2022年高考数学模拟自测题（根据以往高频出现知识点编辑）21

2022年高考数学模拟自测题（根据以往高频出现知

识点编辑）_02E

单选题（共8个，分值共：）

1、已知A（-2,0）,B（4,0）,在直线上4%+3'+血=0上存在点「，使PAJ.PB,则m的最大值是（）

A.9B.11C.15D.19

答案：B

解析：

由题意分析可得以线段4B为直径的圆的方程，由于P4LPB,得到d=*W3,即可求出答案.

V16+9

【本题详解】

设以线段为直径的圆为圆M,则圆心为M（l,0）,半径r=3,

故圆M的方程为（x-+y2=9.

因为241PB,

所以点P在圆M上.因为点P在直线/上，

所以圆心M到直线/的距离d=粤W3,

V16+9

解得一19SmS11.

所以正确答案为：B.

2、在三角形△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A.°=8,b=16,A=30°B.a=25,b=30,A=150°

C.a=30,b=40,A=30°D.a=72,b=30,A=45°

答案：C

解析：

ab

由正弦定理可得sinA-sinB,根据条件求得sinB的值，根据b与a的大小判断角B的大小，从而判断三角形

4BC的解的个数.

【本题详解】

a_h

由正弦定理可得sinAsinB,若A成立，a=8,b=16,A=30°,有5=々，

-sinB

2

：.sinB=1,：.B=90°,故三角形ABC有唯一解.

若8成立，a=25,b=30,A=150°,有孕=也，，sinB=三，又&>“，

-sinB5

故B>150°,故三角形4BC无解.

若C成立，a=30,b=40,A=30°,有斗■=siziB=L又…,

-2sinB3

故B>4,故B可以是锐角，也可以是钝角，故三角形4BC有两个解.

若。成立，a=72,b=60,A=135°,有篝=义，；.sinB=绊，由于B<4故B为锐角，故三角形

V2sinB12

2

ABC有唯一解.

所以正确答案为：C.

3、S.为等比数列｛a"的前踪项和，«i>0,55<3%+。2+a/则公比q的取值范围是()

A.(-l,0)B.(0,1)

C.(-1,1)D.(-1,0)U(0,1)

答案：D

解析：

根据题意，利用首项与公比表示出各项和，建立不等式求解即可.

【本题详解】

因为55=的(1+q+q?+q3+q4)<%(3+q+q3),且%>o,

所以q4+q2-2<0,

解得q2<1,

又q力0,

解得一1<q<0或0<q<1,

所以正确答案为：D

4、已知函数f(x)=^lx-3x<0若函数'="(x)]2+7n-x)+1有6个零点，则m的取值范围是

()

A•(-2与B.(-2,骷(2,飘(2罔

答案：D

解析：

利用数形结合可得t2+mt+1=0在[-3,1)上有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得.

【本题详解】

设t=/(%),则y=g(t)=/+7nt+1,作出函数f(x)的大致图象，如图所示，

2

则函数y=[/(x)]2+m/(x)+1有6个零点等价于g(t)=0在[—3,1)上有两个不同的实数根,

m2-4>0

g(—3)=9—3m+1之0,/10

则g(l)=l+m+l>0,解得2<ni<y.

1_3<_六1,

所以正确答案为：D.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是利用数形结合，把问题转化为方程t2+mt+1=。在[-3,1)上有两个不同的实数根,

即二次方程根的分布问题，利用二次函数的性质即解.

5、已知。为坐标原点，直线/0=卜(％-4)上存在一点「，使得|0P|=2,贝।味的取值范围为()

A.[-2,2]B.(-8,一审u惇+8)

C.[一号，等D.(—00,-2]U[2,+oo)

答案：C

解析:

分析可知，直线，与圆M+y2=4有公共点，利用点到直线的距离公式可得出关于k的不等式，即可求得实数上

的取值范围.

【本题详解】

设点尸("))，则|0P|=+y2=2,即/+y2=4,即点P的轨迹方程为+y2

=4,

且圆％2+y2=4的圆心为0(°，°),半径为2,

由题意可知，直线/与圆/+y2=4有公共点，则湍42,解得—当小工*

所以正确答案为：C.

6、已知函数f(x)=8s讥2X—2COS2X,则下列结论正确的是()

3

A./(x)的周期为兀的奇函数B./0)的图象关于点(",1)对称

C./(x)在口詈]上单调递增D./(x)的值域是[-1,3]

答案：C

解析：

由题可得/'(x)=2sin(2x-1)-1,然后利用正弦函数的性质逐项判断即得.

【本题详解】

由题意可得/(%)=V3sin2x—cos2x—1=2sin卜x——1.

因为f(r)=2sin(-2x-匀-1=一25/卜》+，)-1*-f(x),所以/'(x)不是奇函数，故A错误；

因为/e)=2sin(2x^Y)-l=—l,所以/"(x)的图象不关于点七,1)对称，故B错误；

令2/CTT—工W2x—巳W2/OT+巴(keZ),解得卜兀一三WxWkn'+工(k6Z),当％=1时，—<x<—,则C正

2626363

确；

因为—1Wsin(2x—/)S1,所以一2S2sinQx—■：)S2,所以一3s2s讥.x—•-1S1,即/'(x)的值域

是[—3,1],故D错误.

所以正确答案为：C.

7、已知数列｛斯｝中，其前n项和为工,且满足%=2-%，数列｛成｝的前n项和为%,若能-4(-1)"〃20对

n€N*恒成立，则实数;I的值可以是()

A.—|B.2C.3D.I

答案：D

解析：

由%=2-册求出即，从而可以求7n,再根据已知条件不等式恒成立，可以进行适当放大即可.

【本题详解】

若n=l,则S]=%=2—%，故&=1；

若n>2,n&N*,则

由｛得公=热故厮=圭，Sn=背=2—+

所以即2=总，7n=*=1(4一涓)，

4

又因为S/-A(-l)n7；30对几€N*恒成立，

当九=1时，贝!)(2—I)2+入[[(4—l)j>0怛成立，A>—1

当n22,nCN*时，2f2,°<拿咛

所以|42-+<2,2<2+当式|,-2<-(2-^r)<-|

4

（2-岩）7（T）陪（4—a）］20,（2—岩）一穴―1）叫（2+右）］>o

若n为奇数,败N/迪>—3；

*2+品）

，所以花金.

若“为偶数，则aw

；（2+六）

32

所以，对71eN*（2—习工）—2（—l）n好（4—3二）］20恒成立，必须满足-

所以正确答案为：D

8、知点M,N分别为圆G：（x-2/+（y-1）2=1,C2：（x+3）2+0—2）2=1上的动.点，P为x轴上一点，则

画+网的最小值（）

A.V34B.V34-2C.V26D.V26-2

答案：B

解析：

求出圆C］关于x轴的对称圆的圆心坐标CJ,以及半径，然后求解圆CJ与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,

即可求出|PM|+|PN|的最小值.

【本题详解】

圆G关于x轴的对称圆的圆心坐标Cj（2,-1）,半径为1,圆。2的圆心坐标为。2（-3,2）,半径为1,

二若M与M关于x轴对称，则|PM|=|PM|,即|PM|+|PN|=|PM|+|PN|,

当P,MG'三点不共线时，\PM\>IPC/l-1

当P,M，G'三点共线时，\PM\=IPC/l-1

所以|PM|>|PC/|-1

同理|PN|>\PC2\-1（当且仅当P,N,Cz时取得等号）

所以|PM|+\PN\>IPC/I+|PC2|-2

当P,Ci',C2三点共线时，IPCI'I+|PQI=IG'GI

当P,CjC2三点不共线时，IPCi'l+IPC2I>\c1'c2\

所以IPC/I+\PC2\>IC/C2I

\PM\+|PN|的最小值为圆CJ与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，

IG'Czl-1-1=J（—3—2，+（2+1尸-2=V34-2.

所以正确答案为：B.

5

多选题(共4个，分值共：)

9、已知函数/"(X)=因―]一3,/'(X)是/(x)的导函数，则下列命题正确的是()

A./(x)在区间(0,+9)上是增函数B.当(-8,0)时，函数/(x)的最小值为-1

C./(%)-/(-%)=2D.y=/(%)-"约有2个零点

答案：ABD

解析：

对A,对函数求导即可判断；

对B,运用基本不等式即可判断；

容易判断C；

对D,对函数求导，进而求出函数的单调区间和极值，进而运用放缩法并结合零点存在定理确定函数的零点

个数.

【本题详解】

当x〉0时，/(x)=x-i-3,f'(x)=1+或>0,二/(x)在区间(0,+8)上是增函数，A选项正确；

当x<0时，/(%)=-X--3=(-x)-3>-1,当且仅当x=-1时取到最小值，B选项正确；

X(-X)

当％V0时，/(%)-/(-%)=-2,C选项错误；

当％>0时，/(%)一/'(%)=%4：2一"一\令g(x)=/一4一一%—1,则g，(x)=3/一8%-1,由于4>0,

设方程g(X)=0的两根为V%2)，由％1=2=-：<0=V>0，所以%£(0,%2)时，0。)<0，

g(x)单调递减，％e(%2，+8)时，9(%)>0,9(%)单调递增，且g(0)=—IV0,又g(5)=125—100—6=

19>0,所以g(x)在(0,+8)内只有一个零点.

当％<0时，/(%)—/(%)=二%二手一七,令九(%)=-X3—2x2—%—1,则九(%)=-3%2—4%—1,令h(x)=

0=%3=-1，%4=％£(-8,-1)时，h(x)<0,九(%)单调递减，时，h(x)>0,h(x)单调递

增，%€(—[,())时，，九(久)V0,九(%)单调递减，则极大值无(―；)=—HV0,极小值九(—1)=—1<0,而

九(一3)=27-18+2=11〉0,所以九。)在(一8,0)内只有一个零点.

综上：y=/。)-/(町有2个零点，D选项正确.

6

所以正确答案为：ABD.

10、设圆。：0-3)2+3-4)2=9,过点P(l,2)的直线2与C交于4B两点，则下列结论正确的为()

A.P可能为48中点B.的最小值为3

C.若［48|=2遮，则，的方程为y=2D.△ABC的面积最大值为［

答案：AD

解析：

判断点P在圆的内部，当CP1直线，时，P为4B中点，且此时|2以最小，利用弦长公式可求得，可分别判断

ABC,利用基本不等式可判断D.

【本题详解】

圆C:(x-3)2+(y-4)2=9,圆心(3,4),半径r=3

对于A,•••(1-3)2+(2-4)2=8<9,即点p在圆的内部，当CPL直线H1寸，P为AB中点，故A正确；

对于B,当CPLt线/时，|4B|最小，「kep=m=1,二&=一1,

则直线(的方程为x+y—3=0,圆心(3,4)到直线1的距离d=爰=2近，\AB\=2Vr2—d2=2,故B错误:

对于C,当直线I斜率不存在时，即x=l,此时|48|=2-32-22=2遍,符合；

当直线1斜率存在时，设直线/的方程为kx-y-k+2=0,由|AB|=2反刀'=2遮，得d=2,

则圆心(3,4)到直线/的距离d=倒荒苔21=2,解得k=o,即y=2,所以满足题意的直线为y=2或x=l,

故C错误；

27

对于D,ShABC=|\AB\'d=|x2<9-d­Vd<=2,

当且仅当9—d2=d2,即d=¥时等号成立，所以△ABC的面积最大值为看故D正确.

所以正确答案为：AD

11、已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数/(x+2)为偶函数，下列结论正确的是()

A.函数y=/(x)的图象关于直线x=1对称B."4)=0

C./(%+4)=/(x)D.若/(-1)=1,则/(2021)=1

答案：BD

解析：

根据题意，分析可得函数/(%)是周期为8的周期函数，据此依次分析选项，综合即可得到答案.

【本题详解】

对于A,函数〃久+2)为偶函数，则函数/(%+2)的图象关于y轴对称，

由平移变换可知，函数/(x)的图象关于直线x=2对称，故A错误；

对于B,由函数/(%)的图象关于直线久=2对称，贝|/(一%)=/(4+%),

/(%)是定义城为R的奇函数，则/'(0)=0,所以/(4)=/(0)=0,故8正确；

对于C,由函数/(%)的图象关于原点对称，又关于直线％=2对称，

7

则函数f(x)是周期为8的周期函数，即/(x+8)=f(x),故C错误；

对于D,若=则/(2021)=/(5+2016)=/(5)=/(-1)=1,故D正确；

所以正确答案为：BD.

12、已知数列｛即｝的前"项和为S“，的=1且当7122时，Sn-i+5n=On-则下列命题正确的是()

A.若｛5｝是递增数列，则数列｛%“；n+；｝的前。项和为1一

B.若｛时｝是递增数列,则谥一磅+谴_成+…(-1严-1吗=(_1尸-1吟也

C.存在无穷多个数列｛斯｝，使得。2021=-2020

D.仅有有限个数列｛an｝,使得。2021=-2020

答案：BD

解析：

71

利用an=[*=：＞＞求得0=(%+味1)9„一昨1一1).对人选项，先求得an,然后利用列项求和法

来判断正确性.对B选项，对几分成奇数和偶数两种情况进行分类讨论来判断正确性.对CD选项，

【本题详解】

因为当九二2时，Sn_i+Sn=W，则2sti=。(+。九，且2s71T=成_1+Q”I，

aaf

所以2an=磷—W—i+an—an_i，即0=W—«n-i~n~n-l

所以0=(an+an_i)(an-Q“I)一(。九+%-1)，即0=(即+即-1)@一演-1-1)，

A选项：因为｛an｝是递增数列，所以an+Qn_i00,贝ijan—an_i-1=0,贝经检验九二1时成立，

则a九=n,

则——-——=---------=i(-........—1

azn-ia2n+i(2n-l)(2n+l)2\2n-l2n+17

其前几项和为+：-=9(1-*)，故A错误；

B选项：因为｛an｝是递增数列，所以an+a让1。0,则Qn-an_i-1=0,则Qn=n,经检验n=l时成立，

则a九=n,

则无=al-a1+al-al+•••(—l)n-1a^=l2-224-32-424----1-(n—I)2—n2

当n为偶数时，

S九=(1+2)(1—2)+(3+4)(3—4)+…+(zi—1+几)(7i—1—?i)

=-(1+2+3+…+n)=一吟12,

当n为奇数时，

2

Sn=(1+2)(1-2)+(3+4)(3—4)+…+(?i—2+九一l)(n-2—n+1)4-n

=—(1+2+34----1-n—1)4-n2=---------x(n—1)+n2

_n2+n_n(7i+l)

—2-2'

综上所述，S九=(一1尸Tg也，故B正确；

8

CD选项：由上述分析得0=(an+an-JSn-an-i-1)，所以a”+$-1=。或即一册一1一1=0,

即即=-即-1或即=a“_i+1.即从a2起，每一项是前一项的相反数或是"前一项加1".

右。2021=-2020,则。2020=2020或。2020=-2021.

由于的=1,从a2起每项是"前一项加1",则到第2020项则为a2O2o，符合题意.

|-2021|=2021,从1起每项加1至少要到第2021项，所以。2020=-2021不符合题意.

所以C选项错误，D选项正确.

所以正确答案为：BD

填空题(共3个，分值共：)

13、定圆M:(x+g)+y2=i6,动圆N过点尸(百,0)且与圆/W相切，记圆心/V的轨迹为E,设点A,B,C

在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=\BC\,当AABC的面积最小时，则直线AB的斜率是.

答案：±1

解析：

先考虑为长轴或短轴时，△ABC的面积，然后考虑AB斜率存在且不为。时，设出直线方程，联立后求出

|。川与|OC|,表达出面积，用基本不等式求出面积最小值，比较后得到符合要求的直线AB的斜率.

【本题详解】

因为F(遍,0)在圆M:(x+遍『+y2=16内，所以圆N内切于圆M,\FM\=2y/3,

•••\NM\+\NF\=4>\FM\,所以点N的轨迹E为椭圆，设椭圆方程为a+1=1,则2a=4,2c=2旧，所

以炉=4-3=1,E：9+y2=i,若人B为长轴或短轴时，S^ABC=^\OC\-\AB\=2,若AB斜率存在且

422

{丁+1J1,所以/=鼻，若=表，所以

1。*2=必+才=备+卷盘=黑，因为14cl=田即，所以。C_L48,将k替换为一/可得：|OC|2=

黑,所以〃曲=2,诙=3"。0=展庠=陌熏=广手由基本不等式得：

4k2+3+1722厢?+17=25,此时〃谢之三当且仅当4k2=》欧=±1时等号成立，综上：△

K\K3K

4BC面积最小为盘此时直线AB的斜率是±1.

故答案为：±1

14、若函数/(%)=—%与函数g(x)=Q婚+2的图象有两个不同的交点，则实数。的取值范围为.

答案：(―e,0)

解析：

将原问题转化为方程-X=aex+2有两个不同的解，进而转化为直线y=a与函数似x)=-鳌的图象有两个

不同的交点求解作答.

【本题详解】

9

函数/(x)=-x与函数g(x)=aex+2的图象有两个不同的交点，即关于x的方程-x=aex+2有两个不同的

解，

而-x=ae*+2=a=-誉，令h(x)=-誉，则直线y=a与函数/i(x)=-詈的图象有两个不同的交点，

又/i(x)=答，当x<—l时，/i(x)<0,当x>-1时，/i(x)>0,即九(x)在(一8,—1)上单调递减，在

(―1,+8)上单调递增，

于是当x=-l时，=-e,而九(一2)=0,当％>-1时，一誉<0,函数y=/i(x)的图象，

如图，

观察图象得：当一e<a<0时，直线y=a与函数九(x)=—差的图象有两个不同的交点，

所以a的取值范围是(—e,0).

【点睛】

思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，构造函数，利用导数研究函数的单调性、最值等，

再借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.

15、已知当x6(0,n)时，不等式W0的解集为A,若函数f(x)=sin(x+租)(0<s<兀)在x64

上只有一个极值点，则。的取值范围为.

答案:(0*)11(拳兀)

解析：

解三角不等式求出集合4再利用正弦函数的图象与性质，结合函数极值的图象特征即可列式计算作答.

【本题详解】

.cos2x+3sinx-2,八4日-2sin2x+3sinx-l(2s出％-l)(sinx-l)

由1W。得:nn

-sin2x-4sinx—‘sinx(sinx+4)—'

因xe(0,7r),贝ijsinx>0,sinx4-4>0,则有(2sinx—l)(sin%—1)40,而sinx-l40,

于是得2stnx-1>0,BPsinx>解得g<x<即A=[x\^<x<

令t=%+仍tc碎+(p,詈+9],依题意，y=sW在区间('+尹,詈+g)上只有一个极值点,

即函数y=sin£在区间(弓+0噂+9)内只有一个最值点，

由0<①<兀可得土<-+(p<—,且亚<—+,

666666

10

0<(P<n(0<(p<n

6+(P<2或+解得0<W<g或§<W<兀，

{7T75冗」,37r5冗।、37r3

所以。的取值范围为(0,》u年,兀).

故答案为：(0,g)u管,兀)

【点睛】

知识点睛：函数/(x)在区间［a,句上的极值点是开区间(a,b)的内点；正余弦函数在［a,b］上的极值点是开区间

(o,b)内的最大或最小值点.

解答题(共6个，分值共：)

16、已知椭圆C：5+\=1((1>6>0)过点时(2,3),点A为其左顶点，且AM的斜率为点求椭圆C的方程.

答案:台白1

解析：

根据已知求出a=4,再根据椭圆过点M(2,3)得到卷+总=1，即得解.

【详解】

解：由题意可知直线4M的方程为：y-3=i(x-2),即x-2y=-4.

当y=0时，解得％=-4,所以a=4,

椭圆C：W+。=13>。>0)过点”(2,3),可得卷+，=1,

解得〃=12.所以C的方程为三+1=1.

1612

22

17、已知双曲线京一£=19>0">0)的离心率为2,求该双曲线的渐近线方程.

答案：y=±V3x

解析：

根据双曲线离心率计算公式和a,b,c之间的关系、结合双曲线渐近线方程相关知识进行计算即可.

【详解】

因为双曲线条一，=l(a>0,b>0)的离心率为2,

所以，=5=肾=2,所噎=3,

所以该双曲线的渐近线方程为y=±^x=±V3x.

54

18>(1)求值：33-334-log220—log425；

(2)若1og3(a+1)=1，求ZogJ+-1)的值.

答案：(1)29；(2)1.

解析：

11

(1)利用对数的运算性质和指数基的运算性质直接求解即可；

(2)先将log3(a+l)=l化为指数的形式求出a值，代入式中计算即可得到答案.

【详解】

54

(1)35-35+log220—log425

+

=333+log220—log25

=27+log24=29；

(2)由Zog3(a+1)=1,可知a+l=3,故a=2,

loga2+loga(a-1)=log22+log2l=1.

19、如图，在四棱锥P-4BC0中，PC，底面4BCLUBCD是直角梯形，AD1DC.AB//DC,AB=2AD=

2CD=2,点E在线段PB上且星=^EB.

(1)证明直线PD〃平面4EC;

(2)证明直线BC_L平面PAC.

答案：

(1)证明见解析

(2)证明见解析

解析：

(1)作辅助线，即连接8。交4C于点。，连接0E,利用△DOC”A804及方=：丽，证明PD//OE,利用线面

平行的判定定理证明即可；

(2)通过计算证明AC'BC,由PC_L平面ABCD得到PC_LBC,利用线面垂直的判定定理证明即可.

(1)

证明：连接BD交AC于点。，连接。瓦

•••AB//DC,AB=2CD,

二ADOC-ABOA，即丝

，OBAB2

又；朝二屁,

2

12

...-D-O--P-E——1

OBEB2

PD//OE

又丫OEu面AEC、PDC面AEC

：.PD11面AEC

■：PCI■平面AB。。，"u平面ABCD,

PC1BC,

又；AB=2,AD=CD=1,AD1DC,且4BCD是直角梯形,

AC=BC=\[2,即4c2+8。2=4^2,

,••ACIBCf

文:PCcAC=C,且pc,ACu平面PAC,

BC1平面PAC.

20、已知~、=2

2sin(n-a)+c”osJ(2n-a)

(1)求£。n。的值；

(2)若一7T<a<0,求s讥a+cosa的值.

答案：

(1)tana——2

⑵-B

解析：

(l)根据诱导公式化简题干条件，得到stria=-2cosa,进而求出tcma的值；(2)结合第一问求出的正切值

和-TiVaVO,利用同角三角函数的平方关系求出正弦和余弦值，进而求出结果.

(1)

sina-4sin(^+aj

=2

2sin(7r-a)+cos(27r-a)

.sina-4cosa

=2,化简得：sina=—2cosa

2sina+cosa

13

tana=—2

(2)

—n<a<0,tana=­2<0

「.Q为第四象限，故sina<0,cosa>0

sina——2cosa4H.2VsVs

由［.212］得sma=一=，cosa=—

^sin£a4-cos£a=155

-2x<5,V5V5

故sina+COSQ=———+g=一g

21,已知AABC的顶点4(1,3),5(3,1),C(-l,0).

(1)求高CD所在