有限。02周期信号的傅里叶级数一、三角函数形式的傅里叶级数周期为T的信号x(t)，可以在任意(t0，t0

十T)区间，用三角函数信号集{sinkω0t，coskω0t，1；k=1，2，…；ω0

=2π/T}精确分解为下面的三角形式的傅里叶级数，即式子中物理含义是相同的，表明了任意周期信号都可以分解为直流分量和各次谐波分量之和，而作为各次谐波分量的频率是基波频率的整数倍。02周期信号的傅里叶级数一、三角函数形式的傅里叶级数通常可以通过信号的奇偶性来简化积分运算。(1)若周期信号为偶信号，即x(一t)=x(t)，可以证明这类信号的傅里叶系数为则对应傅里叶级数展开式为02周期信号的傅里叶级数一、三角函数形式的傅里叶级数(2)若周期信号为奇信号，即x(-t)=-x(t)，也可证明这类信号的傅里叶系数为：则对应傅里叶级数展开式为02周期信号的傅里叶级数一、三角函数形式的傅里叶级数(3)若周期信号为半波像对称信号，即(4)若周期信号是半波对称信号，即当周期信号波形具有某种对称性时，其傅里叶级数中有些项就不出现。掌握傅里叶级数的这一特点，就可以迅速判断信号中包含哪些谐波成分，从而简化系数的计算。另外，有些信号经简单处理也可能具有对称性，这时就可利用信号的潜在对称性进行简化分析。02周期信号的傅里叶级数二、指数函数形式的傅里叶级数即周期为T的信号x(t)，可以在任意(t0

，t0+T)区间，在虚指数信号集上分解为一系列不同频率的虚指数信号之和，即式中 ，展开系数Xk为傅里叶复系数，也称复振幅。三角形式的傅里叶级数物理含义比较明确，指数形式的傅里叶级数比三角形式的傅里叶级数更为简单，尤其是在系数计算上。02周期信号的傅里叶级数三、周期信号的频谱1.频谱的概念由于k是正比于kω0的，所以这两个图也就是ck对于ω和φk对于ω的图，前者称为振幅谱，也称幅度谱；后者称为相位谱，合起来称为周期信号x(t)的频谱图。从这个频谱图一眼就看出信号x(t)所包含的频率分量，以及它们的振幅大小和相位。频谱是描述一个周期信号x(t)的另一种形式，它在所有方面与x(t)作为t的波形图都是等价的。一个信号的频谱构成了x(t)的频域描述，与此对应的是x(t)用时间函数表征的时域描述。在三角函数形式的傅里叶级数展开式中，k只能取正整数，故其振幅及相位仅在频谱图的右半平面，称此为单边谱。而指数形式傅里叶级数的展开式中，k可以取任何整数，对应的频谱图称为双边谱。02周期信号的傅里叶级数三、周期信号的频谱2.周期信号的频谱分析当信号幅度E和重复周期T保持不变，而宽度τ变化时，若τ减小，则频率主瓣高度Eτ/T减小，各条谱线高度也相应地减小，频谱包络的第-个零点±2π/τ增大，因而频率主瓣内包含的谱线数目增多。若τ增大，则情况相反。当矩形脉冲信号的频率主瓣宽度与脉冲宽度成反比，这是一一个十分重要的关系。当τ增大到τ=T时有也就是说只在零频(ω=0)处出现一条高度为E的谱线。事实上此时的周期矩形脉冲信号已转化为直流信号了，其频谱自然只包含直流分量。02周期信号的傅里叶级数三、周期信号的频谱3.周期信号的功率谱， 的关系称为周期信号的单边功率谱，而

与的关系则称为周期信号的双边功率谱。周期信号的功率谱表明了其平均功率在各次谐波频率上的分配情况，功率谱只由振幅谱决定，与相位谱无关。02周期信号的傅里叶级数三、周期信号的频谱4.有效频带从周期矩形脉冲的频谱分析，可以看出对于一般的周期信号其频谱都具有以下特点：(1)频谱由离散的谱线组成，周期信号的频谱是离散谱，即具有离散性；在频谱图上谱线是以ω0为间隔等距离分布的，每一条谱线仅代表一个谐波分量，因而周期信号频谱具有谐波性；谱线振幅随n增大而逐渐衰减至零，所以周期信号的频谱具有收敛性。频谱的这三个特点：离散性、谐波性和收敛性，也是满足荻里赫勒条件的周期信号的频谱所共有的特点。02周期信号的傅里叶级数四、LTI系统对周期信号的响应周期信号可以分解成傅里叶级数，这就给任意周期信号输入LTI系统之后的响应求解提供了又一种可行的办法。考虑一个单位冲激响应为h(t)的LTI系统对简谐振荡信号的响应。就是说，系统的输出y(t)具有傅里叶级数的形式，因此也是一个与输人同周期的周期信号。非周期信号的傅里叶变换0303非周期信号的傅里叶变换式(3.28)是已知x(t)求X(jω)，称为傅里叶正变换；式(3.30)是已知X(jω)求x(t)，称为傅里叶反变换，可简记为表示对应关系，说明时域信号二者的关系也可记作x(t)→X(jω)，双箭头x(t)与频域频谱X(jω)是一对傅里叶变换对。一、傅里叶变换的导出03非周期信号的傅里叶变换二、常用信号的傅里叶变换1.单边指数信号的频谱单边指数信号的表达式为由于所得频谱是复函数，故有其时域波形图及频谱图如图所示。03非周期信号的傅里叶变换二、常用信号的傅里叶变换2.矩形脉冲信号的频谱矩形脉冲信号又称门信号，其表达式为矩形脉冲频域分解式为如图所示03非周期信号的傅里叶变换子为二、常用信号的傅里叶变换3.单位冲激信号的频谱将δ(t)代入式δ(t)的频域分解式δ(t)及其频谱如图所示03非周期信号的傅里叶变换三、傅里叶变换的性质1.奇偶特性偶信号的频谱是偶函数，奇信号的频谱是奇函数。实信号的频谱是共轭对称函数；其实部是偶函数，虚部是奇函数；幅度频谱是偶函数，相位频谱是奇函数。2.对称特性，则若3.时频展缩特性若，则03非周期信号的傅里叶变换三、傅里叶变换的性质4.时移特性若，则5.频移特性若，则6.时频微分特性若，且存在傅里叶变换，则03非周期信号的傅里叶变换三、傅里叶变换的性质7.时域卷积定理若，则8.频域卷积定理若，则03非周期信号的傅里叶变换四、周期信号的傅里叶变换式 表明，任意周期信号的傅里叶变换也是--系列冲激函数的线性组合，这些冲激发生在各次谐波频率上，强度为相应谐波分量复振幅的2π倍。这与前面傅里叶