2022年湖南省怀化市铁路第二中学高三数学理月考试卷含解析

2022年湖南省怀化市铁路第二中学高三数学理月考试

卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则

不同的站法共有()

A.66种B.6()种C.36种D.24种

参考答案：

C

略

2已知数列｛aj中,a2=102,anu-a,.=4n,则数列n的最小项是()

A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项

参考答案：

B

【考点】数列递推式.

【专题】综合题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列.

%

【分析】由已知条件利用累加法求出心二2n2-2n+98,得到京，然后利用基本不等式求得

数列卜三｝的最小项.

【解答】解：..•数列｛&)中，a2=102,an+i-an=4n,

/.an-an-i=4(n-1),

a4-a3=4X3,

as-a,2=4X2,

以上等式相加，得

a-a2=4X2+4X3+・・・+4X(n-1)

=4(2+3+…+n-1)

=2(n+1)(n-2).

/.afl=2n"-2n+98.

%98

...n=2n+n-2-2=26,

98

当且仅当T=2n,即n=7时，等式成立.

.

.•.数列｛n｝的最小项是第7项.

故选：B.

【点评】本题考查数列的最小项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法和均

值不等式的合理运用.

3.设两条不同直线机、〃和两个不同平面a,P,msnj。,有两个命题〃：若

田1力，则叫1〃；/若=叫，n\\a,则叫|〃.那么（）

（A）“〃v夕”为假（B）“。八夕”为真

（C）“射为假⑴）“夕人9”为真

参考答案：

D

略

（x+|y|<l_,

4.己知。为坐标原点，人】，2）,点Rrj）满足约束条件fx>0,则赢?质的最大值为

（）

A.-2B.-1C.1

D.2

参考答案：

【知识点】平面向量数量积的运算.F3

（x+|y|<l

【答案解析】D解析：由于点P（x,y）满足约束条件1x>0，画出可行域.

..1z

设P(x,y).则Z=示?i?=x+2y,化为y=-2x+2

当此直线经过点M(0,1)时，Z取得最大值=0+1X2=2.

；.Z=示?而的最大值为2.故选：D.

(x+|y|<l

【思路点拨】由于点P(x,y)满足约束条件1K>0,画出可行域.设P(x,

1.Z.--

y).可得Z=0A?0%x+2y,化为y=-2x+2,当此直线经过点M(0,1)时，Z取得最大

值.

5,若集合<x<3).X-(/|jr-x,+I.XWR).则集合

A.(-2,+8)B.(-2,3)C.[1J)

D.R

参考答案：

C

6.如果向量£(1，2),b=(4,3),那么等于之-2E()

A.(9,8)B.(-7,-4)C.(7,4)D.(-9,-8)

参考答案:

B

【考点】平面向量的坐标运算.

【分析】根据向量的坐标的运算法则计算即可.

【解答】解：向量；=(1，2),5=(4,3),

则于a-2b=(1,2)-2(4,3)=(1,2)-(8,6)=(1-8,2-6)=(-7,-

4),

故选：B.

-x1+2x(x>0)

/(x)=<0(xsO)

7.已知函数<°)为奇函数，若函数/(x应区间I-L”-2]上单调递

增，则a的取值范围是()

A.(1,3)B,(L3]c.(3,-KO)D.[3.-KO)

参考答案：

B

8.在△ABC中，已知福'*=2=5皿仁$3=6,P为线段AB上的点,

C?=X3+y-2-.则9

且|G41\CB\的最大值为（）

A.3B.4c.5D.6

参考答案：

A

略

9.已知等差数若4一iQq-i,则kJ的前7项的和是（）

A.112B.51C.28D.18

参考答案：

C

（）acosx-iX^O^

10.已知函数/（X）=2C，[x?+2o.x<0（aWR）,若对任意©e[l,+

8）,总存在QGR，使/（M）=g（必），则实数a的取值范围是（）

ATB.（”）

上冲可小加［科

参考答案：

C

【分析】

对a分a=0,a<0和a>0讨论，a>0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即

得实数a的取值范围.

【详解】当“=0时，函数/（X）=21的值域为［1,+8）,函数MH的值域为［0,++8）,

满足题意.

当a<0时，尸,♦加住<8的值域为（2a,+oo），产91sz的值域为m+2,/+2］,

因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2>2a,

所以此时函数g（x）的值域为（2出+8）,

1

由题得2a<1,即a<2,即aV0.

当a>0时，尸/8的值域为（2凡+8）的值域为［z+2,a+2］,

*j^a+241

2.二

当庭3时，-a+2W2〃,由题得I”+2Azi

211

当0<aV1时，-a+2>2a,由题得2a<1,所以a<2.所以0<a<2.

1

综合得a的范围为a<5或1<«<2,

故选C.

【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在

考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11已知㈤-Q°），为-（1，I），"，»=沟+同.若时

则2十"的最小值为

参考答案:

iSUM分析：(K・,可行Mtfl一

个平行四边附及区内部，由直线：•三Y率小T零如且线：♦'il,6(J2)取最大值，卬

mnmn

rr2＞瓠…•(…)引・).加.当q(s.：J^)・94，当且仅当

加•生时取等号

mn

12.(坐标系与参学方程选做题)设M、州分别是曲线9+2sm8=°和

psw(^4—)=—

42上的动点，则M与N的最小距离

是.

参考答案:

点-L

将方程夕+2tine=0和QW+产T化为普通方程"+丁+2＞皿+y=1结

合图形易得M与"的最小距离是为夜-1.

13.给出下列四个命题：

\'3”5尸

cosa------a-lkK+—.Asz

(1)“2”是“6”的必要不充分条件；

ATT._

―,k€2

(2)终边在y轴上的角的集合是｛a|a=2|,

“「万"5开

y=5m(2x——)———

(3)函数-3的一个单调增区间是L1212J.

(4)设/(x)=sm(0x+6,其中0＞0,则“X)是偶函数的充要条件是/(°)=°

(5).为得到函数v少的图像，只需将函数y;51112》的图像向左平移12个长

度单位

其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).

参考答案：

(1).(3).(4).(5)

14.正三棱锥A-BCD内接于球0,且底面边长为出，侧棱长为2,则球0的表面积为

参考答案:

16万

S93

如图3,设三棱锥4-质刀的外接球球心为。,

半径为r,BC=CD=BD-第,AB=AC=AD=2,

WJL平面BCD,〃为正△BCD的中心，则〃生1,力沪0A=0D=r,所以

„216

3-ry+i3,解得忑,所以$='T

15.等边AABC的边长为2,取各边的三等分点并连线，可以将AABC分成如图所示的9个

全等的小正三角形，记这9个小正三角形的重心分别为G,Gz,G3,…，G,则

(Ag+8G])+(J4GJ+BG^)+•••+(力5+BG§)

1=

参考答案：

【知识点】向量的加法及其几何意义A1

6后因为aABC为等边三角形，边长为2

2一/_______

AD=BF=-t\EG\=—且后+/=o|（祠+西）+«阳+顿|二

=吟与+与+?而+初+..+（|同+瓯+梦+西阳54瓯产砧

故答案为6#.

【思路点拨】将所有的向量用力表示出来，再利用等边三角形的三线合一性

质即可求解

16.某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟）分别为x・a10JL9,已知这组数据的平

均数为10,则其方差为.

参考答案：

2

17.函数f（x）=ax2+bx+6满足条件f（-1）=f（3）,则f（2）的值为

参考答案：

6

因为f（.1）=f（3）,a-b+6=9a+3^+6=>/>=-2a,/（2）=4a+2fr+6=6

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.从。。外一点尸向圆引两条切线以、P8和割线RD.从点>1作弦愈平行于⑵，连结

郎交8于尸.求证：BE平分CD.

参考答案:

A.违於OF、OP.OB.

VNtffCD.：./PFB-ZAEB.

VPA.PB是切线.NP(B=/皿

VZPFB-ZPOB.:.0.F.B.P内点箕■.

XV.08P-90.；..OFP-90文坦可知(7—3.

19.如图，AB是。0的一条切线，切点为B,ADE,CFD和CGE都是。。的割线，AC=AB

(1)证明：AC2=AD?AE；

(2)证明：FG〃AC.

参考答案：

【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定.

【专题】选作题；推理和证明.

【分析】（1）利用切线长与割线长的关系及AB=AC进行证明.

（2）利用成比例的线段证明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，从而两直线平

行.

【解答】证明：（1）因为AB是@0的一条切线，AE为割线

所以AB2=AD?AE,

又因为AB=AC,所以AD?AE=AC2-

AD_AC

（2）由（1）得瓦枳.

VZEAC=ZDAC,.•.△ADC^AACE,

/.ZADC=ZACE.

,?ZADC=ZEGF,

.\ZEGF=ZACE,

；.GF〃AC…

【点评】本题考查圆的切线、割线长的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档

题.

20.(本小题满分10分)选修4一4：坐标系与参数方程

x=l

2

在平面直角坐标系咐中，直线］的参数方程为I2为参数).以原点为

极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆。的方程为，=26G・0.

(I)写出直线।的普通方程和圆6的直角坐标方程；

(ID若点尸的直角坐标为0>0),圆c与直线J交于两点,

求IM+I网的值.

参考答案：

(I)消去参数得直线，的普通方程为限+，-6=0,..........2分

由「=25五得圆。的直角坐标方程P+/-2>^/=0.........5分

(II)由直线I的参数方程可知直线过点尸，.........................6分

把直线I的参数方程代入圆c的直角坐标方程/*/2、后/=°,

亍"括）'=3

7分

化简得产-<*1=0,因为A=12>0,

故设是上述方程的两个实数根，所以4+4=4.朽=1...............&分

两点对应的参数分别为U,......................9分

所以I以I"力H川・出1=4+4=4.................io分

21.在1,2,—,7这7个自然数中，任取3个不同的数.

(1)求这3个数中至少有1个是偶数的概率；

(2)设序为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的数

】，2和2,3,此时；的值是2).求随机变量f的分布列及其数学期望Ef.

参考答案：

解：（I）P=1一=一—4分

（口）4的取值为0,1,2

P（4=2）==P（4=1）==P（，=0）=1——=

分布列为

4012

p（'

•4分

彩=——2分

略

22.(12分)(2014?浙江)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知

aWb,c=V3,cos"A-cos"B=V3sinAcosA-VSsinBcosB.

(I)求角C的大小；

4

(II)若sinA=5,求△ABC的面积.

参考答案：

考点：正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦.

专题：解三角形.

分析：(I)4ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得-2sin(A+B)sin(A-B)

=2«?cos(A+B)sin(A-B).

求得tan(A+B)的值，可得A+B的值，从而求得C的值.

4

(H)由sinA=5求得cosA的值.再由正弦定理求得a,再求