专题01直线的倾斜角与斜率直线的方程（原卷版）

专题01直线的倾斜角与斜率、直线的方程TOC\o"1-3"\h\u题型1直线的倾斜角与斜率 3◆类型1斜率与倾斜角取值问题 3◆类型2斜率与倾斜角取值范围问题 5◆类型3斜率比较大小问题 9题型2求直线的方程 11题型3直线方程的综合应用 19题型4直线斜率的应用 21◆类型1比较大小问题 21◆类型2点共线问题 23◆类型3与参数取值范围相关的问题 25◆类型4形如y1−y2x1−x2的最值问题◆类型5证明不等式 32知识点一．直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角直线的斜率定义当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°当直线l的倾斜角α≠eq\f(π,2)时，其倾斜角α的正切值tanα叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α；经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为kP1P2＝eq\f(y2－y1,x2－x1)区别直线l垂直于x轴时，直线l的倾斜角是90°；倾斜角的取值范围为[0，π)直线l垂直于x轴时，直线l的斜率不存在；斜率k的取值范围为R联系(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系；(2)当直线l的倾斜角α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，α越大，直线l的斜率越大知识点二．直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x0，y0)，斜率ky－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直的直线斜截式纵截距b，斜率ky＝kx＋b与x轴不垂直的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与x轴、y轴均不垂直的直线截距式横截距a，纵截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面直角坐标系内所有直线注意：1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系α00<α<eq\f(π,2)eq\f(π,2)eq\f(π,2)<α<πk0k>0不存在k<02.识记几种特殊位置的直线方程(1)x轴：y＝0.(2)y轴：x＝0.(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.题型1直线的倾斜角与斜率【方法总结】(1)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率；②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求斜率．(2)倾斜角及斜率取值范围的两种求法①数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；②函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．◆类型1斜率与倾斜角取值问题【例题1-1】(2021年1月新高考八省联考卷)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.【变式1-1】1．（2022·浙江·青田县船寮综合高级中学高三期中）已知直线l与x轴相交于点1,0，且直线l向上的方向与x轴负半轴的夹角为120°，则直线l的斜率是（

）A．22 B．−33 C．3【变式1-1】2．已知直线方程为xcos300°＋ysin300°＝3，则直线的倾斜角为()A．60°B.60°或300°C．30°D.30°或330°【变式1-1】3．（2023·全国·高三专题练习）若0<α<π2，则经过两点A．α B．π2+α C．π−【变式1-1】4．(2021·湖南八校联考)“a<－1”是“直线ax＋y－1＝0的倾斜角大于eq\f(π,4)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-1】5．（2022·江苏·南京市第二十九中学高二阶段练习）若直线l被直线l1:x−y+1=0与l2【变式1-1】6．（2022·河南·邓州春雨国文学校高二阶段练习）已知直线l的倾斜角α满足条件sinα＋cosα＝15，则lA．43 B．34 C．−4◆类型2斜率与倾斜角取值范围问题【例题1-2】直线2xcosα－y－3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))【变式1-2】1.（2022·辽宁·沈阳市第十中学高二阶段练习）直线y−A．[0,π4]∪[3π4,π]【变式1-2】2．（2022·安徽省舒城中学高二阶段练习）直线xsinA．0,π B．C．0,π6∪【变式1-2】3．（2022·辽宁·育明高中高二阶段练习）若α∈π6A．π6,π2 B．5π6【变式1-2】4．（2022·黑龙江省饶河县高级中学高二阶段练习）直线xcosA．−∞,3 B．2,+∞ C．−∞,0∪0,【变式1-2】5．（2022·江苏省灌南高级中学高二开学考试）直线2axA．[−π4,π4] B．[【变式1-2】6．（2022·广东·珠海市第二中学高二阶段练习）设直线l的斜率为k，且−1≤kA．[0,π3)∪(C．(π6,【变式1-2】7．（2022·河南·高二阶段练习）若直线l:y=−A．0°≤α≤60° C．0°≤α<45° 【变式1-2】8．（2022·上海市浦东复旦附中分校高二阶段练习）已知A(−3sin◆类型3斜率比较大小问题【例题1-3】（2022·河南·南阳市第六完全学校高级中学高二阶段练习）已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α，β．若α＜β，则下列关系不可能成立的是（）A．0＜k1＜k2 B．k1＜k2＜0 C．k2＜k1＜0 D．k2＜0＜k1【变式1-3】1．(多选)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是()A．k1<k3<k2B．k3<k2<k1C．α1<α3<α2D．α3<α2<α1【变式1-3】2．（2022·辽宁·沈阳市第十中学高二阶段练习）如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、A．k1<k2<k3 B．【变式1-3】3．（2022·辽宁·大连市第二十三中学高二阶段练习）如图，设直线l1,l2,A．k1<kC．k3<k题型2求直线的方程【方法总结】巧设直线方程的方法(1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况；(2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；(3)当题目涉及直线在x轴、y轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在x轴、y轴上的截距为0的情况；(4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程．【注意】(1)当已知直线经过点(a，0)，且斜率不为0时，可将直线方程设为x＝my＋a；(2)当已知直线经过点(0，a)，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx＋a；(3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx.【例题2】(多选)(链接常用结论2)下列命题正确的有()A．直线斜率是关于直线倾斜角的增函数B．方程x＝ty＋m可以表示垂直于x轴的直线C．直线过不同的两点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))，则方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－x1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－y1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－y1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－x1))可以表示平行于x，y轴和经过坐标原点的直线D．直线方程bx＋ay＝ab不能表示平行于x，y轴的直线【变式2-1】1．（2022·贵州·贵阳一中高二阶段练习）（多选）下列说法正确的有（

）A．直线的斜率越大，则倾斜角越大B．两点式y−C．若直线l的一个方向向量为cos45°,−sin45°，则直线l的倾斜角为135°D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化【变式2-1】2．（2022·河北·石家庄市第二十一中学高二阶段练习）在平面直角坐标系中，下列四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程k=y+1④直线l过点Px0,y0其中正确的是（

）A．②④ B．②③ C．①② D．③④【变式2-1】3．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学高二阶段练习）经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（

）A．x+y−7=0或x−y+1=0 C．x−y−7=0或x+y+1=0 【变式2-1】4．经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为________．【变式2-1】5.求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【变式2-1】6．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线的方程．【变式2-1】7．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二阶段练习）(多选)已知直线l过点P3,2，且与直线l1：x+3y−9=0A．直线l的方程为x−3y+3=0 B．直线lC．直线l在y轴上的截距为2 D．这样的直线l有两条【变式2-1】8．（2022·江苏南通·高二阶段练习）已知直线l1: y=12x+2，直线l2【变式2-1】9．（2022·河南·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知A(2,0),B(−3,4)两点，O【变式2-1】10．（2022·湖北宜昌·高二期中）已知直线l过点P0,1，且与直线l1：x−3y+10=0A．x+4y+4=0C．x−4y+4=0【变式2-1】11．(2022·江西九江模拟)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为____________________．【变式2-1】12.已知直线l过点P1,2，点M1,3和【变式2-1】13.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝eq\f(1,2)x上时，求直线AB的方程．【变式2-1】14．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为()A．x＋2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0【变式2-1】15．（2023·全国·高三专题练习）如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45∘和30∘角，过点P1,0题型3直线方程的综合应用【方法总结】与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．【例题3】直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．【变式3-1】1.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．【变式3-1】2.已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．【变式3-1】3．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是线段AB上的点，则P到AC，BC的距离的乘积的最大值为________．【变式3-1】4．（2022·辽宁·沈阳二十中高二阶段练习）已知点P，Q分别在直线l1：x+y+2=0与直线l2：x+y−1=0上，且题型4直线斜率的应用◆类型1比较大小问题【方法总结】有关f(x)x【例题4-1】已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则f(a)a，f(b)b，【变式4-1】1．已知函数f(x)=2x，且a<bA．fB．fC．fD．f【变式4-1】2．已知函数fx=log3x+2，若a>A．fcc<C．fcc<◆类型2点共线问题【方法总结】若直线AB，AC的斜率相等，则A，B，C三点共线，反过来，若A，B，C三点共线，则直线AB，AC的斜率相等或都不存在．【例题4-2】已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点共线，则a＝________，b＝________.【变式4-2】1．已知三点A(2，－3)，B(4,3)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(k,2)))在同一条直线上，则k的值为()A．12B．9C．－12D．9或12【变式4-2】2．已知A(−1,−3),【变式4-2】3．若三点A2,2，Ba,0，C0,b【变式4-2】4．若点A（a，0），B（0，b），C（1，﹣1）（a＞0，b＜0）三点共线，则a﹣b的最小值等于（）A．4 B．2 C．1 D．0【变式4-2】5．设Ax1,y1，Bx2,y2，Cx【变式4-2】6．已知A(1,1),B(2,3),C((1)求数列{a(2)设bn=2na◆类型3与参数取值范围相关的问题【方法总结】当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律．但倾斜角是锐角或钝角不确定时，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不一定随倾斜角的增大而增大．【例题4-3】（2022·辽宁沈阳·高二阶段练习）已知两点A−3,2，B2,1，过点A．π4,3πC．0,π4∪【变式4-3】1．(2022·北京市昌平区期中)已知点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－3))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－2))，直线l：mx＋y－m－1＝0与线段AB相交，则实数m的取值范围是()A．m≤－4或m≥eq\f(3,4) B.m≤－eq\f(3,4)或m≥4C．－4≤m≤eq\f(3,4) D.－eq\f(3,4)≤m≤4【变式4-3】2．（2022·天津市武清区杨村第一中学高二阶段练习）已知两点A2,−1，B−5,−3，直线l:ax+A．−∞,−2∪23C．−23,2【变式4-3】3．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(5,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(4,3)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞))【变式4-3】4．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高二阶段练习（文））已知两点M−1,−3,N2,−3，直线l过点P1，1A．−4≥k或k≥2 B．−4≤k≤2 C．【变式4-3】5．（2022·浙江省文成中学高二阶段练习）（多选）如图所示，边长为2的等边△OAB从起始位置（OA1与y轴重合）绕着O点顺时针旋转至OB与xA．边AB所在直线的斜率的取值范围是−B．边AB所在直线在y轴上截距的取值范围是2,4C．边A1B1与边D．当AB的中垂线为x−y【变式4-3】6．在平面直角坐标系中，已知矩形OABC，Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al