2019年江苏高考数学微专题·解析几何的补充

-6-2019江苏高考数学微专题·解析几何的补充椭圆中六个有意思的定值（需记忆）1.内容：若P,Q为椭圆(a＞b＞0)上两点，且=，则有以下六个定值：①;②;③;④;⑤;⑥=ab.2.例题：（结论①-⑥的证明）若P,Q为椭圆C:上两点，且=，证明以上六个结论.证明：结论①：由条件可得，①式平方变形得，②③式代入消去化简得，证毕.结论②：模仿结论①可证.结论③：结论①②相加可证.结论④：，利用消去整理得，证毕.结论⑤：模仿结论④可证.结论⑥：利用坐标形式的三角形面积公式和结论⑤可证.二、椭圆中的定比分点问题例1.点M为椭圆C：上一动点，A(-2,0)，B(2,0)，AM，BM与椭圆C交于点P,Q，若,,求λ+μ.解：设M，P，Q.由条件可知，（下面有两种思路）思路一：上述方程组变形得，同理可得又有，代入，表达式整理可得，又因为，代入并消去(λ-1)，整理得，同理有，则λ+μ=6.思路二：，因为M，A(-2,0)，表示出直线MA的方程为，则，与椭圆方程联立，消去x得，由韦达定理得，即有，则，同理，λ+μ==6.例2.已知椭圆C：，直线l与椭圆C交于M,N两点，与x轴，y轴交于Q,P两点（点Q在x轴正半轴），，，，求证直线l过定点.证明：设直线l为y=kx+m，M，N，则P(0,b)，Q，因为，所以，代入椭圆方程得，同理，两式相减，又因为点Q在x轴正半轴，所以b=-k，所以直线l横过定点(1,0).例3.已知椭圆C：(a＞b＞0)，离心率为，短轴长为2.求椭圆C的标准方程；如图，点A为椭圆C的左顶点，点P,Q为椭圆C上两动点，PO交AQ于点E，QO交AP于点D，OP与OQ的斜率分别为，，且，，，λ与μ均非0，求.解：（1）.（2）设P，D，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，同理，所以，利用椭圆中六个有意思的定值中的结论①，得.例4.已知椭圆，过点P(1,1)作直线l与椭圆交于M,N两点.（1）若点P平分线段MN，求直线l的方程.（2）设与满足（1）中条件的直线l的平行的直线，与椭圆交于A,B两点，AP与椭圆交于点C，BP与椭圆交于D，，，证明：.解：（1）.证明：（2）设A，B，直线AB方程为因为，所以，代入椭圆方程得，则，则，同理，又因为点A,B都在直线AB上，所以，，所以，证毕.三、隐圆问题（1）到定点的距离等于定长①直接,②间接（圆的定弦的中点、四等分点等）.内容补充：矩形的性质若点O为矩形ABCD所在平面上一点，则.例1.已知圆O：，点M(1,1)，，求线段AB长的取值范围.解：以MA,MB为相邻两边构造一个矩形AMBN.由矩形的性质知,则，点N在以O为圆心，6为半径平方的圆上运动，又因为AB=MN，易得线段AB长的取值范围是.例2.（例1的一般化）已知圆O：，点M(1,1)，，求证：点N在一个定圆上运动.证明：连接AB，记线段AB中点为P.由极化恒等式，，则.又由中线定理，有和，所以，所以，所以点N在以原点为圆心，为半径的圆上运动.四、几个平几知识1.角平分线定理内容:内角平分线定理：如图，AD为∠BAD的内角平分线，则，反之成立.外角平分线定理：如图，AD为∠BAD的外角平分线，则，反之成立.*注：内外角平分线定理均可用正弦定理证明，在此略.例：一椭圆中，点，分别是该椭圆的左右焦点，点A是该椭圆上一点，射线AD是∠A的角平分线，点I是△A的内心，且满足关系,试求该椭圆的离心率.解：由角平分线定理，，所以该椭圆的离心率为.2.对于对角线互相垂直的平面四边形ABCD，有.（证明用勾股定理）3.中垂