中考数学复习锐角三角函数及其实际应用练习题含答案解析

PAGE15第四单元三角形第21课时锐角三角函数及其实际应用eq\a\vs4\al(点对点·课时内考点巩固)15分钟1.(2019天津)2sin60°的值等于()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D.22.(2019河北)如图，从点C观测点D的仰角是()A.∠DABB.∠DCEC.∠DCAD.∠ADC第2题图3.(北师九下P4第1题改编)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则tanA的值为()A.eq\f(5,13)B.eq\f(12,13)C.eq\f(5,12)D.eq\f(12,5)4.(2019宜昌)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)第4题图5.(2019温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为()A.eq\f(9,5sinα)米B.eq\f(9,5cosα)米C.eq\f(5,9sinα)米D.eq\f(5,5cosα)米第5题图(2019赤峰)如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为________m．(参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78)第6题图eq\a\vs4\al(点对线·板块内考点衔接)45分钟1.如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的点C处，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)第1题图2.(2019菏泽)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里．再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．第2题图3.(全国视野创新题推荐·2019兰州)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图①是某住户窗户上方安装的遮阳篷，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．第3题图方案设计：如图②，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD.数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大(∠ADC＝77.44°)；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小(∠BDC＝30.56°)；窗户的高度AB＝2m.问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长．(结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49)4.(2019河南)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，eq\r(3)≈1.73)第4题图5.如图，某数学兴趣小组为测量教学楼CD的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得教学楼顶端D的仰角∠DEG为30°，再向前走20米到达B处，又测得教学楼顶端D的仰角∠DFG为60°，A、B、C三点在同一水平线上，求教学楼CD的高(结果保留根号)．第5题图6.为了测量休闲凉亭AB的高度，某数学兴趣小组在水平地面D处竖直放置一个标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B、E、D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到凉亭顶端A，在F处测得凉亭顶端A的仰角为30°，平面镜E的俯角为45°，FD＝2米，求休闲凉亭AB的高度．(结果保留根号)第6题图7.(2019邵阳)某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．(结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)第7题图8.(2019甘肃省卷)如图①是放置在水平桌面上的台灯，图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°；CD可以绕点C上下调节一定的角度，使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？(参考数据：eq\r(3)取1.73)第8题图9.(2019西安交大附中模拟)如图，在坡顶B处的同一水平面上有一座纪念碑CD垂直于水平面，小明在斜坡底A处测得该纪念碑顶部D的仰角为45°，然后他沿着坡比i＝5∶12的斜坡AB攀行了39米到达坡顶，在坡顶B处又测得该纪念碑顶部的仰角为68°，求纪念碑CD的高度．(结果精确到1米，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5)第9题图参考答案第21课时锐角三角函数及其实际应用点对点·课时内考点巩固1.C【解析】2sin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).2.B【解析】∵在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，∴从点C观测点D的仰角为∠DCE.3.D【解析】根据勾股定理可得：BC＝eq\r(AB2－AC2)＝12,∴tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(12,5).4.A【解析】如解图，取格点D，连接DC，在Rt△ACD中，AD＝3，CD＝4，tan∠BAC＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(4,3).第4题解图5.B【解析】如解图，过点A作AD⊥BC于点D，由轴对称性质可知，BC＝3＋0.3×2＝3.6m，∴BD＝1.8m，∵cosα＝eq\f(BD,AB)，∴AB＝eq\f(BD,cosα)＝eq\f(1.8,cosα)＝eq\f(9,5cosα).第5题解图6.8.1【解析】如解图，已知∠ACB＝90°，∠BAC＝38°，BC＝3.1m，则sin∠BAC＝eq\f(BC,AB)，∴AB＝eq\f(BC,sin∠BAC)≈eq\f(3.1,0.62)＝5(m)，故木杆折断之前的高度约为8.1m.第6题解图点对线·板块内考点衔接1.解：如解图，过D作DE⊥AB于点E，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°.∴∠ADE＝53°.∵BC＝DE＝6m，∴AE＝DE·tan53°≈6×1.33＝7.98m.∴AB＝AE＋BE＝AE＋CD≈7.98＋1.5≈9.5m.答：旗杆AB的高度约为9.5m.第1题解图2.解：如解图，过点B作BD⊥AC于点D，设BC为x海里，∵在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴DC＝BD＝eq\f(\r(2)x,2).∵A处测得小岛B位于它的北偏东30°方向，∴∠BAD＝60°.∵sin∠BAD＝eq\f(BD,AB)，∴sin60°＝eq\f(\f(\r(2)x,2),80)，解得x＝40eq\r(6).答：此时航母与小岛的距离BC的长为40eq\r(6)海里．第2题解图3.解：设CD＝xm，在Rt△CDB中，∠BDC＝30.56°，∴BC＝CD·tan∠BDC＝xtan30.56°.在Rt△ACD中，∠ADC＝77.44°，∴AC＝CD·tan∠ADC＝xtan77.44°.∵AC＝BC＋AB，AB＝2，∴xtan77.44°＝xtan30.56°＋2.解得x≈0.5.∴CD≈0.5.答：遮阳篷CD的长约为0.5m.4.解：在Rt△ACE中，∵∠A＝34°，CE＝55，∴AC＝eq\f(CE,tan34°)≈eq\f(55,0.67)≈82.1m.∴BC＝AC－AB≈82.1－21＝61.1m.在Rt△BCD中，∵∠CBD＝60°，∴CD＝BC·tan60°≈61.1×1.73≈105.7m.∴DE＝CD－CE≈105.7－55≈51m.答：炎帝塑像DE的高度约为51m.5.解：∵∠DFG＝∠DEF＋∠EDF，∠DFG＝60°，∠DEF＝30°，∴∠DEF＝∠FDE＝30°，∴EF＝FD＝20米，在Rt△DFG中，DG＝DF·sin60°＝20×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3)(米)，∵四边形AEGC是矩形，∴CG＝AE＝1.5米，∴CD＝DG＋CG＝(1.5＋10eq\r(3))米．答：教学楼CD的高为(1.5＋10eq\r(3))米．6.解：由题意可得：DF＝BH＝2米，FH＝DB,∵∠HFE＝∠FED＝∠AEB＝45°，∠FDE＝∠AHF＝∠ABD＝90°，∠AFH＝30°，∴∠DFE＝∠FED＝45°，∠AEB＝∠EAB＝45°.∴DE＝DF＝2米，EB＝AB.设休闲凉亭AB的高度为x米，则EB＝AB＝x米，∴FH＝DB＝(x＋2)米，AH＝(x－2)米．在Rt△AFH中，tan∠AFH＝eq\f(AH,FH)，∴eq\f(\r(3),3)＝eq\f(x－2,x＋2)，∴x＝4＋2eq\r(3)，经检验，x＝4＋2eq\r(3)是原分式方程的解，且符合实际．答：休闲凉亭AB的高度为(4＋2eq\r(3))米．7.解：设OB＝OE＝xcm，则OD＝(190＋x)cm，在Rt△ODC中，∠ODC＝30°，∴OC＝eq\f(1,2)OD＝(95＋eq\f(1,2)x)cm，∴BC＝OC－OB＝(95－eq\f(1,2)x)cm，在Rt△ABC中，BC＝AC·tan∠BAC＝40×tan65°，∴95－eq\f(1,2)x＝40×tan65°，解得x≈19.答：OB的长度约为19cm.8.解：如解图，分别过点C、D作CE⊥AB于E、DF⊥AB交AB延长线于点F，作CM⊥DF于点M，则MF＝CE，CM＝EF.在Rt△AEC中，∵∠AEC＝90°，∠CAE＝60°，CA＝40，∴CE＝CA·sin60°＝40×eq\f(\r(3),2)＝20eq\r(3).∴DM＝DF－MF＝DF－CE＝49.6－20eq\r(3).在Rt△CDM中，∵∠CMD＝90°，CD＝30，∴sin∠DCM＝eq\f(DM,CD)＝eq\f(49.6－20\r(3),30)≈eq\f(1,2).∴∠DCM≈30°.∴此时台灯光线最佳．第8题解图9.解：如解图，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，延长DC交AE于点G.∵i＝tan∠BAF＝5∶12，∴设BF＝5k，则AF＝12k.在Rt△BAF中，由勾股定理