集合与常用逻辑用语一元二次函数方程和不等式含解析

第一章集合与常用逻辑用语第二章一元二次函数、方程和不等式(全卷总分值150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(此题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)1.(2021北京东城高一上期末)集合A={-1,0,1},集合B={x∈N|x2=1},那么A∩B=()A.{1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}2.(2021湖北武汉局部高中高一上期末联考)p:a≥0;q:∀x∈R,x2-ax+a>0,那么p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2021北京顺义高一上期末)实数a,b在数轴上对应的点如下图,那么以下式子中正确的选项是()A.1b>1aB.a2>C.b-a>0D.|b|a<|a|b4.(2021陕西宝鸡高三上期末)集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|x-a>0},假设B⊆A,那么实数a的取值范围为()A.a≥2B.a>2C.a≥4D.a>45.(2021山西大学附属中学高一上期中)命题“∃x∈R,使2x2+(a-1)x+12≤0〞是假命题,那么实数a的取值范围是≤a≤1B.-3<a<1C.a≤-1或a≥3D.-1<a<36.(2021浙江嘉兴高一上期末)a>0,b>0,且2a+1b=1,那么2a+b27.(2021全国八省(市)高三上联考)关于x的方程x2+ax+b=0,有以下四个命题:①x=1是该方程的根;②x=3是该方程的根;③该方程两根之和为2;④该方程两根异号.如果只有一个是假命题,那么该命题是()A.①B.②C.③D.④8.(2021浙江丽水五校高一上检测)关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2}(x1<x2),那么以下结论中一定错误的选项是()A.x1+x2=2B.x1x2<-3C.x2-x1>4D.-1<x1<x2<3二、多项选择题(此题共4小题,每题5分,共20分.在每题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,局部选对的得3分)9.(2021福建福州四十中、十中高一上期末联考)以下结论正确的有()A.假设命题p:∃x∈R,x2+x+1<0,那么¬p:∀x∈R,x2+x+1≥0B.不等式x2-4x+5>0的解集为RC.“x>1〞是“(x-1)(x+2)>0〞的充分不必要条件D.∀x∈R,x2=10.(2021重庆育才中学高一上期中)以下不等式中一定成立的是()A.a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R)B.x2+3>2x(x∈R)C.y=x2+2x2-1D.a2+b2≥2(a-b-1)11.(2021福建龙溪高一上期中)设全集U={x|x>0},集合M={x|y=x-1},N={y|y=x2+2},A.M∩N={x|x>2}B.M∪N={x|x>1}C.(∁UM)∪(∁UN)={x|0<x<2}D.(∁UM)∩(∁UN)={x|0<x<1}12.(2021湖南益阳高二上期末)假设a>0,b>0,且a+b=4,那么以下不等式成立的是()A.ab≤2B.a2+b2≥8C.1a+1b≥1D.0<1三、填空题(此题共4小题,每题5分,共20分)13.(2021上海洋泾中学高一上期中)关于x的不等式组x2-2x-814.(2021山东烟台高一上期中)假设一个集合是另一个集合的子集,那么称两个集合构成“鲸吞〞;假设两个集合有公共元素,且互不为对方的子集,那么称两个集合构成“蚕食〞.集合A={-1,2},B={x|ax2=2,a≥0},假设这两个集合构成“鲸吞〞或“蚕食〞,那么a的取值集合为.

15.(2021四川成都树德中学高二阶段性测试)假设关于x的不等式ax2>-ax-1对任意实数x都成立,那么实数a的取值范围是.

16.(2021湖北荆州沙市中学高一上期中)正数x,y满足2x+y=xy+a,当a=0时,x+y的最小值为;当a=-2时,x+y的最小值为.(第一空2分,第二空3分)

四、解答题(此题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2021广东深圳高一上期中)集合A={x|a<x<a+1},B={x||x+1|≤1}.(1)假设a=1,求A∪B;(2)在①A∪B=B,②(∁RB)∩A=⌀,③B∪(∁RA)=R这三个条件中任选一个作为条件,求实数a的取值范围.(注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分)18.(12分)(2021重庆彭水第一中学高一上期中)命题p:“∃x∈R,使不等式x2-2x-m≤0成立〞是假命题.(1)求实数m的取值集合A;(2)假设q:-4<m-a<4是¬p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.19.(12分)(2021内蒙古包头高一下期末)x>y>0,z>0,求证:(1)zx<z(2)(x+y)(x+z)(y+z)>8xyz.20.(12分)(2021山东青岛高一上期中)(1)假设关于x的不等式ax2-3x+2>0(a∈R)的解集为{x|x<1或x>b},求a,b的值;(2)解关于x的不等式ax2-3x+2>5-ax(a∈R).21.(12分)(2021北京丰台高三上期中)国家开展改革委、住房城乡建设部于2021年发布了?生活垃圾分类制度实施方案?,规定46个城市在2021年年底实施生活垃圾强制分类,垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2021年年底,这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.某企业为积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的工程.该企业日加工处理量x(单位:吨)最少为70吨,最多为100吨.日加工处理总本钱y(单位:元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元(1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均本钱最低?此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态?(2)为了使该企业可持续开展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方案共有两种:①每日进行定额财政补贴,金额为2300元;②根据日加工处理量进行财政补贴,金额为30x.如果你是企业的决策者,为了获得最大利润,你会选择哪种补贴方案?为什么?22.(12分)(2021山东潍坊安丘实验中学、青云学府高一上联考)关于x的不等式(k2-2k-3)x2+(k+1)x+1>0(k∈R)的解集为M.(1)假设M=R,求k的取值范围;(2)假设存在两个不相等的负实数a、b,使得M={x|x<a或x>b},求实数k的取值范围;(3)是否存在实数k,满足“对于任意n∈N*,都有n∈M,对于任意的负整数m,都有m∉M〞?假设存在,求出k的值;假设不存在,说明理由.答案全解全析1.A由题意,集合A={-1,0,1},B={x∈N|x2=1}={1},所以A∩B={1}.应选A.2.B∵q:∀x∈R,x2-ax+a>0,∴Δ=(-a)2-4a<0,解得0<a<4.设A={a|a≥0},B={a|0<a<4},∵B⫋A,∴p是q的必要不充分条件.应选B.3.A对于选项A,由题中数轴可得b<a<0,不等号两边同乘1ab,可得1b>1a对于选项B,∵b<a<0,∴a2<b2,B错误;对于选项C,∵b<a,∴b-a<0,C错误;对于选项D,∵b<0,a<0,∴|b|a=-ab,|a|b=-ab,即|b|a=|a|b,D错误.应选A.4.A易得A={x|x>2或x<-4},因为B={x|x>a},所以假设B⊆A,那么a≥2.应选A.5.D∵命题“∃x∈R,使2x2+(a-1)x+12≤0〞是假命题∴2x2+(a-1)x+12>0对x∈R恒成立,即方程2x2+(a-1)x+12=0∴Δ=(a-1)2-4×2×12<0,解得-1<a<3,故实数a的取值范围是-1<a<3应选D.6.D2a+b=2a+b2a+1当且仅当ab=1,2a∴2a+b的最小值为9应选D.7.A假设①是假命题,那么②③④是真命题,那么关于x的方程x2+ax+b=0的一根为3,由于两根之和为2,那么该方程的另一根为-1,两根异号,符合题意;假设②是假命题,那么①③④是真命题,那么x=1是方程x2+ax+b=0的一个根,由于两根之和为2,那么另一个根也为1,两根同号,不符合题意;假设③是假命题,那么①②④是真命题,那么关于x的方程x2+ax+b=0的两根为1和3,两根同号,不符合题意;假设④是假命题,那么①②③是真命题,那么关于x的方程x2+ax+b=0的两根为1和3,两根之和为4,不符合题意.综上所述,命题①为假命题.应选A.8.D由不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2}(x1<x2),可知a<0,且a(x+1)(x-3)+1=0(a≠0)的两根为x1、x2,不妨设y=a(x+1)(x-3)(a≠0),那么y=a(x+1)(x-3)(a≠0)的图象与直线y=-1的交点的横坐标为x1、x2,由图易得x1<-1,x2>3,因此D中结论一定错误.应选D.9.ABC易知选项A正确;对于选项B,x2-4x+5=(x-2)2+1>0的解集为R,故正确;对于选项C,解不等式(x-1)(x+2)>0,得x<-2或x>1,设A={x|x>1},B={x|x<-2或x>1},那么A⫋B,∴“x>1〞是“(x-1)(x+2)>0〞的充分不必要条件,故正确;对于选项D,x2=|x|,假设x<0,那么x2≠x,应选ABC.10.BD∵a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),(a-b)2≥0,a+b的符号不定,∴a3+b3与a2b+ab2的大小关系不确定,A错误;∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0,∴x2+3>2x,B正确;y=x2+2x2-1=x2-1+2x2-1+1,当xa2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,故a2+b2≥2(a-b-1),D正确.应选BD.11.CD∵M={x|y=x-1}={x|x≥1},N={y|y=x2+2}={y|y∴M∩N={x|x≥2},M∪N={x|x≥1},故A,B均不正确;易得∁UM={x|0<x<1},∁UN={y|0<y<2},∴(∁UM)∪(∁UN)={x|0<x<2},(∁UM)∩(∁UN)={x|0<x<1},故C,D均正确.应选CD.12.ABC对于选项A,由根本不等式可得ab≤a+b2=2,当且仅当a=b=2时,等号成立对于选项B,2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2=16,∴a2+b2≥8,当且仅当a=b=2时,等号成立,B正确;对于选项C,1a+1b=a+b41a+1b=14ba+对于选项D,由A可知ab≤2,即0<ab≤4,∴1ab≥14,D应选ABC.13.答案-5≤k<3或4<k≤5解析由不等式x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4,解方程2x2+(2k+7)x+7k=0,得x1=-72,x2=-k当-k<-72,即k>72时,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集为假设不等式组只有一个整数解,那么-5≤-k<-4,解得4<k≤5;当-k>-72,即k<72时,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集为假设不等式组只有一个整数解,那么-3<-k≤5,解得-5≤k<3.综上可得,实数k的取值范围是-5≤k<3或4<k≤5.14.答案0解析当a=0时,B=⌀,此时B⫋A,满足题意;当a>0时,B=-2a,2a,那么集合所以-2a=-1或2解得a=2或a=12故a的取值集合为0,15.答案0≤a<4解析当a=0时,不等式ax2>-ax-1即0>-1,对任意实数x都成立,符合题意;当a≠0时,关于x的不等式ax2>-ax-1,即ax2+ax+1>0对任意实数x都成立,等价于a>0,Δ=综上所述,a的取值范围为0≤a<4.16.答案3+22;7解析当a=0时,2x+y=xy,那么2y+1∴x+y=(x+y)·2y+1x=3+2xy+yx≥3+22xy·yx=3+2故此时x+y的最小值为3+22.当a=-2时,2x+y=xy-2,假设x=1,那么等式不成立,故x≠1,那么y=2(∴x>1,x+y=x+2(x+1)x-1=x+2+4x-1=x-1+4此时x+y的最小值为7.17.解析(1)由题意得A={x|1<x<2},B={x||x+1|≤1}={x|-2≤x≤0},(3分)∴A∪B={x|-2≤x≤0或1<x<2}.(5分)(2)选①.∵A∪B=B,∴A⊆B,(6分)由(1)知B={x|-2≤x≤0},∴a≥-2解得-2≤a≤-1.(9分)∴实数a的取值范围为{a|-2≤a≤-1}.(10分)选②.∵(∁RB)∩A=⌀,∴A⊆B,(6分)由(1)知B={x|-2≤x≤0},∴a≥-2解得-2≤a≤-1.(9分)∴实数a的取值范围为{a|-2≤a≤-1}.(10分)选③.∵B∪(∁RA)=R,∴A⊆B,(6分)由(1)知B={x|-2≤x≤0},∴a≥-2解得-2≤a≤-1.(9分)∴实数a的取值范围为{a|-2≤a≤-1}.(10分)18.解析(1)∵命题p:“∃x∈R,使不等式x2-2x-m≤0成立〞是假命题,∴¬p:“∀x∈R,不等式x2-2x-m>0恒成立〞是真命题,(1分)∴方程x2-2x-m=0无实根,(3分)∴Δ=4+4m<0,解得m<-1,(5分)即实数m的取值集合A={m|m<-1}.(6分)(2)∵-4<m-a<4,即a-4<m<a+4,∴q:a-4<m<a+4,(8分)由(1)可知¬p:m<-1,假设q:a-4<m<a+4是¬p的充分不必要条件,那么4+a≤-1,解得a≤-5.(11分)故实数a的取值范围是{a|a≤-5}.(12分)19.证明(1)因为x>y>0,所以xy>0,1xy>0,(2分于是x·1xy>y·1xy,即1y>1由z>0,得zx<zy.(6(2)因为x>0,y>0,z>0,所以x+y≥2xy,x+z≥2xz,y+z≥2yz,(9分)所以(x+y)(x+z)(y+z)≥2xy×2xz×2yz=8xyz,(10分)当且仅当x=y=z时,等号同时成立,(11分)又x>y,所以(x+y)(x+z)(y+z)>8xyz.(12分)20.解析(1)∵不等式ax2-3x+2>0(a∈R)的解集为{x|x<1或x>b},∴a>0,且1,b是一元二次方程ax2-3x+2=0的两个实数根,(2分)∴1+b=3a,1×(2)不等式ax2-3x+2>5-ax等价于ax2+(a-3)x-3>0,即(ax-3)(x+1)>0.(6分)当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1};(7分)当a≠0时,方程(ax-3)(x+1)=0的两根为x1=-1,x2=3a,当a>0时,原不等式的解集为x|x当a<0时,①假设3a>-1,即a<-3,那么原不等式的解集为x|-②假设3a<-1,即-3<a<0,那么原不等式的解集为x|3③假设3a=-1,即a=-3,那么原不等式的解集为⌀.(11分综上所述,当a>0时,原不等式的解集为x|x<-1或x>3a;当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1};当-3<a<0时,原不等式的解集为x|3a<x<-1;当解析(1)由题意可知,日加工处理每吨厨余垃圾的平均本钱为yx=x2+3200x(2分)又x2+3200x+40≥2x2·3200x+40=2×40+40=120,当且仅当x2=所以该企业日加工处理量为80吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均本钱最低.(4分)因为100<120,所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态.(5分)(2)假设该企业采用第一种补贴方案,设该企业每日获利为y1元,由题可得y1=100x-12x2+40x+3200+2300=-12x2+60x-900=-1因为x∈[70,100],所以当x=70时,企业获利最大,最大利润为850元.(8分)假设该企业采用第二种补贴方案,设该企业每日获利为y2元,由题