2022年山西省中考数学模拟测评试卷（一模）（学生版+解析版）

2022年山西省中考数学模拟测评试卷（一模）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，

只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）

1.（3分）下列各数中，最小的数为（）

1

A.-1B.0C.-D.1

2

2.（3分）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量.下列

是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

小

中国探火

AC。MEP

中国火箭中国行星探潴

c.CHINAROCKETD.Mars

3.（3分）2022年2月7日，太原市文化和旅游局发布《太原市春节期间文化旅游市场运行

情况》，显示春节期间太原市最受欢迎景区排名前五之一的太原古县城共接待游客13.32

万人次.数据“13.32万”用科学记数法表示为（）

A.13.32X104B.1.332X104C.1.332X1O5D.13.32X1O3

4.（3分）下列运算结果正确的是（）

B.(a+/?)2—a2+b2

C.a3D.(-201b)3=-8a6b3

5.（3分）中国是瓷器的故乡，中国发展史的一个重要组成部分是陶瓷发展史.如图是宋朝

汝窑的一个瓷碗，则它的主视图是（

6.（3分）2022年1月，国家卫健委联合教育部等部门推进实施《综合防控儿童青少年近视

实施方案》，全面摸清近视率底数，强化检测与评估.如表是九年级某班45名同学视力

检查的结果，则这组数据的众数和中位数分别为（）

视力4.14.24.34.44.54.64.74.84.95.0

人数1216548953

A.4.8,4.7B.9,8C.4.8,4.8D.4.7,4.8

7.（3分）如图，直线经过正五边形ABCCE的顶点8,连接AC.若MN〃AC.则N1

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中的第一象限内，△ABC的顶点坐标分别是A（1,2）,

B（1,1）,C（3,1）,以原点O为位似中心，作出△ABC的位似图形△£>£：?若ADEF

与AABC的相似比为2：1.则点尸的坐标为（）

9.（3分）将抛物线y=/-4x-3先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所

得抛物线对应的函数表达式为（）

A.y—x1-4B.y—（x-4）2-10

C.y—（x-4）2-4D.y=x2-10

10.（3分）如图，在Rt^ABC中，NBAC=90°,AB=6,AC=8,。为BC的中点，连接

AD.以点。为圆心，D4长为半径作间V,若力于点E,ON_LAC于点凡则图中

阴影部分的面积为（)

2525

A.一nB.—71—24C.—71—12D.--7T—6

4444

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分。请将答案直接写在答题卡相应的

位置）

11.（3分）计算：V8+V18=.

12.（3分）已知点4（xi,yi）,B（X2,”）都在反比例函数y=，（m〈0）的图象上，若xi

<%2<0,则yi与"的大小关系为.

13.（3分）如图是一组有规律的图案.第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个

六边形，第3个图案中有19个六边形……按此规律，第n个图案中有个八边

形.（用含〃的代数式表示）

/一

第1个第2个第3个

14.（3分）2021年7月29日，山西省政府新闻办举行新闻发布会，2020年山西省教育经

费支出首次突破700亿元，达到733.4亿元，成为继社会保障支出后的第二大支出.据有

关资料显示，2018年山西省教育经费支出为668.96亿元.若2019,2020这两年山西省

教育经费支出的年平均增长率相同，求这两年的年平均增长率，若设这两年的年平均增

长率为x,则根据题意，可列方程为.

15.（3分）如图，在菱形ABCO中，ZB=60°,AB=4,E,尸分别是边48,8C上的点.将

△EBF沿E尸折叠，使点B的对应点B,落在边A。上.若AE=A£,则CF的长为.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.(10分)(1)计算：(—3—2)x(-$2-(―$-2+；

42

⑵下面是小祺同学化简分式工一有的过程，请仔细阅读并完成相应的任务.

4(a+l)

解:原式=2(。一1)第一步

(a—l)(a+l)(a-l)(a+l)

=4(a+1)-2(a-1)……第二步

=4a+4-2a+2……第三步

=2a+6……第四步

任务一：①以上求解过程中，第一步的依据是

②小祺同学的求解过程从第步开始出现错误，错误的原因是

任务二：请你写出正确的化简过程.

17.（7分）如图，四边形A8CD为矩形，AC为对角线，过点。作OELAC于点E.

（1）尺规作图：过点B作力E的平行线，交AC于点尸.（要求：标明相应字母，保留作

图痕迹不写作法）

（2）在（1）的条件下，求证：DE=BF.

D

18.（8分）春节前夕，习近平总书记赴山西慰问基层干部群众.1月26日下午，习近平总

书记在霍州市师庄乡冯南垣村同村民一起揉花馍，花馍将销往全国各地.临近年关，某

商店决定购进一批花馍，已知甲种花馍每件的进价比乙种花馍每件的进价少6元，花180

元购买甲种花馍的件数与花240元购买乙种花馍的件数相等.

（1）求甲、乙两种花馍每件的进价.

（2）由于畅销，第一批购进的花馍已经售馨，现该商店决定用4000元再购进一批甲、

乙两种花馍共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种花馍在第一批进价的基础上9折

销售，而乙种花馍比第一批进价提高了5%,则最多可购买乙种花馍多少件？

19.（10分）第24届冬季奥林匹克运动会（简称“冬奥会”）于2022年2月4日在北京开

幕，本届冬奥会设7个大项、15个分项、109个小项，在全国掀起了冰雪运动的热潮.某

校组织了关于冬奥知识竞答活动，随机抽取了七年级若干名同学的成绩，并整理成如下

不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：

若干名同学的成绩频数分布表

分组频数

60cx<4

70

70cx<12

80

80cxW16

90

90<xW

100

请根据图表信息，解答下列问题：

（1）本次知识竞答共抽取七年级同学名；在扇形统计图中，成绩在“90<xW

100”这一组所对应的扇形圆心角的度数为

（2）请将频数分布直方图补充完整.

（3）将此次竞答活动成绩在“80<xW90”的记为良好，在“90<xW100”的记为优秀.已

知该校初、高中共有学生2400名，小敏根据七年级此次竞答活动的结果，估计该校初、

高中学生中对冬奥知识掌握情况达到良好或优秀的人数约为：2400X（40%+20%）=

1440.请你分析她的估计是否合理，并说明理由.

（4）该校计划对此次竞答活动成绩最高的小颖同学：奖励两枚“2022•北京冬梦之约”

的邮票.现有如图所示“2022•北京冬梦之约”的四枚邮票供小颖选择，依次记为A,B,

C,D,背面完全相同.将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放

回，再从中随机抽取一枚.请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰

好是8（冰墩墩）和C（雪容融）的概率.

BE1晔女4

1.20［温腾

ABD

20.(8分)阅读与思考

请仔细阅读材料•，并完成相应的任务.

利用数学知识求电阻的阻值

数学和物理的关系十分密切，数学是表达物理概念、定律简明而准确的语言，同时，数

学为物理提供了计量、计算的工具和方法.

例如：已知两个电阻R和&串联后的总电阻为7Q,并联后的总电阻为*1,求这两个电

阻的阻值各是多少.

根据串联电路中电阻之间的关系，得RI+R2=7.①

根据并联电路中电阻之间的关系，得:•+}=笑等=；.②

R1R2R1R26

把①代入②，得RIR2=6.③

以上问题也可以通过以下两种数学方法求解.

方法1：设R1的阻值为x,则R2的阻值为7-x.根据③可将问题转化为x(7-x)=6

是否有正数解的问题.

方法2：设两个电阻的阻值分别为x和y,则根据①，得尤+y=7.根据③，得孙=6.所

以同时满足要求的正数x和}，的值可以看成反比例函数)=9的图象与一次函数y=-x+7

的图象在第一象限内的交点坐标(x,y).

任务：

(1)已知两个电阳R和&串联后的总电阻为10C,并联后的总电阻为蔡C,请你借助

“方法1”，求这两个电阻的阻值各是多少.

3

(2)是否存在两个电阻R1和/?2,使串联后的总电阻为4C,并联后的总电阻为R1?

小明借助“方法2”解答如下：

假设存在.设这两个电阻的阻值分别为x和

根据①，得x+y=.

根据③，得盯=.

在如图所示的直角坐标系中，小明分别画出了满足条件的反比例函数y=q和一次函数y

--x+4的图象.

观察图象可知，（填“存在”或“不存在”）满足条件的两个电阻.

21.（7分）2021年是中北大学建校80周年，某校“综合与实践”小组的同学来到中北大学

参观学习，他们在德怀楼前的广场上参观了彭德怀元帅的雕像（如图1）,并计划测量“彭

德怀元帅雕像”的高度.他们制定了测量方案并完成了实地测量.如图2,该小组同学在

点C处用测角仪（高度不计）测得该雕像顶端A的仰角,向雕像的另一侧

前进95〃到达点。处，再次测得该雕像顶端A的仰角/AGN=45°.已知该同学的眼

晴到地面的距离为1.5m请根据上述测量数据，求彭德怀元帅雕像的高度.（结果精确到

0.1m；参考数据：sin61°=0.87,cos610七0.48,tan61°七1.80)

图1图2

22.（12分）综合与实践

问题情境：

四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O,F是正方形内一点，NBFC=90°.将

△BFC绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到△OEC,点B,F的对应点分别为点D,E,

直线EF经过点0.

特例分析：

（1）如图1,当点F与点。重合时，判断四边形CEDF的形状，请说明理由，并直接写

出EF与OE的数量关系.

深入探究：

（2）如图2,当点尸与点。不重合时，试判断。E,EO,尸0之间的数量关系，并说明

理由.

类比迁移：

（3）如图3,将正方形ABC。改为菱形，对角线4C,8。相交于点0,尸是菱形内一点，

NBFC=90°.将△BFC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△OEC,点8,尸的对应点

分别为点。，E.请直接写出。E,EO,F。之间的数量关系.

23.（13分）综合与探究

如图，抛物线y=-#+法+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点8,C的坐标

分别为（2,0）,（0,3）,点。与点C关于x轴对称，尸是直线AC上方抛物线上一动点,

连接P。、交AC于点Q.

(1)求抛物线的函数表达式及点A的坐标；

(2)在点尸运动的过程中，求尸。：OQ的最大值；

(3)在y轴上是不存在点M,使/AM8=45°?若存在，请直接写出点M的坐标；若

不存在，请说明理由.

2022年山西省中考数学模拟测评试卷（一模）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，

只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）

1.（3分）下列各数中，最小的数为（）

1

A.-1B.0C.-D.1

2

【解答】解：•••-<1,

...所给的各数中，最小的数为-1.

故选：A.

2.（3分）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量.下列

是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

绷

中国探火中9国探月

ACMEPB.cp

6

中国火箭中国行星探浦

c.CHINAROCKETD.Mars

【解答】解：选项A、B、。均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和

原图形完全重合，所以不是中心对称图形，

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是

中心对称图形，

故选：C.

3.（3分）2022年2月7日，太原市文化和旅游局发布《太原市春节期间文化旅游市场运行

情况》，显示春节期间太原市最受欢迎景区排名前五之一的太原古县城共接待游客13.32

万人次.数据“13.32万”用科学记数法表示为（）

A.13.32X104B.1.332X104C.1.332X1O5D.13.32XIO3

【解答】解：13.32万=133200=1.332X1()5,

故选：C.

4.(3分)下列运算结果正确的是()

A.a2+a4=a6B.(<?+/>)2=a2+b1

C.-c^-i-a2--a3D.(-22b)3=-Sa6b3

【解答】解：4因为。2与不是同类项不能合并，所以A选项运算错误，故A选项不

符合题意；

B.因为(a+b)2—a2+2ab+b2,所以8选项运算错误，故8选项不符合题意；

C.因为-小匕=-/,所以c选项运算错误，故C选项不符合题意；

D.因为(-2/m3=-6b3,所以。选项运算正确，故。选项符合题意.

故选：D.

5.(3分)中国是瓷器的故乡，中国发展史的一个重要组成部分是陶瓷发展史.如图是宋朝

汝窑的一个瓷碗，则它的主视图是()

A.」

c寸

【解答】解：从正面看，可得图形如下:

故选：A.

6.（3分）2022年1月，国家卫健委联合教育部等部门推进实施《综合防控儿童青少年近视

实施方案》，全面摸清近视率底数，强化检测与评估.如表是九年级某班45名同学视力

检查的结果，则这组数据的众数和中位数分别为（）

视力4.14.24.34.44.54.64.74.84.95.05.1

人数12165489531

A.4.8,4.7B.9,8C.4.8,4.8D.4.7,4.8

【解答】解：在这一组数据中4.8是出现次数最多的，故众数是4.8.

而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是4.7,

那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是4.7.

故选：A.

7.（3分）如图，直线经过正五边形ABCCE的顶点8,连接AC.若MN〃AC.则N1

的度数为（）

A.46°B.36°C.30°D.26°

【解答】解：由题意得：ZABC=安』08。，

\'BC=BAf

o

：.ZBAC=ZBCA=I'。7。'=36f

9：MN//AC,

：.Z\=ZBAC=36°.

故选:B.

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中的第一象限内，△48C的顶点坐标分别是A（1,2）,

B（1,1）,C（3,1）,以原点O为位似中心，作出△ABC的位似图形△£>£：/<若ADEF

与△4BC的相似比为2：1.则点尸的坐标为（）

C.(6,2)D.(7,2)

【解答】解：:△4BC与△OEF位似.△£）£■尸与△ABC的相似比为2：1,

二△ABC与△QEF位似比为1：2,

:点C的坐标为（3,1）,

.♦.点尸的坐标为（3X2,1X2）,即（6,2）,

故选：C.

9.（3分）将抛物线y=7-4x-3先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所

得抛物线对应的函数表达式为（）

A.y=7-4B.尸(x-4)2-10

C.y=(x-4)2-4D.y=/-10

【解答】解：y=f-4x-3=(x-2)2-7,

当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得》=（x-2+2）2-7+3,即》=

故选：A.

10.（3分）如图，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,。为8c的中点，连接

AD.以点。为圆心，D4长为半径作而V,若于点E,ONLAC于点F,则图中

阴影部分的面积为（）

2525

A.-71B.—7T—24C.——71—12D.-n—6

4444

【解答】解:VZBAC=90°,AB=6,AC=8,

BC=>JAB2+AC2=10,

•・,。为8C的中点,

1

：.AD=^BC=5,

9：DMLAB,DN1.AC,ZBAC=90°,

・・・四边形AEQF是矩形，

：.DE//ACfDF//AB,4MDN=90°,

：.DE=^AC=4fDF=%B=3,

••・阴影部分的面积为C——4X3=竽TT72,

3604

故选：C.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分。请将答案直接写在答题卡相应的

位置）

11.（3分）计算：V8+718=5V2.

【解答】解：原式=2a+3在=5e.

故答案为：5夜.

12.（3分）已知点4（xi,>'i）,B（x2,y2）都在反比例函数y=£（mV0）的图象上，若xi

<X2<0,则VI与V2的大小关系为yi<v2.

【解答】解：由于点ACxi,yi）,B（必*）都在反比例函数y=f（mVO）的图象上,

且Xl<X2<0,

由在第二象限内，），随X的增大而增大可得，

yi<y2.

故答案为：yi<”.

13.（3分）如图是一组有规律的图案.第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个

六边形，第3个图案中有19个六边形……按此规律，第〃个图案中有（6"+1）个

八边形.（用含〃的代数式表示）

第2个图案中六边形有6X2+1=13个;

第3个图案中六边形有6X3+1=19个;

所以第〃个图案中六边形有（6〃+1）个.

故答案为：（6〃+1）个.

14.（3分）2021年7月29日，山西省政府新闻办举行新闻发布会，2020年山西省教育经

费支出首次突破700亿元，达到733.4亿元，成为继社会保障支出后的第二大支出.据有

关资料显示，2018年山西省教育经费支出为668.96亿元.若2019,2020这两年山西省

教育经费支出的年平均增长率相同，求这两年的年平均增长率，若设这两年的年平均增

长率为x,则根据题意，可列方程为668.96（1+x）2=733.4.

【解答】解：根据题意,可列方程为：668.96（1+x）2=733.4,

故答案为：668.96（1+x）2=733.4.

15.（3分）如图，在菱形ABCD中，ZB=60°,AB=4,E,F分别是边AB,8C上的点.将

△EBF沿EF折叠,使点3的对应点B,落在边AO上.若AE=AB，，则CF的长为4-

2V3_.

【解答】解：在菱形A8CD中，ZB=60°,BC=AB=4,AD//BC,

：.ZBAD=\20°,

如图，过点A作AGLEB'于点G,APL8C于点P,过点8,QL8C于点Q,

得矩形APQ),

APQ=AB',B'Q=AP,

"：AE=AB',AG.LEB',

：.EG=B'G=痴'，ZA£G=30°,

由翻折可知：BE=B'E,BF=B'F,

：.BE=B'E=AB-AE=4-AE,

1

：.EG=B'G=»(4-/IE),

VEG=AE»cos30°,

A1(4-AE)=例£

解得AE=26-2,

：.PQ=AB'=AE=2V3-2,

在Rt/VWP中，ZB=60°,AB=4,

1

：.BP=^AB=2,

:.AP=2显,

：.B'Q=AP=2->/3,

:.CF=BC-BF=4-BF,

QF=BF-BP-PQ=BF-2-(273-2)=BF-2®

在Q/中，根据勾股定理，得：

B'(^+QF2=B'产，

二(2V3)2+(BF-2V3)2=8产，

解得8F=2遮，

.\CF=4-BF=4-2V3.

故答案为：4-2百.

三、解答题(本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(10分)(1)计算：(—3—2)x(—^)2—■="23；

42

⑵下面是小祺同学化简分式工一方的过程,请仔细阅读并完成相应的任务.

4(Q+1)2(1)

解:原式=。-第一步

(。一1)(。+1)(a-l)(a+l)

=4(a+1)-2(a-1)……第二步

=4。+4-2a+2第三步

=2(7+6......第四步

任务一：①以上求解过程中，第一步的依据是分式的基本性质：

②小祺同学的求解过程从第二步开始出现错误,错误的原因是丢掉分母.

任务二：请你写出正确的化简过程.

【解答】解：⑴原式=(-5)x会一4+8

=---4------1

52

13

=-10;

(2)任务一：①以上求解过程中，第一步的依据是分式的基本性质；

②小祺同学的求解过程从第二步开始出现错误，错误的原因是丢掉分母；

仟务一..式—4(a+l)_______2(a-l)

1士力一,际八一(a+l)(a-l)(a+l)(a-l)

_4a+4—2a+2

(a+l)(a—1)

_2a+6

-(a+l)(a-l)

_2a+6

二目.

故答案为：①分式的基本性质；②二、丢掉分母.

17.(7分)如图，四边形48CD为矩形，AC为对角线，过点。作CELAC于点E.

(1)尺规作图：过点8作。E的平行线，交AC于点立(要求：标明相应字母，保留作

图痕迹不写作法)

(2)在(1)的条件下，求证：DE=BF.

【解答】⑴解:如图，B尸即为所求;

(2)证明：I•四边形ABCC是矩形,

:.ZXABC和△ADC的面积相等，

'：DE±AC,BF±AC,

:*DE=BF.

18.（8分）春节前夕，习近平总书记赴山西慰问基层干部群众.1月26日下午，习近平总

书记在霍州市师庄乡冯南垣村同村民一起揉花馍，花馍将销往全国各地.临近年关，某

商店决定购进一批花馍，已知甲种花馍每件的进价比乙种花馍每件的进价少6元，花180

元购买甲种花馍的件数与花240元购买乙种花馍的件数相等.

（1）求甲、乙两种花馍每件的进价.

（2）由于畅销，第一批购进的花馍已经售馨，现该商店决定用4000元再购进一批甲、

乙两种花馍共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种花馍在第一批进价的基础上9折

销售，而乙种花馍比第一批进价提高了5%,则最多可购买乙种花馍多少件？

【解答】解：（1）设甲种花馍每件的进价为x元，则乙种花馍每件的进价为（x+6）元,

180240

由题意得：一,

Xx+6

解得：X—18,

经检验，x=18是原方程的解，且符合题意，

贝I」x+6=24,

答：甲种花馍每件的进价为18元，则乙种花馍每件的进价为24元；

（2）设购买乙种花馍a件，则购买甲种花馍（200-“）件，

由题意得：24“（1+5%）+18X90%X（200-a）W4000,

4

解得：“W84-,

9

•・"为正整数，

：.a的最大值为84,

答：最多可购买乙种花馍84件.

19.（10分）第24届冬季奥林匹克运动会（简称“冬奥会”）于2022年2月4日在北京开

幕，本届冬奥会设7个大项、15个分项、109个小项，在全国掀起了冰雪运动的热潮.某

校组织了关于冬奥知识竞答活动，随机抽取了七年级若干名同学的成绩，并整理成如下

不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：

若干名同学的成绩频数分布表

分组频数

60cxW4

70

70cxW12

80

80cxW16

90

90cxW

100

(1)本次知识竞答共抽取七年级同学40名；在扇形统计图中，成绩在“90<xW100”

这一组所对应的扇形圆心角的度数为72°.

(2)请将频数分布直方图补充完整.

(3)将此次竞答活动成绩在“80<xW90”的记为良好，在"90<x<100”的记为优秀.已

知该校初、高中共有学生2400名，小敏根据七年级此次竞答活动的结果，估计该校初、

高中学生中对冬奥知识掌握情况达到良好或优秀的人数约为：2400X(40%+20%)=

1440.请你分析她的估计是否合理，并说明理由.

(4)该校计划对此次竞答活动成绩最高的小颖同学：奖励两枚“2022•北京冬梦之约”

的邮票.现有如图所示“2022•北京冬梦之约”的四枚邮票供小颖选择，依次记为A,B,

C,D,背面完全相同.将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放

回，再从中随机抽取一枚.请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰

好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率.

ABCD

【解答】解：（1）本次知识竞答共抽取七年级同学为：12+30%=40（名），

则在扇形统计图中，成绩在“90VxW100”这一组的人数为：40-4-12-16=8（名）,

在扇形统计图中，成绩在“90＜后100”这一组所对应的扇形圆心角的度数为：360°x

A。，

故答案为：40,72；

因为初、高中学生对奥运知识的掌握程度不同，该校七年级学生对奥运知识掌握的程度

不能代表全校学生，所以根据七年级竞答活动的结果，估计全校学生中奥运知识掌握情

况达到优秀等级的人数不合理.

（4）画树状图如下：

开始

ABCD

/N/1\71\/N

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容

融）的结果有2种，

21

，小颖同学抽到的两枚邮票恰好是8（冰墩墩）和C（雪容融）的概率为一=

126

20.（8分）阅读与思考

请仔细阅读材料，并完成相应的任务.

利用数学知识求电阻的阻值

数学和物理的关系十分密切，数学是表达物理概念、定律简明而准确的语言，同时，数

学为物理提供了计量、计算的工具和方法.

6

例如：已知两个电阻网和冷串联后的总电阻为7。，并联后的总电阻为求这两个电

阻的阻值各是多少.

根据串联电路中电阻之间的关系，得RI+/?2=7.①

根据并联电路中电阻之间的关系，得｝+==?誓=].②

RiR2R1R26

把①代入②，得RIR2=6.③

以上问题也可以通过以下两种数学方法求解.

方法1：设R的阻值为x,则R1的阻值为7-x.根据③可将问题转化为x（7-x）=6

是否有正数解的问题.

方法2：设两个电阻的阻值分别为x和y,则根据①，得x+），=7.根据③，得孙=6.所

以同时满足要求的正数x和y的值可以看成反比例函数），=?的图象与一次函数y=-x+7

的图象在第一象限内的交点坐标（x,y）.

任务：

（1）已知两个电阳R和&串联后的总电阻为10C,并联后的总电阻为蔡C,请你借助

“方法1”，求这两个电阻的阻值各是多少.

3

（2）是否存在两个电阻砧和/?2,使串联后的总电阻为4C,并联后的总电阻为5。？

小明借助“方法2”解答如下：

假设存在.设这两个电阻的阻值分别为x和

根据①，得x+v=4.

8

根据③，得xv=、.

在如图所示的直角坐标系中，小明分别画出了满足条件的反比例函数），=2和一次函数y

=-x+4的图象.

观察图象可知，不存在（填“存在”或“不存在”）满足条件的两个电阻.

得xy=24,将x+y=10代入,

得x(10-x)=24,

解方程得x—4或x—6,

,这两个电阻的阻值分别为：4。和6C.

(2)设Ri=x,则&=y,

根据题意得｛:;24,

求解x和y的过程即为求一次函数），=-x+4与反比例函数y=（的交点问题，

根据图象可知，两函数没有交点，

...不存在满足条件的两个电阻.

故答案为：4,6,不存在.

21.（7分）2021年是中北大学建校80周年，某校“综合与实践”小组的同学来到中北大学

参观学习，他们在德怀楼前的广场上参观了彭德怀元帅的雕像（如图I）,并计划测量“彭

德怀元帅雕像”的高度.他们制定了测量方案并完成了实地测量.如图2,该小组同学在

点C处用测角仪（高度不计）测得该雕像顶端A的仰角,向雕像的另一侧

前进9.5m到达点D处，再次测得该雕像顶端A的仰角NAGN=45°.已知该同学的眼

晴到地面的距离为1.5〃?，请根据上述测量数据，求彭德怀元帅雕像的高度.（结果精确到

0.1m；参考数据:sin61"«=0.87,cos61°-0.48,tan61°七1.80）

图1图2

【解答】解：连接MN,过点A作垂足为8,

：.EG=CD=9,5（加），

设AB=xm,

在RtZ\ABG中，NAGB=45°,

.48x

•-8G=i^55=l=xm'

在RtaABE中，/AEB=61°,

■:EB+BG=EG,

5

.•.r+x=9.5,

9

解得:x=6.11,

：.AB=6A1(M,

A6.11+1.5^7.6(m),

,彭德怀元帅雕像的高度为76m.

22.(12分)综合与实践

问题情境：

四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点尸是正方形内一点，/BFC=90°.将

△BFC绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到△CEC,点、B,F的对应点分别为点D,E,

直线EF经过点0.

特例分析：

(1)如图1,当点尸与点。重合时，判断四边形CE。尸的形状，请说明理由，并直接写

出EF与。E的数量关系.

深入探究：

(2)如图2,当点尸与点。不重合时，试判断OE,EO,F0之间的数量关系，并说明

理由.

类比迁移：

(3)如图3,将正方形ABCQ改为菱形，对角线AC,8。相交于点。，尸是菱形内一点，

N8FC=90°.将△8FC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△£>£(7,点B,尸的对应点

分别为点。，E.请直接写tHDE,EO,FO之间的数量关系.

—

BCHCB

图1图2图3

【解答】解：(1)四边形CE。尸是正方形，理由如下,

•.•四边形ABC。是正方形,

：.AC±BD,BO=CO=DO,BC=CD,ZBCD=W°,

:将△8FC绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到△DEC,

：.CO=CE,BO=DE,

：.CO=DO=CE=DE,

四边形CODE是菱形，

又..mo,

四边形CODE是正方形，

即四边形CED尸是正方形，

:.EF=V2